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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第5章分式（解析版）
5.5 分式方程（1）
【知识重点】
1．分式方程：
像，，这样，只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
(1)去分母：当分式方程含有若干个分式时，通常可用各个分式的公分母同乘方程的两边进行去分母；方程两边同乘公分母，公分母为分母的系数的最小公倍数和各分母所有字母的最高次幂的积．注意：①不要漏乘单独的数字．②分子是多项式的要用括号括起来．
(2)去括号：注意符号和不要漏乘．
(3)移项，合并同类项：注意移项要变号．
(4)两边同时除以未知数的系数：注意不要颠倒分子分母．
(5)检验：解分式方程，一定要验根，把所求的根代入原分式方程，或者代入公分母，判断方程中的分式有无意义．使公分母的值不为零的根，是原方程的根，使分母为零的根我们说它是增根，增根使方程无意义，应舍去.
(6)写出结论．一般写法：经检验，x=___是原方程的根；或者：经检验，x=___是原方程的增根，所以原方程无解．
【经典例题】
【例1】下列关于 的方程① ，② ，③ ，④ 中，是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】方程②是分式方程，方程①③④不是分式方程，
∴是分式方程的有一个.
故答案为：A.
【例2】若解分式方程 ＝ 产生增根，则k＝ ．
【答案】-3
【解析】去分母得：x-1=k，
由分式方程有增根，
得x+2=0，
即x=-2，
把x=-2代入整式方程得：k=-2-1=-3.
故答案为：- 3.
【例3】若关于x的方程无解，则a的值为 ．
【答案】2或3
【解析】去分母得：3x=x-4+ax，
移项得：（a-2）x=4，
由分式方程无解，得到a-2=0，或，
解得：a=2，或a=3，
故答案为：2或3．
【例4】解分式方程.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
【答案】（1）解：去分母得：2x=5(x+3)，
解得x=-5.
检验：x=-5时，(x+3)≠0，
∴x=5是原方程的解.
（2）解： ，
：
方程两边都乘2x-5，
得x-(2x-5)=-5，
x-2x+5=-5，
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的根.
（3）解：
：
方程两边都乘(x+4)(x-4)，
得x+4=4，
解得x=0，
经检验，x=0是原方程的根.
（4）解：方程两边都乘(x+4)(x-4)，
得5(x+4)(x-4)+88=(2x-1)(x-4)+(3x-1)(x十4)，
整理得2x=8，解得x=4，
经检验，当x=4时，
(x+4)(x-4)=0，
∴x=4不是原方程的根，即原方程无解.
【基础训练】
1．下列方程不是分式方程的是（ ）
A． +x=2+3x B． = C． ﹣ =4 D． + =1
【答案】C
【解析】A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程；
C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程；
D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程；
故选：C．
2．解分式方程 时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
∴
两边同时乘以2（x-1）得
4x+2（x-2）=x-1.
故答案为：C.
3．方程 的根是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0
【答案】D
【解析】去分母得x(x+1)=0，
则x=0或x+1=0，
解得x1=0，x2=-1，
当x=0时，分母（x+1）(x+2)=2>0，符合题意；
当x=-1时，分母（x+1）(x+2)=0，故x=-1舍去.
故x=0是原分式方程的解.
故选D.
4．下列解分式方程 的步骤中，错误的是（ ）
A．找最简公分母：2-x
B．去分母：
C．计算方程的根：
D．验根：当 时，方程 成立
【答案】D
【解析】方程两边同乘（2-x），得：-x+2=0，
解得x=2，
检验：当x=2时，2-x=0，
∴原方程无解.
故答案为：D.
5．若关于x的方程3a有增根，则a的值为（ ）
A．﹣l B． C． D．1
【答案】D
【解析】去分母得
x-3a=3a（x-3）
∴x-3ax=-6a
∵方程有增根，
∴增根为x-3=0即x=3，
∴3-9a=-6a
解之：a=1.
故答案为：D.
6．若关于 的分式午程 有增根，则这个增根可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方程两边都乘（x-1），得a=2+x-1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x-1=0，
∴增根是x=1.
故答案为：B.
