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专题3-3 多项式的乘法
模块一：知识清单
多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·海南海口·八年级校联考期末）下列多项式相乘，结果为的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据多项式乘以多项式逐项计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
2．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）若关于x的多项式展开合并后不含项，则a的值是（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开后，根据项的系数相等0可得出a的值
【详解】
∵的结果中不含项，∴，解得，故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，关键是理解不含二次项则二次项系数为0
3．（2023春·安徽宿州·七年级统考阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中的新定义将已知等式左边化简，再利用多项式相等的条件即可确定出m的值．
【详解】∵，
∴．∴的值为4．
∴，故选D．
【点睛】此题考查了规律探索，整式的加减法，正确掌握整式的运算法则是解题的关键．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，现有，两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】应用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据C类卡片的面积进行判断即可得出答案．
【详解】解：依题意，，
∵类卡片的面积为，∴需要类卡片张数为，故选：B．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．
5．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）若，则的值为（ ）
A． B．6 C． D．2
【答案】D
【分析】直接由多项式乘以多项式进行化简，即可得到答案．
【详解】解：∵，∴；故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【详解】解：∵左边，
右边□，∴□内上应填写，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）下面四个整式中，不能表示图中（图中图形均为长方形）阴影部分面积的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由图可得，阴影部分的面积可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和，即阴影部分面积；然后把四个选项中的整式都用整式运算法则进行变形，则最终变形结果不是，就是不能表示图中阴影部分面积的整式．
【详解】解：由图可得，图中阴影部分可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和，
即阴影部分面积；
∵，，
，
又∵，
∴不能表示图中阴影部分面积的是，故A符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式运算法则，准确计算．
8．（2023春·广东河源·八年级校考阶段练习）长方形相邻两边的长分别是 与 ，那么这个长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用长方形的面积公式和多项式乘多项式的法则，进行计算即可．
【详解】解：长方形的额面积为：；故选D．
【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积问题．熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
【答案】A
【分析】原面积可列式为，第二年按照庄园主的想法则面积变为，又，通过计算可知租地面积变小了．
【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米），
第二年按照庄园主的想法则面积变为
平方米，
∵，∴，∴面积变小了，故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真读题结合所学知识完成计算．
10．（2023秋·山东日照·八年级校考期末）如图，7张长为a，宽为的小长方形纸片不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S．当的长度变化时，按照同样的放置方式，若S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与无关即可求出a与b的关系式即可得到答案．
【详解】解：由图可知：左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为a，
∵，∴，∴，
∴阴影部分面积之差
，
∵当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，
∴，即 ．故选：B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）计算：______．
【答案】
【分析】根据整式的乘法法则计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了知识点多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握计算法则．
12．（2023秋·四川自贡·八年级校考期末）若，则m的值为___________
【答案】
【分析】先计算多项式乘以多项式，可得，再建立方程组解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是多项式的乘法运算，二元一次方程组的解法，熟练的利用多项式的乘法法则进行计算是解本题的关键．
13．（河南省洛阳市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）已知，是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，则______．
【答案】##
【分析】先利用整式的乘除计算出B，进而利用整式的加减法计算即可．
【详解】，是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，
，
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘除和整式的加减，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
14．（2023春·七年级课时练习）如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为__________________．
【答案】
【分析】长方形纸片的面积减去长方形，即可作答．
【详解】根据题意，有：
长方形的面积：，
长方形的面积：，
则剩余部分的面积为：，
即有：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用多项式乘以多项式求解图形的面积的知识，掌握多项式乘以多项式是解答本题的关键．
15．（2023春·七年级课时练习）关于的代数式的化简结果中不含的一次项，则的值为______．
【答案】2
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，求出m的值即可．
【详解】解：，
由结果不含x的一次项，得到，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2023春·七年级单元测试）小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是__________．
【答案】
【分析】根据整式的四则运算法则求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】题目主要考查整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
17．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是________．
【答案】
【分析】根据大长方形的面积个小长方形或正方形的面积公式进行解答．
【详解】解：根据题意，得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用数形结合与多边形的面积解答是解题的关键．
18．（2023春·七年级课时练习）三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式：__________（用含a，b，c，d，e，f的式子表示）．
【答案】
【分析】根据图形的面积不变原则，分别表示图形的面积即可．
【详解】根据图1，得图形的面积为；
根据图2，得图形的面积为；
