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专题3-7 整式的除法
模块一：知识清单
1) 单项式除单项式
通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
2) 多项式除单项式
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·重庆万州·八年级校考期中）已知，，的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】根据单项式除以单项式的法则进行计算，再建立方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，∴，，故选A．
【点睛】本题考查单项式除以单项式，熟练的掌握单项式的除法法则及同底数幂的除法法则是关键．
2．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）下列算式中，不正确的是（ ）
A． B．9
C． D．
【答案】B
【分析】根据单项式除法运算，把它们是系数，同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进行判断即可．
【详解】解：A. ，此项正确，不合题意；
B. ，此项错误，符合题意；
C. ，此项正确，不合题意；
D. ，此项正确，不合题意；故选：B．
【点睛】本题考查的是单项式的除法，解题的关键是熟练掌握单项式除法的运算法则．
3．（2022秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）长方形的面积是，一边长是，则它的另一边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据长方形的面积计算，则另一边为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得，
∴它的另一边是，故选：C．
【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确计算是解决问题的关键．
4．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）若与一个多项式的积是，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．．
【答案】C
【分析】直接利用整式的乘除运算法则得出答案．
【详解】解：∵与一个多项式的积是，
∴这个多项式是：．故选：C．
【点睛】此题主要考查了整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）在中，多项式A等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据多项式除以单项式计算即可．
【详解】解：根据题意得，故选：A．
【点睛】题目主要考查多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
6．（2023·浙江·七年级期中）若多项式与单项式的乘积为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意列出算式，再根据整式的除法法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，可得，
则．选：D．
【点睛】此题主要考查了整式的除法，解题的关键是根据题意列出算式，再根据整式的除法法则进行计算．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）某同学在计算 加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是 ，由此可以推断出正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意算出这个多项式，再与相加即可．
【详解】解：由题意知，这个多项式为 ，
∴正确的计算结果为 ．故选：A．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解答本题的关键．
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为2的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的一条边长是a，另一条边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出剩余部分的面积为：，再由面积相等，即可求解．
【详解】解：∵边长为的正方形的面积为，边长为的正方形的面积为，
∴减去正方形后剩余部分的面积为：，
∵长方形的宽为，∴长方形的长为：．故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，多项式除以单项式．能够通过所给正方形和长方形的面积关系进行求解是解题的关键．
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解：，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法和乘法，熟练掌握法则是解本题的关键．
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据多项式除以单项式的法则运算即可求得．
【详解】解：∵长方形的面积为，如果它的一边长为，
∴；
∴它的另一边长为：；故选．
【点睛】本题考查的是多项式除以单项式，熟记对应法则是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）计算：___________．
【答案】
【分析】根据单项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．（2023春·安徽宿州·七年级统考阶段练习）若一个三角形的面积为，它的一条边长为，则这条边上的高为______．
【答案】
【分析】根据三角形面积的计算公式求解即可．
【详解】解：这条边上的高为，故答案为：．
【点睛】此题考查了整式混合运算的应用，正确理解三角形面积的计算公式是解题的关键．
13．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）计算：________．
【答案】
【分析】根据多项式与单项式的除法法则计算即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可．
14．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，则____．
【答案】##
【分析】根据多项式除以单项式可进行求解．
【详解】解：因为，所以．故答案为：．
【点睛】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式是解题的关键．
15．（2023·重庆·八年级统考期末）一个多项式除以，商为，这个多项式为_______．
【答案】
【分析】把商乘以可以得这个多项式．
【详解】解∶由题意，得这个多项式为∶
故应填∶．
【点睛】本题考查了整式的除法，属于基础题型，解决本题的关键应熟练掌握多项式与单项式的乘法运算．
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为______．
【答案】
【分析】直接利用多项式除以单项式的运算法则计算得出答案．
【详解】由题意可得，所捂多项式是：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．（2022春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）西安市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形地上种植某种草皮，以美化环境．已知长方形空地的面积为平方米，宽为米，则这块空地的长为___________米．
【答案】##
【分析】根据长方形的长长方形的面积宽列出代数式，根据整式的除法计算即可．
【详解】解：米，故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键．
18．（2023春·七年级课时练习）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为______．
【答案】
【分析】根据题意得出，即可求出多项式，进而求出．
【详解】解：，，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的乘除以及多项式加减运算，解题的关键是得出多项式．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
(1)求所捂的二次三项式；
(2)若，求所捂二次三项式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式除以单项式可进行求解；
（2）由（1）可代值进行求解即可．
【详解】（1）解：设多项式为A，则：
；
（2）解：把代入得，原式．
【点睛】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式是解题的关键．
