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专题3-4 乘法公式
模块一：知识清单
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
拓展：利用可推导除一些变式
①
②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·七年级课时练习） ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：原式，故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
2．（2023春·七年级课时练习）在运用乘法公式计算 时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式直接变形即可．
【详解】故选：B
【点睛】此题考查平方差公式，，解题关键是分清几个数的符号．
3．（2023秋·湖北荆门·八年级校联考期末）如果是完全平方式，那么m的值为（ ）
A．5或1 B．7或 C．5 D．7
【答案】B
【分析】完全平方公式：这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故，即可求出m的值．
【详解】解：，
∴在中，，解得：或，故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．掌握完全平方公式的结构是解题的关键．
4．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】根据得，根据，即可得，进行计算即可得．
【详解】解：
∵，∴ ，故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点并且会用整体代入法进行计算是解题的关键．
5．（2022春·广东深圳·七年级蛇口育才二中校考阶段练习）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用大正方形的面积减去两个空白三角形的面积即可得出答案．
【详解】解：
将，代入得原式=故答案为：D．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，难度适中，需要熟练掌握完全平方公式及其变式．
6．（2023春·广东深圳·七年级校联考阶段练习）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式为逐项判断即可．
【详解】A．不符合平方差公式，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B．原式，符合平方差公式，故本选项符合题意；
C．，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
D．原式，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为是解答本题的关键．
7．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据平方差公式化简，把整体代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴故选A ．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．
8．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图，从边长为的大正方形纸板的边上挖去一个边长为的小正方形纸板后，沿着小正方形的缺口，将其裁成两个长方形，然后拼成一个长方形．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据阴影部分面积等于矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得出结论．
【详解】解：由图可知：阴影部分的面积；故选B．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景．正确的识图，用两种方式表示出阴影部分的面积，是解题的关键．
9．（2023秋·内蒙古通辽·八年级校考期末）已知，，则（ ）
A．－6 B．6 C．12 D．24
【答案】B
【分析】先将式子利用完全平方公式展开，两式相减，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
两式相减：，∴，故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式，正确变形计算是解题的关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）已知a，b，c满足，，，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】将已知三个等式的左右分别相加，然后根据配方法将其转化为偶次方的和的形式；最后根据非负数的性质解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，∴，
即，∴，
∴，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质，解题的关键是根据完全平方和公式将代数式转化为偶次方的和的形式，求出a，b，c的值．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）计算：_______．
【答案】
【分析】根据整式乘法公式及平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，正确掌握整式的乘法公式及平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
12．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）已知，则______．
【答案】
【分析】根据平方差公式变形，然后将，代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差的结构特点是解本题的关键．
13．（2023春·七年级课时练习）已知，则代数式的值为 _____．
【答案】
【分析】将已知等式完全平方，然后根据完全平方公式展开即可求解．
【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
14．（2023春·七年级课时练习）若n满足，___________．
【答案】4
【分析】设，则：，利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：设，则：，
∵，∴，
∴，∴，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式．解题的关键是构造完全平方公式，利用整体思想，进行求解．
15．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知，则代数式______．
【答案】
【分析】将所给式子变形为，再将所求式子利用完全平方公式变形，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整体思想的运用，不要盲目代入．
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知：，则__________．
【答案】
【分析】将变形为，然后将，代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式进行运算是关键．
17．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）请你计算：，…猜想的结果是____（n为大于2的正整数）
【答案】##
【分析】各式计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可．
【详解】解：∵，，；
∴猜想，故答案为：
【点睛】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
18．（2022秋·重庆巴南·八年级统考期末）如图，正方形和的边长分别为，，点，分别在边，上，若，，则图中阴影部分图形的面积的和为________．
【答案】
【分析】首先根据题意得到，然后利用完全平方公式得到，代入表示出，然后表示出阴影面积代入求解即可．
【详解】∵正方形和的边长分别为，
∴，∴
∵，∴
∴代入得，解得∴
∴图中阴影部分图形的面积的和为．故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式和图形面积综合题，解题的关键是正确利用数形结合
方法．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）先化简，再求值：
(1)，其中．
(2)，其中，．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再代入求值即可；
（2）先根据整式混合运算法则进行化简然后再代入求值即可．
【详解】（1）解：
，
把代入得：
原式．
（2）解：
，
将，代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，熟记完全平方公式和平方差公式．
