3.4.1 平方差公式同步练习（含答案）

3.4　乘法公式
第1课时 平方差公式
一、选择题
1．(1＋y)(1－y)＝(　　)
A．1＋y2 B．－1－y2 C．1－y2 D．－1＋y2
2．为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形，下列变形中，正确的是(　　)
A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b] B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c]
C．[a－(b＋c)][a＋(b－c)] D．[a－(b－c)][a＋(b－c)]
3．下列计算正确的是(　　)
A．(a＋3b)(a－3b)＝a2－3b2 B．(－a＋3b)(a－3b)＝－a2－9b2
C．(a－3b)(a－3b)＝a2－9b2 D．(－a－3b)(－a＋3b)＝a2－9b2
4．下列算式能用平方差公式计算的是(　　)
A．(2a＋b)(2b－a) B.
C．(m－n)(－m＋n) D．(－a＋b)(－a＋b)
5．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(　　)
A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
6．一个长方形的宽为2x－y，长为2x＋y，则这个长方形的面积是(　　)
A．4x2－y2 B．4x2＋y2 C．2x2－y2 D．2x2＋y2
7．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a，b的恒等式为(　　)
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．a(a－b)＝a2－ab
8．如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪出一个边长为a的正方形之后，将剩余部分又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为3，则其邻边长是(　　)
A．2a＋3 B．2a＋6 C．a＋3 D．a＋6
9．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一个边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为(　　)
A．a2＋4 B．2a2＋4a C．3a2－4a－4 D．4a2－a－2
10．计算2 0212－2 022×2 020的结果是(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
二、填空题
11．【2022·苏州】已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝________．
12．定义a※b＝a(b＋1)，例如2※3＝2×(3＋1)＝2×4＝8.则(x－1)※x的结果为________；
13．将边长为a的正方形纸的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图甲)，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形(如图乙)．
(1)设图甲中阴影部分的面积为S1，图乙中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝__________，S2＝_____________；(不必化简)
(2)以上结果可以验证的乘法公式是__________________．
三、解答题
14．计算：x(x＋2)＋(1＋x)(1－x)．
15．运用平方差公式计算：
(1)(m＋2n)(m－2n)；
(2)(－xy＋5)(－xy－5)；
(3)(－4a＋3)(－3－4a)；
(4)(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)．
(5).
16．运用平方差公式进行简便计算：
(1)73×67；
(2)2 0222－2 021×2 023．
17．已知(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，求a＋b的值．
18．计算：(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×…×(264＋1)＋1．
19．【2022·永康期中】已知x≠1，计算(1＋x)·(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4．
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝__________(n为正整数)．
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)×(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________．
②2＋22＋23＋…＋2n＝__________(n为正整数)．
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________．
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参考答案
一、选择题
1．(1＋y)(1－y)＝(　C　)
A．1＋y2 B．－1－y2 C．1－y2 D．－1＋y2
2．为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形，下列变形中，正确的是(　D　)
A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b] B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c]
C．[a－(b＋c)][a＋(b－c)] D．[a－(b－c)][a＋(b－c)]
3．下列计算正确的是(　D　)
A．(a＋3b)(a－3b)＝a2－3b2 B．(－a＋3b)(a－3b)＝－a2－9b2
C．(a－3b)(a－3b)＝a2－9b2 D．(－a－3b)(－a＋3b)＝a2－9b2
4．下列算式能用平方差公式计算的是(　B　)
A．(2a＋b)(2b－a) B.
C．(m－n)(－m＋n) D．(－a＋b)(－a＋b)
5．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(　B　)
A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
6．一个长方形的宽为2x－y，长为2x＋y，则这个长方形的面积是(　A　)
A．4x2－y2 B．4x2＋y2 C．2x2－y2 D．2x2＋y2
7．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a，b的恒等式为(　　)
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．a(a－b)＝a2－ab
8．如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪出一个边长为a的正方形之后，将剩余部分又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为3，则其邻边长是(　A　)
A．2a＋3 B．2a＋6 C．a＋3 D．a＋6
9．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一个边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为(　C　)
A．a2＋4 B．2a2＋4a C．3a2－4a－4 D．4a2－a－2
10．计算2 0212－2 022×2 020的结果是(　A　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
二、填空题
11．【2022·苏州】已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝________．
【答案】24
12．定义a※b＝a(b＋1)，例如2※3＝2×(3＋1)＝2×4＝8.则(x－1)※x的结果为________；
【解析】根据题意，得(x－1)※x＝(x－1)(x＋1)＝x2－1.故答案为：x2－1.
【答案】x2－1
13．将边长为a的正方形纸的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图甲)，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形(如图乙)．
(1)设图甲中阴影部分的面积为S1，图乙中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝__________，S2＝_____________；(不必化简)
(2)以上结果可以验证的乘法公式是__________________．
【答案】a2－b2 (a＋b)(a－b) (a＋b)(a－b)＝a2－b2
三、解答题
14．计算：x(x＋2)＋(1＋x)(1－x)．
解：原式＝x2＋2x＋1－x2＝2x＋1.
15．运用平方差公式计算：
(1)(m＋2n)(m－2n)；
解：原式＝m2－4n2.
(2)(－xy＋5)(－xy－5)；
原式＝x2y2－25.
(3)(－4a＋3)(－3－4a)；
解：原式＝(－4a)2－32＝16a2－9.
(4)(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)．
原式＝a2－4b2－ab＋4b2＝a2－ab.
(5).
解：原式＝＝＝x4－.
16．运用平方差公式进行简便计算：
(1)73×67；
解：73×67
＝(70＋3)×(70－3)
＝702－32
＝4 900－9
＝4 891.
(2)2 0222－2 021×2 023．
解：2 0222－2 021×2 023
＝2 0222－(2 022－1)×(2 022＋1)
＝2 0222－(2 0222－1)
＝2 0222－2 0222＋1
＝1.
17．已知(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，求a＋b的值．
解：∵(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，
∴(a＋b)2－1＝63，∴(a＋b)2＝64，
∴a＋b＝±＝±8.
18．计算：(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×…×(264＋1)＋1．
解：(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×…×(264＋1)＋1
＝(2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×…×(264＋1)＋1
＝(22－1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×…×(264＋1)＋1
＝(24－1)×(24＋1)×(28＋1)×…×(264＋1)＋1
＝(28－1)×(28＋1)×…×(264＋1)＋1
＝(264－1)×(264＋1)＋1＝2128－1＋1＝2128.
19．【2022·永康期中】已知x≠1，计算(1＋x)·(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4．
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝__________(n为正整数)．
【答案】1－xn＋1
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)×(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________．
②2＋22＋23＋…＋2n＝__________(n为正整数)．
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________．
【解析】①(1－2)×(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝1－26＝1－64＝－63.
②2＋22＋23＋…＋2n＝2×(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝－2×(1－2)×(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝－2(1－2n)＝2n＋1－2.
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋
x＋1)＝－(1－x)(1＋x＋x2＋…＋x99)＝－(1－x100)＝x100－1.
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