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专题3-1 同底数幂的乘法
模块一：知识清单
同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）
注：①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算； ②是乘法运算，切不可与加法运算混淆
拓展：① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.
幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.
积的乘方：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列算式，正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，进行计算即可求解．
【详解】解：①，故①错误，不符合题意； ②，故②错误，不符合题意；
③，故③错误，不符合题意； ④，故④错误，不符合题意； 故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则对式子进行运算即可．
【详解】解：．故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方；解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，a，b均为正整数，则＝（ ）
A．mn2 B．m2n C． D．m2n2
【答案】D
【分析】先利用幂的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方法则的逆用对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】∵，∴．
∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法法则的逆用，解答本题的关键是熟记同底数幂的乘法、幂的乘方的相关法则．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得出，则即可求解．
【详解】解：∵∴，∴∴，故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方运算，解答的关键是对同底数幂的乘法的运算法则的掌握与灵活运用．
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则变形，得到，从而有，解之即可．
【详解】解：，
∴，解得：，故选B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则进行变形．
7．（2022·浙江嘉兴·一模）已知，则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】逆用幂的乘方法则可得，然后根据同底数幂的乘法法则进行计算．
【详解】解：∵，，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法．幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
8．（2022春·浙江宁波·七年级校考阶段练习）如果，那么a的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同底数幂相乘的法则．
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，则的值是（ ）
A．0 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵，，∴，
∴，∴，∴，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则以及逆运算是解本题的关键．
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把相应的数的底数转为一样，再比较指数即可．
【详解】解：，，，，，故选：B．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，有理数的大小比较，解答的关键是把相应的数的底数转为相等．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）在的运算过程中，依据是______．
【答案】积的乘方运算法则
【分析】根据积的乘方法则∶把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得答案．
【详解】解∶在的运算过程中，依据是积的乘方运算法则，
故答案为∶积的乘方运算法则．
【点睛】此题主要考查了单项式乘法和积的乘方，关键是掌握积的乘方计算法则．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）若，，则=________．
【答案】b
【分析】将已知等式利用同底数幂的乘法法则变形，从而得到结果．
【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：b．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用公式进行变形．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，则____．
【答案】27
【分析】把与都化为底数与右边相同，再得到，，再代入求值即可得到答案．
【详解】解：∵，∴，
∴，∴，∴．
∵，∴，∴，∴．
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，求解代数式的值，熟练的利用同底数幂与幂的乘方运算解决问题是解本题的关键．
14．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：．
根据以上信息，下列各式：
①；②；③④．
其中正确的是______（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①②③④
【分析】理解的含义以及运算，再对选项逐个判断即可．
【详解】解：，①正确；，②正确；
，③正确；
∵，∴，
∴，④正确；故答案为：①②③④
【点睛】此题考查了数字的变化规律，乘方运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用其中的定义与公式是解题的关键．
15．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）已知，满足方程，则______．
【答案】16
【分析】利用幂的乘方公式，同底数幂的乘法公式进行计算，即可得出答案．
【详解】解：，
，故答案为：．
【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方公式，同底数幂公式是解决问题的关键．
16．（2021春·浙江·七年级期末）已知则用x的代数式表示y，结果为_______．
【答案】
【分析】我们观察x和y的表达式，最主要的问题是底数不相同，所以我们要把底数统一化成3，9可以看成．根据条件可以得到3m的表达式，然后把3m的表达式代入到y中，进行计算即可．
【详解】解：∵
故答案为：
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，这道题的关键是要把底数不相同的式子转化为底数相同的式子．
17．（2023春·浙江·七年级专题练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是_________．（填编号）
【答案】①②##②①
【分析】由，得出，由，得出，进而得出，进一步对，，代入计算，即可得出答案．
【详解】解：，，
，，，
，①符合题意；，②符合题意；
，③不符合题意，故答案为：①②．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则．
18．（2022春·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考开学考试）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：：比如，则，若，则的结果是_________
【答案】##
【分析】根据新运算定义，将原式化为个的积乘以404个的积，再代值进行计算即可．
【详解】解：=
====，故答案为：．
【点睛】本题考查新运算定义下，同底数幂的乘法运算法则，牢记法则内容是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简符号，再利用同底数幂的乘法法则计算；
（2）先计算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并．