7．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】去分母得：，
，
，
方程的解为正数，
且，
，
且．
故答案为：且．
8．已知 ，则b＝ ．(用含有a，c的代数式表示)
【答案】
【解析】去分母得
bc+ac=ab
ab-bc=ac
∴（a-c）b=ac
解之：.
经检验是原方程的根.
故答案为：.
9．当x= 时， 与 互为相反数.
【答案】-1
【解析】∵与 互为相反数.
∴
方程两边同时乘以（2x-1）（x+4）得
3(x+4)+3（2x-1）=0
解得：x=-1
经检验x=-1时此分式方程的根。
故答案为：-1
10．分式方程 去分母时，两边都乘以 .
【答案】
【解析】因为 ， ，所以各个分母的最简公分母是（x+1）(x-1）， 所以去分母时，分式方程的两边都乘以（x+1）(x-1）即可.
故答案为：（x+1）(x-1）.
11．已知x=3是方程 的解，则m的值为 。
【答案】
【解析】【解答】∵方程的解为x=3，
∴将其代入方程得1+1+m/2=2/3，得m=-
12．关于x的分式方程有增根，则a的值是 ．
【答案】2
【解析】∵，
∴ax=2+x-1，
∵分式方程有增根，增根为x=1，
∴a·1=2+1-1，
∴a=2.
故答案为：2.
13．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：方程两边同时乘以x﹣2得x﹣3+x﹣2＝3，
解整式方程得，x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣2≠0
∴x＝4是原方程的解．
（2）解：方程两边同时乘以（x﹣1）（2x+3）得：2x2﹣x﹣6＝2（x﹣2）（x﹣1），
整理得：5x＝10，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x﹣1）（2x+3）≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
14．解分式方程：
（1） ＝ ；
（2） + ＝﹣1．
【答案】（1）解： ＝ ，
去分母：9（x-3）=2x+1，
去括号：9x-27=2x+1，
移项：9x-2x=1+27，
合并同类项：7x=28，
系数化为1：x=4，
经检验：x=4是方程的根；
（2）解：去分母：-（2+x）2+15=-（x+2）（x-2），
去括号：-x2-4x-4+15=-x2+4，
移项：-4x=-7，
系数化为1：x=，
经检验：x=是方程的根.
15．以下是小明解方程的解答过程：
解：两边同乘以得
所以．
经检验是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】解：小明的回答错误
经检验是原方程的解．
16．静静同学解分式方程 的过程如下：
去分母得：﹣6x﹣2（3﹣x）＝5（x﹣1）
去括号得：﹣6x﹣6﹣2x＝5x﹣5
移项得：﹣6x﹣2x﹣5x＝﹣5﹣6
合并同类项得：﹣13x＝﹣11
两边同除以13得：x 经检验x 是方程的解.
静静的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
【答案】解：静静的解答过程有错误，
正确的解答过程为：
去分母得：6x-2（3-x）=5（x-1）
去括号得：6x-6+2x=5x-5
移项得：6x+2x-5x=-5+6
合并同类项得：3x=1
两边同除以3得：x= ，
经检验，x= 是方程的解，
所以原方程的解为：x= .
17．阅读理解：解方程组 时，如果设 则原方程组可变形为关于a、b的方程组 ，解这个方程组得到它的解为 由 求的原方程组的解为 ，利用上述方法解方程组：
【答案】设 ＝m， ＝n，则原方程组可变形为关于m、n的方程组 ，
①＋②得：
8m＝24，
解得：m＝3，
将m＝3代入①得：
n＝ 2，
则方程组的解为： ，
由 ＝3， ＝ 2，
故方程组的解为： ．
18．关于x的分式方程：.
（1）当m＝3时，求此时方程的根；
（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值.
【答案】（1）解：把m=3代入方程得：，
去分母得：3x+2x+4=3x-6，
解得：x=-5，
检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，
∴分式方程的解为x=-5；
（2）解：去分母得：mx+2x+4=3x-6，
∵这个关于x的分式方程会产生增根，
∴x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，
解得：m=-4；
把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，
解得：m=6.