20．（2023·河北邯郸·统考一模）新定义：如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”．
(1)验证：嘉嘉说：是“4倍数”，琪琪说：也是“4倍数”，判断他们谁说得对？
(2)证明：设三个连续偶数的中间一个数是（n是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”．
【答案】(1)嘉嘉说的对
(2)，说明见解析
【分析】（1）通过计算结合“4倍数”的概念求解即可；
（2）设三个连续偶数分别为，，，然后通过计算结合“4倍数”的概念求解即可．
【详解】（1）嘉嘉：，是“4倍数”，
琪琪：，不是“4倍数”．所以嘉嘉说的对．
（2）证明：设三个连续偶数分别为，，，
，
∵n为整数，
∴是“4倍数”．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握乘法公式．
21．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1），2；（2）7
【分析】（1）先用平方差公式将原式进行化简，再将代入进行计算即可；
（2）根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
，
当时， 原式；
（2），
．
【点睛】本题考查了求代数式的值，运用平方差公式、完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的变形是解题的关键．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式： ；
(2)如果图中的、满足，，求的值；
(3)已知，求．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）依据该图形的总面积为或可得结果；
（2）由（1）题结果可得，将，可求得即的值；
（3）设，，则，依据代入计算可求得即可求出．
【详解】（1）解：该图形的总面积为：或
故答案为：；
（2）由（1）题结果可得，
∴当，时，
，
∴；
（3）设，，
∴，
则，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
23．（2022秋·广东汕尾·八年级华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
(1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）
(2)请应用这个公式完成下列各题.
①的结果是 .
②计算：；
③计算：
【答案】(1)
(2)①；②；③
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等得出答案；
（2）①根据平方差公式进行计算即可求解；
②根据平方差公式进行计算即可求解；
③根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）图①中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即；图②中阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
∵两个图形中的阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：
（2）解：①
故答案为：．
②计算：
；
③计算：
．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．
24．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
．
，
．
因此，该式有最小值1．
②已知：将其变形，，
，可得．
(1)按照上述方法，将代数式变形为的形式；
(2)已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
(3)已知．
①若，，则代数式________；
②若，求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)等边三角形；见解析
(3)①；②
【分析】（1）根据材料步骤配方即可；
（2）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；
（3）①根据可得，，再由可结算结果；
②同①可知，可知，进而可得最小值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，，
且，
且，
，
为等边三角形；
（3）①，
即：，
∴，，
则，
故答案为：；
②解：
，
当时，取最小值．
【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题3-4 乘法公式
模块一：知识清单
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
拓展：利用可推导除一些变式
①
②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·七年级课时练习） ( )
A． B． C． D．
2．（2023春·七年级课时练习）在运用乘法公式计算 时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·湖北荆门·八年级校联考期末）如果是完全平方式，那么m的值为（ ）
A．5或1 B．7或 C．5 D．7
4．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．6
5．（2022春·广东深圳·七年级蛇口育才二中校考阶段练习）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·广东深圳·七年级校联考阶段练习）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图，从边长为的大正方形纸板的边上挖去一个边长为的小正方形纸板后，沿着小正方形的缺口，将其裁成两个长方形，然后拼成一个长方形．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023秋·内蒙古通辽·八年级校考期末）已知，，则（ ）
A．－6 B．6 C．12 D．24
10．（2023·全国·九年级专题练习）已知a，b，c满足，，，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）计算：_______．
12．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）已知，则______．
13．（2023春·七年级课时练习）已知，则代数式的值为 _____．
14．（2023春·七年级课时练习）若n满足，___________．
15．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知，则代数式______．
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知：，则__________．
17．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）请你计算：，…猜想的结果是____（n为大于2的正整数）
18．（2022秋·重庆巴南·八年级统考期末）如图，正方形和的边长分别为，，点，分别在边，上，若，，则图中阴影部分图形的面积的和为________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）先化简，再求值：
(1)，其中．
(2)，其中，．
20．（2023·河北邯郸·统考一模）新定义：如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”．(1)验证：嘉嘉说：是“4倍数”，琪琪说：也是“4倍数”，判断他们谁说得对？(2)证明：设三个连续偶数的中间一个数是（n是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”．
21．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求的值．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式： ；
(2)如果图中的、满足，，求的值；
(3)已知，求．
23．（2022秋·广东汕尾·八年级华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
(1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）
(2)请应用这个公式完成下列各题.
①的结果是 .
②计算：；③计算：
24．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
．
，．因此，该式有最小值1．
②已知：将其变形，，
，可得．
(1)按照上述方法，将代数式变形为的形式；
(2)已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
(3)已知．①若，，则代数式________；
②若，求代数式的最小值．
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