20．（2023春·安徽宿州·七年级统考阶段练习）某同学在计算一个多项式除以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么原题正确的计算结果是多少？
【答案】
【分析】根据题意，求得原来的多项式，再根据多项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：∵一个多项式加上的结果是，
∴这个多项式．
∴原题正确的计算结果．
【点睛】本题考查了整式的加减以及多项式除以单项式，正确的计算是解题的关键．
21．（2023春·七年级课时练习）解决下列问题．
(1)先化简，再求值：，其中，．
(2)若关于的代数式，展开后的常数项为2，且不含项，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用平方差公式和整式的乘法展开后合并，最后运算除法解题即可；
（2）按照多项式乘以多项式的法则展开合并，根据题意列出关于的方程解题即可．
【详解】（1）解：
，
，
当，时，
原式；
（2）解：
，
，
∵展开后的常数项为2，且不含项，
∴
即
【点睛】本题考查整式的乘除，熟练运用法则进行计算是解题的关键．
22．（2023春·浙江·七年级专题练习）数学老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小明说：“老师给出的条件是多余的．”小亮说：“不是多余的．”你同意谁的说法？为什么？请给出推理过程．
【答案】同意小亮的说法，理由见解析
【分析】先根据单项式乘以多项式、合并同类项计算括号内的，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：同意小亮的说法，理由如下，
；
结果与无关，条件是多余的
当时，原式，
∴小亮的说法正确．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，单项式除以单项式，整式的加减，正确的计算是解题的关键．
23．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图1，在一张长方形纸板的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周折起，制成一个高为的长方体无盖纸盒（如图2）．已知纸盒的体积为，底面长方形的宽为．
(1)求原来长方形纸板的长；
(2)现要给这个长方体无盖纸盒的外表面贴一层包装纸，一共需要多少平方厘米的包装纸？
【答案】(1)厘米
(2)平方厘米
【分析】（1）根据长方体的体积公式进行计算即可；
（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
厘米，
厘米，
答：这张长方形纸板的长为厘米；
（2）解：
（平方厘米），
答：一个这样的纸盒需要用平方厘米的红色包装纸．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，认识立体图形，熟练掌握长方体的体积公式和表面积公式是解题的关键．
24．（2022秋·北京西城·八年级北京八中校考期中）爱思考的小郭同学发现教科书中介绍了多项式除以单项式的方法，并没有介绍多项式除以多项式的方法，通过查阅资料小郭同学发现了多项式除以多项式的一种方法叫“综合除法”，综合除法主要用于一元多项式，除以一次多项式的演算，以便获得商式和余式，具体方法如下：
①写出分离系数竖式：
②进行相关计算：
将落下得到，计算并置于下方，计算得到；计算并置于下方，计算得到……计算并置于下方，计算得到．
③写出计算结果：除以得到商式
和余式．
解决问题：利用综合除法求除以的商式和余式．
由此可知，除以的商式是______，余式是______．
【答案】 ； 2．
【分析】根据题中“综合除法”的运算方法进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
∴商式为，余式为2，
故答案为：①，②2．
【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确理解“综合除法”的运算方法是解题的关键．
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模块一：知识清单
1) 单项式除单项式
通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
2) 多项式除单项式
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·重庆万州·八年级校考期中）已知，，的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）下列算式中，不正确的是（ ）
A． B．9
C． D．
3．（2022秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）长方形的面积是，一边长是，则它的另一边长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林长春·八年级统考期末）若与一个多项式的积是，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．．
5．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）在中，多项式A等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江·七年级期中）若多项式与单项式的乘积为，则为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）某同学在计算 加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是 ，由此可以推断出正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为2的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的一条边长是a，另一条边长是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）计算：___________．
12．（2023春·安徽宿州·七年级统考阶段练习）若一个三角形的面积为，它的一条边长为，则这条边上的高为______．
13．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）计算：________．
14．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，则____．
15．（2023·重庆·八年级统考期末）一个多项式除以，商为，这个多项式为_______．
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为______．
17．（2022春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）西安市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形地上种植某种草皮，以美化环境．已知长方形空地的面积为平方米，宽为米，则这块空地的长为___________米．
18．（2023春·七年级课时练习）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
(1)求所捂的二次三项式；(2)若，求所捂二次三项式的值．
20．（2023春·安徽宿州·七年级统考阶段练习）某同学在计算一个多项式除以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么原题正确的计算结果是多少？
21．（2023春·七年级课时练习）解决下列问题．
(1)先化简，再求值：，其中，．
(2)若关于的代数式，展开后的常数项为2，且不含项，求的值．
22．（2023春·浙江·七年级专题练习）数学老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小明说：“老师给出的条件是多余的．”小亮说：“不是多余的．”你同意谁的说法？为什么？请给出推理过程．
23．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图1，在一张长方形纸板的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周折起，制成一个高为的长方体无盖纸盒（如图2）．已知纸盒的体积为，底面长方形的宽为．(1)求原来长方形纸板的长；(2)现要给这个长方体无盖纸盒的外表面贴一层包装纸，一共需要多少平方厘米的包装纸？
24．（2022秋·北京西城·八年级北京八中校考期中）爱思考的小郭同学发现教科书中介绍了多项式除以单项式的方法，并没有介绍多项式除以多项式的方法，通过查阅资料小郭同学发现了多项式除以多项式的一种方法叫“综合除法”，综合除法主要用于一元多项式，除以一次多项式的演算，以便获得商式和余式，具体方法如下：
①写出分离系数竖式：
②进行相关计算：
将落下得到，计算并置于下方，计算得到；计算并置于下方，计算得到……计算并置于下方，计算得到．
③写出计算结果：除以得到商式
和余式．
解决问题：利用综合除法求除以的商式和余式．
由此可知，除以的商式是______，余式是______．
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