【培优训练】
19．已知关于x的分式的解为非负数，则a的范围为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵分式方程的解为非负数且分式方程要有意义，
∴，
解得且，
故答案为：A.
20．若分式方程无解，则a的值是（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．-1或1
【答案】B
【解析】
整理得，，
当整式方程无解时，，
解得，，
当分式方程无解时，① x=0时，a无解，②时，，
∴当或时，原方程无解.
故答案为：B.
21． ， ， 等代数式，如果交换m和n的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式. 若关于x，y的分式 是完美对称式，则： ；若完美对称式 满足： ，且 ，则 （用含x的代数式表示）.
【答案】-1；
【解析】由完美对称式的定义得： ，
整理得： ，
则 ，
解得 ，
将 代入 得： ，
，
，
，
，
，
，
解得 .
故答案为：-1， .
22．若方程的解为，则方程的解为 ．
【答案】
【解析】∵，，
令x=2y，则两个分式方程为同解分式方程，
又∵x=是方程的解，
∴2y=，
∴y=，
经检验，y=是分式方程的解.
故答案为：.
23．若关于x的分式方程 +2＝ 的解为正数，则k的取值范围是 ．
【答案】k＜ 且k≠﹣
【解析】
方程两边同乘（x-1）得，1+2x-2=-2k，
解得
∵方程的解为正数
∴ 且
∴ 且
故答案为： 且 .
24．我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如 ， ， ， ，……请用观察到的规律解方程 ，该方程的解是
【答案】x=4
【解析】原方程可化为：，
∴，
∴，
解得x=4，
经检验：x=4是原方程的解.
25．若关于x的方程 + =2的解不大于8，则m的取值范围是 ．
【答案】m≥﹣18且m≠0
【解析】去分母得：2﹣x﹣m=2x﹣4，
解得：x= ，
由分式方程的解不大于8，得到 ，
解得：m≥﹣18且m≠0，
则m的取值范围是m≥﹣18且m≠0，
故答案为：m≥﹣18且m≠0
26．解分式方程.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：去分母，得 ，解得 .
经检验 是分式方程的根.
（2）解：去分母，得 ，
解得 .
经检验 是分式方程的根.
27．已知关于 的分式方程 .
（1）当k=3时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值.
【答案】（1）解：把 代入方程，得 ，
去分母，得 ，
解得 ，
经检验 是分式方程的根.
（2）解：分式方程去分母，得 .
∵分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入 ，得 ，
解得 .
28．阅读下面材料，解答问题.
解方程： .
解：设 ，则原方程化为 .
方程两边同时乘 ，得 ，
解得 .
经检验 都是方程 的根.
∴当 时， ，觕得 ；
当 时， ，解得 .
经检噞 或 都是原分式方程的偨，
∴原分式堭的根为 或 .
上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题：
（1）若在方程 中，设 ，则原为程可化为 .
（2）若在方程 中，设 ，则原方 可化为 .
（3）利用上述换元法解方程 .
【答案】（1）
（2）
（3）解：原方程可化为 ，设 ，则原方程化为 ，
方程两讱同时乘 得 ，解得 ，
经检验 都是方程 的梖.
当 时， ，该方程无解；
当 时， ，解得 ，
经检验 是原分式方程的根，
∴原分式方程的根为
【解析】【解答】（1）设y=，则，
∴原方程可化为=0，
故答案为：=0；
（2）设y=，则，
∴原方程可化为=0，
故答案为：=0；
29．观察以下等式：① ；② ；③ …，按以上规律解决下列问题：
（1）第⑤个等式是 ．
（2）探究： …+ ＝ （用含的等式表示）；
（3）计算：若 +… ＝ ，求n的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵ ， ，
∴可以得到
∴
∵
∴
解得n＝16，
经检验n＝16，是该分式方程的解，
故n的值为16．
【解析】（1）根据规律可知，第⑤个等式是
故答案为： ；（2）由规律可得，
故答案为： ；
30．观察下列方程，回答问题
①的解为x=0
②的解为x=1
③的解为x=2
④的解为 x=3
（1）请直接写出第⑤个方程及它的解；
（2）请你写出第 n（n为正整数）个方程，并求出它的解．（写出解答过程）
【答案】（1）解：观察前4个方程及方程的解，规律为：
方程左边的分式是分母不变，分子分别为1，2，3，4故第5个方程左边分式的分子为5分母不变；方程的右边分母不变，分子为左边的2倍，故第5个方程的右边分式的分子为10；
所以方程为：
方程的解为：x=4；
（2）解：根据（1）中的结论得到第n（n为正整数）个方程为：
即：
去分母得：
化系数为1得：x=n-1
当时，
是原方程的解．
31．增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根.对于分式方程：
（1）若该分式方程有增根，则增根为 .
