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浙教版2022-2023学年七下数学第五章 分式（常考题型）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（2022七下·诸暨期末）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得x-3≠0，则x≠3.
故答案为：D.
2．（2022七下·嵊州期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、，故A选项错误，不合题意；
B、，故B选项正确，符合题意；
C、，故C选项错误，不合题意；
D、，故D选项错误，不合题意.
故答案为：B．
3．（2022七下·嵊州期末）如图、若x为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】∵，
∵x为正整数，
即，
当时，，
∴ ，
则表示的值的点落在线段②上．
故答案为：B．
4．（2022七下·奉化期末）若将分式中的和都扩大到原来的10倍，则分式的值( )
A．缩小到原来的 B．不变
C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的
【答案】A
【解析】设，将分式中的和都扩大到原来的10倍为：
，
所以将分式中的和都扩大到原来的10倍，则分式的值缩小到原来的，
故答案为：A.
5．（2022七下·上虞期末）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，设原计划每天绿化的面积为万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（ ）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务
【答案】C
【解析】设原计划每天绿化的面积为万平方米，
所列分式方程为，
为实际工作时间，为原计划工作时间，
省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务．
故答案为：C.
6．（2022七下·南浔期末）随着快递业务的增加，南浔某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设原来平均每人每周投递快件ｘ件，则更换快捷交通工具后每人每周投递快件（x+80）件，
由题意，得：.
故答案为：D.
7．（2022七下·柯桥期末）设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n = ，若关于x的方程a（x☆x）=（x☆12）+1无解 ，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣3 C．4或﹣3 D．4或3
【答案】D
【解析】∵关于x的方程a（x☆x）=（x☆12）+1无解
∴
∴ax=12+3x-9
整理得：（a-3）x=3
当a-3=0时，此方程无解，
∴a=3；
当3x-9=0时，即x=3方程出现增根，此时方程无解，
∴3（a-3）=3
解之：a=4；
∴a的值为3或4.
故答案为：D.
8．（2020七下·上城期末）甲瓶糖水含糖量为 ，乙瓶糖水含糖量为 ，从甲、乙两瓶中各取质量相等的糖水混合制成新糖水的含糖量为（ ）
A． B．
C． D．由所取糖水质量而定
【答案】C
【解析】设从甲乙两瓶中各取重量相等的糖水x，
则混合制成新糖水的含糖量为： ，
故答案为：C.
9．（2021七下·浦江期末）已知b﹣ a2＝0，则 的值为（ ）
A．a2+1 B．b2+1 C．a+1 D．b+1
【答案】C
【解析】∵b﹣ a2＝0，
∴ b= a2 ，
∴ 原式= =a+1，
故答案为：C.
10．（2022七下·东阳期末）若关于x的方程3a有增根，则a的值为（ ）
A．﹣l B． C． D．1
【答案】D
【解析】去分母得
x-3a=3a（x-3）
∴x-3ax=-6a
∵方程有增根，
∴增根为x-3=0即x=3，
∴3-9a=-6a
解之：a=1.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．（2022七下·嵊州期末）计算： ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12．（2022七下·上虞期末）某感冒药用来计算儿童服药量的公式为，其中为成人服药量，为儿童的年龄，如果一个儿童的服药量恰好是成人服药量的，那么他的年龄是 岁
【答案】6
【解析】由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
即如果一个儿童的服药量恰好是成人服药量的，那么他的年龄是6岁.
故答案为：6.
13．（2022七下·柯桥期末）已知 ，则 ＝ ．
【答案】-8
【解析】
故答案为：-8.
14．（2021七下·奉化期末）已知 ，则 .
【答案】8
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴
故答案为：8.
15．（2021七下·鄞州期末）若关于x的分式方程 有增根，则a的值为 .
【答案】7
【解析】∵分式方程 有增根，
∴x-3=0，
∴x=3，
原分式方程去分母得2x+1=x-3+a，
把x=3代入得
6+1=3-3+a，
∴a=7，
故答案为：7.