∵图形的面积相等，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形面积的不同表示法，正确表示图形的面积是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）已知的展开式中不含项，常数项是．(1)求m、n的值；(2)求的值．
【答案】(1)，(2)7
【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值；
（2）先将原式进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案．
【详解】（1）解：原式
，
由于展开式中不含项，常数项是，
则且，
解得：，；
（2）由（1）可知：，，
原式
．
【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙把a错看成，得到结果是：．
(1)求出a，b的值；
(2)在（1）的条件下，计算的结果．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意得出，，得出，，求出a、b即可；
（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．
【详解】（1）根据题意得：，
，
所以，，
解得：，；
（2）当，时，．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
21．（2023春·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后算加减．
（2）利用单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则求解即可．
【详解】（1）解：原式=
=．
（2）解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则等知识，解题关键是牢记运算法则．
22．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化．
(1)用含有、的式子表示绿化的总面积；
(2)若，，求出此时绿化的总面积．
【答案】(1)平方米
(2)196平方米
【分析】（1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式，列式求解即可；
（2）将，代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意得：
平方米；
（2）当，，
（平方米）．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式混合运算以及代数式求值，解题关键是熟练掌握相关运算法则．
23．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）小亮家刚刚买了一套新房，其结构和尺寸（单位：米）如图，他打算厨房和卫生间铺地砖，其余部分铺木地板，请你帮他解决下面的问题．
(1)至少需要多少平方米的木地板？
(2)如果地砖价格在前期元平方米的基础上上涨了元，那么小亮家至少需要花多少钱买地砖？
【答案】(1)至少需要平方米的木地板
(2)小亮家至少需要花元买地砖
【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）首先求出地砖的面积，然后根据题意列式求解即可．
【详解】（1）
平方米，
答：至少需要平方米的木地板；
（2）
平方米，
地砖钱数至少为：
元，
答：小亮家至少需要花元买地砖．
【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算的实际应用，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
24．（2023秋·江苏·七年级统考期末）用“”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：．
(1)求的值；
(2)若，求a的值；
(3)若，，试比较P与Q的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】(1)利用题中的新定义运算进行运算，即可求出其值；
(2)已知等式，利用题中的新定义运算，可得方程，解方程即可求出a的值；
(3)首先利用题中的新定义运算，分别求得P、Q的最简式，再利用作差法进行大小的比较，即可判定．
【详解】（1）解：
（2）解：，
，
解得；
（3）解：，
理由如下：
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了新定义运算，有理数及整式的混合运算，理解题意，准确计算是解决本题的关键．
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专题3-3 多项式的乘法
模块一：知识清单
多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·海南海口·八年级校联考期末）下列多项式相乘，结果为的是( )
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）若关于x的多项式展开合并后不含项，则a的值是（ ）
A．2 B． C．0 D．
3．（2023春·安徽宿州·七年级统考阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，现有，两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）若，则的值为（ ）
A． B．6 C． D．2
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A． B． C． D．1
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）下面四个整式中，不能表示图中（图中图形均为长方形）阴影部分面积的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·广东河源·八年级校考阶段练习）长方形相邻两边的长分别是 与 ，那么这个长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
10．（2023秋·山东日照·八年级校考期末）如图，7张长为a，宽为的小长方形纸片不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S．当的长度变化时，按照同样的放置方式，若S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）计算：______．
12．（2023秋·四川自贡·八年级校考期末）若，则m的值为___________
13．（河南省洛阳市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）已知，是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，则______．
14．（2023春·七年级课时练习）如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为__________________．
15．（2023春·七年级课时练习）关于的代数式的化简结果中不含的一次项，则的值为______．
16．（2023春·七年级单元测试）小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是__________．
17．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是________．
18．（2023春·七年级课时练习）三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式：__________（用含a，b，c，d，e，f的式子表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）已知的展开式中不含项，常数项是．(1)求m、n的值；(2)求的值．
20．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙把a错看成，得到结果是：．
(1)求出a，b的值；(2)在（1）的条件下，计算的结果．
21．（2023春·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）计算：
(1)(2)
22．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化．
(1)用含有、的式子表示绿化的总面积；(2)若，，求出此时绿化的总面积．
23．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）小亮家刚刚买了一套新房，其结构和尺寸（单位：米）如图，他打算厨房和卫生间铺地砖，其余部分铺木地板，请你帮他解决下面的问题．
(1)至少需要多少平方米的木地板？
(2)如果地砖价格在前期元平方米的基础上上涨了元，那么小亮家至少需要花多少钱买地砖？
24．（2023秋·江苏·七年级统考期末）用“”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：．
(1)求的值；(2)若，求a的值；
(3)若，，试比较P与Q的大小，并说明理由．
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