（2）在（1）的条件下，求出 的值.
【答案】（1）x=3或x=-3
（2）解：
①若 时，
②若 时，
【解析】（1）当分母值为0时，分式方程有增根，可得：
，解得： 或 ，
即增根是： 或 ，
故答案为： 或 ；
32．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 , ；
方程 的解为 , ；
方程 的解为 , ； …
（1）观察上述方程的解,猜想关于x的方程 的解是 ；
（2）根据上面的规律,猜想关于x的方程 的解是 ；
（3）猜想关于x的方程x 的解并验证你的结论；
（4）在解方程： 时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程。
【答案】（1）
（2） ，
（3）解：猜想关于x的方程x 的解为x1=2,x2= ，理由为：
方程变形得：x ,即x+( )=2+( ),依此类推得到解为x1=2,x2= ；
（4）解：方程变形得： ，可得 或 ，
解得： .
【解析】（1）猜想方程
的解是 ；
（ 2 ）猜想方程
的解是 ， ；
【直击中考】
33．（2022·黄石）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 ．
【答案】a＜1且a≠0
【解析】由得，
关于x的方程的解为负数，
，即，解得，即且，
故答案为：a＜1且a≠0．
34．（2022·绵阳）分式方程的解是 ．
【答案】x=-3
【解析】方程两边同时乘以（x-3）（x-1）得
x（x-1）=（x+1）（x-3）
解之：x=-3，
经检验x=-3是原方程的根.
故答案为：x=-3.
35．（2022·龙东）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【解析】【解答】方程两边同时乘以，得，
解得，
关于x的分式方程的解是正数，
，且，
即且，
且，
故答案为：C．
36．（2021·湖州）解分式方程：
【答案】解：去分母得
2x-1=x+3，
解之：x=4
经检验x=4是原方程的根，
∴原方程的根为x=4.
37．（2017·湖州）解方程： ．
【答案】解：去分母得：2=1+x-1.
合并同类项得：x=2.
经检验x=2是分式方程的解.
∴x=2是原分式方程的根.
【解析】【分析】将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解。
38．（2017·宁波）分式方程 的解是
【答案】x=1
【解析】去分母得：2（2x+1）=3（3-x）.
去括号得：4x+2=9-3x.
移项得：4x+3x=9-2.
合并同类项得：7x=7.
系数化为1得：x=1.
经检验x=1是分式方程的解.
故答案为：x=1.
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5.5 分式方程（1）
【知识重点】
1．分式方程：
像，，这样，只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
(1)去分母：当分式方程含有若干个分式时，通常可用各个分式的公分母同乘方程的两边进行去分母；方程两边同乘公分母，公分母为分母的系数的最小公倍数和各分母所有字母的最高次幂的积．注意：①不要漏乘单独的数字．②分子是多项式的要用括号括起来．
(2)去括号：注意符号和不要漏乘．
(3)移项，合并同类项：注意移项要变号．
(4)两边同时除以未知数的系数：注意不要颠倒分子分母．
(5)检验：解分式方程，一定要验根，把所求的根代入原分式方程，或者代入公分母，判断方程中的分式有无意义．使公分母的值不为零的根，是原方程的根，使分母为零的根我们说它是增根，增根使方程无意义，应舍去.
(6)写出结论．一般写法：经检验，x=___是原方程的根；或者：经检验，x=___是原方程的增根，所以原方程无解．
【经典例题】
【例1】下列关于 的方程① ，② ，③ ，④ 中，是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】若解分式方程 ＝ 产生增根，则k＝ ．
【例3】若关于x的方程无解，则a的值为 ．
【例4】解分式方程.