16．（2022七下·嵊州期末）已知两个非零实数a，b满足，，则代数式的值为 ．
【答案】2或
【解析】由题意，
①+②得：，
整理得：，
①-②得：，
整理得：，
∴或．
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，代数式的值为2或-6．
故答案为：2或-6．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（2022七下·南浔期末）先化简，再求值： ，并从－1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】解：原式=
，
∵（x+1）（x-1）≠0，x+3≠0，
∴x≠±1，x≠-3，
∴当x=0时，
原式==-；
当x=2时，
原式==.
18．（2021七下·浦江期末）解分式方程：
（1） ＝ ；
（2） + ＝﹣1．
【答案】（1）解： ＝ ，
去分母：9（x-3）=2x+1，
去括号：9x-27=2x+1，
移项：9x-2x=1+27，
合并同类项：7x=28，
系数化为1：x=4，
经检验：x=4是方程的根；
（2）解：去分母：-（2+x）2+15=-（x+2）（x-2），
去括号：-x2-4x-4+15=-x2+4，
移项：-4x=-7，
系数化为1：x=，
经检验：x=是方程的根.
19．（2022七下·杭州期末）以下是小明解方程的解答过程：
解：两边同乘以得
所以．
经检验是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】解：小明的回答错误
：
：
：
经检验是原方程的解．
20．（2021七下·东阳期末）关于x的分式方程：.
（1）当m＝3时，求此时方程的根；
（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值.
【答案】（1）解：把m=3代入方程得：，
去分母得：3x+2x+4=3x-6，
解得：x=-5，
检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，
∴分式方程的解为x=-5；
（2）解：去分母得：mx+2x+4=3x-6，
∵这个关于x的分式方程会产生增根，
∴x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，
解得：m=-4；
把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，
解得：m=6.
21．（2022七下·杭州期末）李老师想买一些球拍和书包奖励给学生，他看中的两种商品在甲，乙两家超市的标价相同.球拍和书包的单价之和为440元，球拍的单价比书包的单价4倍多40元.
（1）李老师看中的球拍和书包的单价各是多少元？
（2）“六一”期间，甲，乙两超市举办让利活动：甲超市所有商品以相同折扣打折销售，乙超市球拍不打折，书包打5折销售.
李老师发现在甲超市用576元买的书包比用576元买的球拍多7件，问甲超市的商品打几折销售.
在 的折扣条件下，李老师发现买一定量的球拍和书包，乙超市更省钱.设买球拍 副，书包12个，求李老师所有的购买方案.
【答案】（1）解：设李老师看中的球拍的单价为 元，书包的单价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：李老师看中的球拍的单价为360元，书包的单价为80元；
（2）解： 设甲超市的商品打 折销售，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：甲超市的商品打8折销售；
由题意得： ，
解得： ，
为正整数，
或2或3，
李老师所有的购买方案为：买球拍1副，书包12个或买球拍2副，书包12个或买球拍3副，书包12个.
22．（2021七下·嘉兴期末）比较 ×（a+1）与 +（a+1）的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当a＝﹣2时， ×（a+1） +（a+1）
②当a＝2时， ×（a+1） +（a+1）
③当a＝ 时， ×（a+1） +（a+1）
（2）归纳：若a取不为零的任意实数， ×（a+1）与 +（a+1）有怎样的大小关系？试说明理由．
【答案】（1）=；=；=
（2）解：由(1)可得： ×（a+1）= +（a+1） ，
∵ ×（a+1）- -（a+1）
=（a+1）+ --（a+1）
=0，
∴ ×（a+1）与 +（a+1）相等 .
