4.3.2 用完全平方公式分解因式 含答案

4.3　用乘法公式分解因式
第2课时 用完全平方公式分解因式
一、选择题
1．下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为(　　)
①x2－10x＋25；②4a2＋4a－1；③x2－2x－1；
④－m2＋m－；⑤4x4－x2＋
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．【2022·杭州】若9x2－4(m－5)xy＋16y2是一个完全平方式，则m＝(　　)
A．11 B．－1 C．±12 D．－1或11
3．若多项式x2－3(m－2)x＋36能用完全平方公式分解因式，则m的值为(　　)
A．6或－2 B．－2 C．6 D．－6或2
4．若二次三项式x2－kx＋9是一个完全平方式，则k的值为(　　)
A．6 B．－6 C．3 D．6或－6
5．如果x2＋nx＋2k＝(x－1)2，那么kn是(　　)
A．－ B． C．4 D．－4
6．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是(　　)
A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2
7．把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(　　)
A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1) C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2
8．下列因式分解正确的是(　　)
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋＝
C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
9．设681×2 019－681×2 018＝a，2 015×2 016－2 013×2 018＝b，＝c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b二、填空题
10．直接写出因式分解的结果．
(1)【2022·宁波】x2－2x＋1＝__________；
(2)x2y－xy2＋y3＝__________；
(3)－3x2y2＋30xy－75＝__________；
(4)(a－b)2－6(a－b)＋9＝__________．
11．分解因式：－ x 2 ＋xy－ y 2 ＝__________．
12．当x＝1，y＝－时，代数式x2＋2xy＋y2的值是________．
13．把下列各式分解因式．
(1)【2022·盘锦】分解因式：x2y－2xy2＋y3＝________________．
(2)【2022·黔东南州】分解因式：2 022x2－4 044x＋2 022＝________________．
14．多项式9x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是 _____________________(填一个你认为正确的即可)．
15．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a－b＝2，求代数式6a－2b－1的值．”可以这样解：6a－2b－1＝2(3a－b)－1＝2×2－1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax＋b＝3的解，则代数式4a2＋4ab＋b2＋4a＋2b－1的值是________．
三、解答题
16．运用公式进行简便计算：
(1)2 0232＋2 023×1 954＋9772；
(2)6.572－2×6.57×4.57＋4.572．
(3)6.234 52＋0.234 52－6.234 5×0.469.
17．把下列各式分解因式：
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
(3)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2；
(4)81a4－72a2b2＋16b4.
18．若ab＝，a＋b＝，求多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
19．已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
20．(1)已知a(a－1)－(a2－2b)＝6，求－ab＋b2的值；
(2)已知a2＋b2＋c2－2a＋4b－6c＋14＝0，求a＋b＋c的值．
21．问题背景：对于形如x2－120x＋3 600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成(x－60)2，对于二次三项式x2－120x＋3 456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常将x2－120x加上一项602，使它与x2－120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2－120x＋3 456＝x2－2×60x＋602－602＋3 456＝(x－60)2－144＝(x－60)2－122＝(x－60＋12)(x－60－12)＝(x－48)(x－72)．
问题解决：
(1)请你按照上面的方法分解因式：x2－140x＋4 756；
(2)已知一个长方形的面积为a2＋8ab＋12b2，宽为a＋2b，求这个长方形的长．
22．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提取公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等．
①分组分解法：
例如：x2－2xy＋y2－4＝(x2－2xy＋y2)－4＝(x－y)2－22＝(x－y－2)(x－y＋2)．
②拆项法：
例如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1－2)(x＋1＋2)＝(x－1)(x＋3)．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①(分组分解法)4x2＋4x－y2＋1；②(拆项法)x2－6x＋8．
(2)已知：a，b，c为三角形ABC的三条边，a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，求三角形ABC的周长．
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参考答案
一、选择题
1．下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为(　B　)
①x2－10x＋25；②4a2＋4a－1；③x2－2x－1；
④－m2＋m－；⑤4x4－x2＋
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．【2022·杭州】若9x2－4(m－5)xy＋16y2是一个完全平方式，则m＝(　D　)
A．11 B．－1 C．±12 D．－1或11
3．若多项式x2－3(m－2)x＋36能用完全平方公式分解因式，则m的值为(　A　)
A．6或－2 B．－2 C．6 D．－6或2
4．若二次三项式x2－kx＋9是一个完全平方式，则k的值为(　D　)
A．6 B．－6 C．3 D．6或－6
5．如果x2＋nx＋2k＝(x－1)2，那么kn是(　C　)
A．－ B． C．4 D．－4
6．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是(　B　)
A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2
7．把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(　C　)
A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1) C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2
8．下列因式分解正确的是(　B　)
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋＝
C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
9．设681×2 019－681×2 018＝a，2 015×2 016－2 013×2 018＝b，＝c，则a，b，c的大小关系是(　A　)
A．b【解析】∵a＝681×2 019－681×2 018
＝681×(2 019－2 018)
＝681×1
＝681，
b＝2 015×2 016－2 013×2 018
＝2 015×2 016－(2 015－2)×(2 016＋2)
＝2 015×2 016－2 015×2 016－2×2 015＋2×2 016＋2×2
＝－4 030＋4 032＋4
＝6，
c＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝<681，
显然b二、填空题
10．直接写出因式分解的结果．
(1)【2022·宁波】x2－2x＋1＝__________；
【答案】(x－1)2
(2)x2y－xy2＋y3＝__________；
【答案】y(2x－y)2
(3)－3x2y2＋30xy－75＝__________；
【答案】－3(xy－5)2
(4)(a－b)2－6(a－b)＋9＝__________．
【答案】(a－b－3)2
11．分解因式：－ x 2 ＋xy－ y 2 ＝__________．
【答案】－(x－y)2
12．当x＝1，y＝－时，代数式x2＋2xy＋y2的值是________．
【答案】
13．把下列各式分解因式．
(1)【2022·盘锦】分解因式：x2y－2xy2＋y3＝________________．
(2)【2022·黔东南州】分解因式：2 022x2－4 044x＋2 022＝________________．
【答案】y(x－y)2 2 022(x－1)2
14．多项式9x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是 _____________________(填一个你认为正确的即可)．
【答案】6x或－6x或x4
15．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a－b＝2，求代数式6a－2b－1的值．”可以这样解：6a－2b－1＝2(3a－b)－1＝2×2－1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax＋b＝3的解，则代数式4a2＋4ab＋b2＋4a＋2b－1的值是________．
【答案】14
三、解答题
16．运用公式进行简便计算：
(1)2 0232＋2 023×1 954＋9772；
解：原式＝2 0232＋2×977×2 023＋9772＝(2 023＋977)2＝9×106；
(2)6.572－2×6.57×4.57＋4.572．
原式＝(6.57－4.57)2＝22＝4.