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
【基础训练】
1．下列方程不是分式方程的是（ ）
A． +x=2+3x B． = C． ﹣ =4 D． + =1
2．解分式方程 时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．方程 的根是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0
4．下列解分式方程 的步骤中，错误的是（ ）
A．找最简公分母：2-x
B．去分母：
C．计算方程的根：
D．验根：当 时，方程 成立
5．若关于x的方程3a有增根，则a的值为（ ）
A．﹣l B． C． D．1
6．若关于 的分式午程 有增根，则这个增根可能是（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
8．已知 ，则b＝ ．(用含有a，c的代数式表示)
9．当x= 时， 与 互为相反数.
10．分式方程 去分母时，两边都乘以 .
11．已知x=3是方程 的解，则m的值为 。
12．关于x的分式方程有增根，则a的值是 ．
13．解方程：
（1）； （2）．
14．解分式方程：
（1） ＝ ； （2） + ＝﹣1．
15．以下是小明解方程的解答过程：
解：两边同乘以得
所以．
经检验是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
16．静静同学解分式方程 的过程如下：
去分母得：﹣6x﹣2（3﹣x）＝5（x﹣1）
去括号得：﹣6x﹣6﹣2x＝5x﹣5
移项得：﹣6x﹣2x﹣5x＝﹣5﹣6
合并同类项得：﹣13x＝﹣11
两边同除以13得：x 经检验x 是方程的解.
静静的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
17．阅读理解：解方程组 时，如果设 则原方程组可变形为关于a、b的方程组 ，解这个方程组得到它的解为 由 求的原方程组的解为 ，利用上述方法解方程组：
18．关于x的分式方程：.
（1）当m＝3时，求此时方程的根；
（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值.
【培优训练】
19．已知关于x的分式的解为非负数，则a的范围为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
20．若分式方程无解，则a的值是（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．-1或1
21． ， ， 等代数式，如果交换m和n的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式. 若关于x，y的分式 是完美对称式，则： ；若完美对称式 满足： ，且 ，则 （用含x的代数式表示）.
22．若方程的解为，则方程的解为 ．
23．若关于x的分式方程 +2＝ 的解为正数，则k的取值范围是 ．
24．我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如 ， ， ， ，……请用观察到的规律解方程 ，该方程的解是
25．若关于x的方程 + =2的解不大于8，则m的取值范围是 ．
26．解分式方程.
（1） ； （2） .
27．已知关于 的分式方程 .
（1）当k=3时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值.
28．阅读下面材料，解答问题.
解方程： .
解：设 ，则原方程化为 .
方程两边同时乘 ，得 ，
解得 .
经检验 都是方程 的根.
∴当 时， ，觕得 ；
当 时， ，解得 .
经检噞 或 都是原分式方程的偨，
∴原分式堭的根为 或 .
上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题：
（1）若在方程 中，设 ，则原为程可化为 .
（2）若在方程 中，设 ，则原方 可化为 .
（3）利用上述换元法解方程 .
29．观察以下等式：① ；② ；③ …，按以上规律解决下列问题：
（1）第⑤个等式是 ．
（2）探究： …+ ＝ （用含的等式表示）；
（3）计算：若 +… ＝ ，求n的值．
30．观察下列方程，回答问题
①的解为x=0
②的解为x=1
③的解为x=2
④的解为 x=3
（1）请直接写出第⑤个方程及它的解；
（2）请你写出第 n（n为正整数）个方程，并求出它的解．（写出解答过程）
31．增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根.对于分式方程：
（1）若该分式方程有增根，则增根为 .
（2）在（1）的条件下，求出 的值.
32．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 , ；
方程 的解为 , ；
方程 的解为 , ； …
（1）观察上述方程的解,猜想关于x的方程 的解是 ；
（2）根据上面的规律,猜想关于x的方程 的解是 ；
（3）猜想关于x的方程x 的解并验证你的结论；
（4）在解方程： 时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程。
【直击中考】
33．已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 ．
34．分式方程的解是 ．
35．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
36．解分式方程：
37．解方程： ．
38．分式方程 的解是
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