【详解】（1）解：
；
（2）
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
20．（2023春·浙江·七年级专题练习）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答；
（3）由可得，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【详解】（1）解： ，
，
解得；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键．
21．（2023春·浙江·七年级专题练习）观察下列运算过程：
，；，；…
(1)根据以上运算过程和结果，我们发现：___________ ___________；
(2)仿照（1）中的规律，计算并判断与的大小关系；
(3)求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知直接填空即可求解；
（2）根据（1）中的规律，可得，，即可求解．
（3）根据（1）的规律，化为正指数幂的运算，进而根据积的乘方运算法则，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴．
（3）解：
．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，有理数的的乘方运算，找到规律，掌握幂的运算是解题的关键．
22．（2021春·浙江·七年级专题练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）_________；
（2）若，求的值；
（3）比较大小：，则的大小关系是什么？
（提示：如果，为正整数，那么）
【答案】（1）1；（2）；（3）．
【分析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；
（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；
（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．
【详解】解：（1）
故答案为：1
（2）∵，
∴，
∴，即，
∴，解得；
（3）由题可得：，，，，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是公式的逆运用．
23．（2023春·浙江·七年级专题练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如∶因为，所以．
(1)根据上述规定，填空∶______；______；______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征；，并作出了如下的证明∶
∵设，则，∴，即，
∴ ∴
试参照小明的证明过程，解决下列问题∶①计算；
②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明．
【答案】(1)(2)①0；②
【分析】（1）由新定义计算得出结果即可；（2）①由推理过程可得，再相减结果得0即可；②设，，则，从而得到
【详解】（1）
故答案为：
（2）①；
②．
证明：设，，则，所以，，，所以
【点睛】本题主要考查幂的运算与新定义结合的题型，理解透题目的意思是解题的关键点．
24．（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
【答案】(1)2，4，6
(2)
(3)
(4)证明见解析
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：，；
（3）由特殊到一般，得出结论：．
（4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论．
【详解】（1）∵，，
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，
故答案为：．
（4）设，，
则，
∴
，
∴，
∴．
【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
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专题3-1 同底数幂的乘法
模块一：知识清单
同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）
注：①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算； ②是乘法运算，切不可与加法运算混淆
拓展：① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.
幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.
积的乘方：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列算式，正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，a，b均为正整数，则＝（ ）
A．mn2 B．m2n C． D．m2n2
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江嘉兴·一模）已知，则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2022春·浙江宁波·七年级校考阶段练习）如果，那么a的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，则的值是（ ）
A．0 B． C．3 D．
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）在的运算过程中，依据是______．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）若，，则=________．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，则____．
14．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：．
根据以上信息，下列各式：
①；②；③④．
其中正确的是______（填上所有正确答案的序号）．
15．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）已知，满足方程，则______．
16．（2021春·浙江·七年级期末）已知则用x的代数式表示y，结果为_______．
17．（2023春·浙江·七年级专题练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是_________．（填编号）
18．（2022春·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考开学考试）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：：比如，则，若，则的结果是_________
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)；(2)．
20．（2023春·浙江·七年级专题练习）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
21．（2023春·浙江·七年级专题练习）观察下列运算过程：
，；，；…
(1)根据以上运算过程和结果，我们发现：___________ ___________；
(2)仿照（1）中的规律，计算并判断与的大小关系；
(3)求的值．
22．（2021春·浙江·七年级专题练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）_________；（2）若，求的值；
（3）比较大小：，则的大小关系是什么？
（提示：如果，为正整数，那么）
23．（2023春·浙江·七年级专题练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如∶因为，所以．
(1)根据上述规定，填空∶______；______；______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征；，并作出了如下的证明∶
∵设，则，∴，即，
∴ ∴
试参照小明的证明过程，解决下列问题∶①计算；
②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明．
24．（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
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