(3)6.234 52＋0.234 52－6.234 5×0.469.
解：6.234 52＋0.234 52－6.234 5×0.469
＝6.234 52＋0.234 52－2×6.234 5×0.234 5
＝(6.234 5－0.234 5)2
＝36.
17．把下列各式分解因式：
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
解：原式＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2＝(a＋1)2(a－1)2.
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
原式＝(x2＋16y2)2－(8xy)2＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)＝(x＋4y)2(x－4y)2.
(3)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2；
解：原式＝2＝(a－b－c)2.
(4)81a4－72a2b2＋16b4.
原式＝(9a2)2－2·9a2·4b2＋(4b2)2＝(9a2－4b2)2＝2＝(3a＋2b)2(3a－2b)2.
【总结】对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或“三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分组后再用提公因式法、公式法等继续分解，注意分解因式要彻底．
18．若ab＝，a＋b＝，求多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
∵ab＝，a＋b＝，
∴原式＝×＝.
19．已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
解：[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]
＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2)
＝(x＋y)2(x－y)2
＝[(x＋y)(x－y)]2
＝(x2－y2)2＝400.
20．(1)已知a(a－1)－(a2－2b)＝6，求－ab＋b2的值；
解：由a(a－1)－(a2－2b)＝6，得－a＋2b＝6.
∴a－2b＝－6.
∴－ab＋b2＝＝＝
＝9.
(2)已知a2＋b2＋c2－2a＋4b－6c＋14＝0，求a＋b＋c的值．
解：∵a2＋b2＋c2－2a＋4b－6c＋14＝0，
∴a2－2a ＋1＋b2＋4b＋4＋c2－6c＋9＝0，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2＝0，
∴(a－1)2＝0，(b＋2)2＝0，(c－3)2＝0，
∴a＝1，b＝－2，c＝3.
∴a＋b＋c＝2.
21．问题背景：对于形如x2－120x＋3 600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成(x－60)2，对于二次三项式x2－120x＋3 456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常将x2－120x加上一项602，使它与x2－120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2－120x＋3 456＝x2－2×60x＋602－602＋3 456＝(x－60)2－144＝(x－60)2－122＝(x－60＋12)(x－60－12)＝(x－48)(x－72)．
问题解决：
(1)请你按照上面的方法分解因式：x2－140x＋4 756；
解：x2－140x＋4 756＝x2－2×70x＋702－702＋4 756＝(x－70)2－144＝(x－70)2－122＝(x－70＋12)(x－70－12)＝(x－58)(x－82)．
(2)已知一个长方形的面积为a2＋8ab＋12b2，宽为a＋2b，求这个长方形的长．
解：∵a2＋8ab＋12b2＝a2＋2×a×4b＋(4b)2－(4b)2＋12b2＝(a＋4b)2－4b2＝(a＋4b＋2b)(a＋4b－2b)＝
(a＋2b)(a＋6b)，
∴宽为a＋2b时，这个长方形的长为a＋6b.
22．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提取公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等．
①分组分解法：
例如：x2－2xy＋y2－4＝(x2－2xy＋y2)－4＝(x－y)2－22＝(x－y－2)(x－y＋2)．
②拆项法：
例如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1－2)(x＋1＋2)＝(x－1)(x＋3)．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①(分组分解法)4x2＋4x－y2＋1；②(拆项法)x2－6x＋8．
解：4x2＋4x－y2＋1
＝(4x2＋4x＋1)－y2
＝(2x＋1)2－y2
＝(2x＋y＋1)(2x－y＋1)；
x2－6x＋8
＝x2－6x＋9－1
＝(x－3)2－1
＝(x－3－1)(x－3＋1)
＝(x－4)(x－2)．
(2)已知：a，b，c为三角形ABC的三条边，a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，求三角形ABC的周长．
解：∵a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，
∴(a2－4a＋4)＋(b2－4b＋4)＋(c2－6c＋9)＝0，
∴(a－2)2＋(b－2)2＋(c－3)2＝0，
∴a＝2，b＝2，c＝3，
∴a＋b＋c＝2＋2＋3＝7.
故三角形ABC的周长为7.
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