【解析】(1) ① 当a＝﹣2时， ×（a+1）= ，
+（a+1）=+（-2+1）=-1=-，
当a＝﹣2时， ×（a+1）= +（a+1） ；
②当a＝2时， ×（a+1）= ，
+（a+1）=+（2+1）=+3=，
∴当a＝2时， ×（a+1）= +（a+1） ；
③当a＝ 时， ×（a+1）= ×（+1）=，
+（a+1）=+（+1）=+3=；
故答案为：=，=，=.
23．（2022七下·柯桥期末）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， = =1＋ ， = = + = 2＋ ．
（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
（2）将假分式 化成一个整式与一个真分式的和的形式为： = a＋m＋ ，求m、n的值； 并直接写出当整数a为何值时，分式 为正整数；
（3）自然数A是 的整数部分，则A的数字和为 ．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是1+2+6=9）
【答案】（1）解：
（2）解：∵ ，
∴m-1=-4，-m+n=6
解之：m=-3，n=3；
=4或2
（3）80
【解析】（2）∵m=-3，n=3
∴
∵是正整数，且a为整数，
∴a-1=3或a-1=1
解之：a=4或2.
（3）∵109×（109+2）=1018+2×109
∴1018+2022=109×（109+2）-2×109+2022
∴
∵2×109-2020=2（109+2）-4-2022=2（109+2）-2026
∴
∴A=999999998
∴9×8+8=80.
故答案为：80.
24．（2022七下·奉化期末）我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”.
例如为十字分式方程，可化为，，.
再如为十字分式方程，可化为，，.
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则 ， .
（2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值.
（3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值.
【答案】（1）-2；-3
解：由已知得，，
：.
（3）解：原方程变为，
：
，，
：.
【解析】（1）可化为，
，.
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年七下数学第五章 分式（常考题型）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（2022七下·诸暨期末）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
2．（2022七下·嵊州期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022七下·嵊州期末）如图、若x为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2022七下·奉化期末）若将分式中的和都扩大到原来的10倍，则分式的值( )
A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的
5．（2022七下·上虞期末）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，设原计划每天绿化的面积为万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（ ）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务
6．（2022七下·南浔期末）随着快递业务的增加，南浔某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七下·柯桥期末）设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n = ，若关于x的方程a（x☆x）=（x☆12）+1无解 ，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣3 C．4或﹣3 D．4或3
8．（2020七下·上城期末）甲瓶糖水含糖量为 ，乙瓶糖水含糖量为 ，从甲、乙两瓶中各取质量相等的糖水混合制成新糖水的含糖量为（ ）
A． B． C． D．由所取糖水质量而定
9．（2021七下·浦江期末）已知b﹣ a2＝0，则 的值为（ ）
A．a2+1 B．b2+1 C．a+1 D．b+1
10．（2022七下·东阳期末）若关于x的方程3a有增根，则a的值为（ ）
A．﹣l B． C． D．1
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．（2022七下·嵊州期末）计算： ．
12．（2022七下·上虞期末）某感冒药用来计算儿童服药量的公式为，其中为成人服药量，为儿童的年龄，如果一个儿童的服药量恰好是成人服药量的，那么他的年龄是 岁
13．（2022七下·柯桥期末）已知 ，则 ＝ ．
14．（2021七下·奉化期末）已知 ，则 .
15．（2021七下·鄞州期末）若关于x的分式方程 有增根，则a的值为 .
16．（2022七下·嵊州期末）已知两个非零实数a，b满足，，则代数式的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（2022七下·南浔期末）先化简，再求值： ，并从－1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（2021七下·浦江期末）解分式方程：
（1） ＝ ； （2） + ＝﹣1．
19．（2022七下·杭州期末）以下是小明解方程的解答过程：
解：两边同乘以得
所以．
经检验是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
20．（2021七下·东阳期末）关于x的分式方程：.
（1）当m＝3时，求此时方程的根；
（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值.
21．（2022七下·杭州期末）李老师想买一些球拍和书包奖励给学生，他看中的两种商品在甲，乙两家超市的标价相同.球拍和书包的单价之和为440元，球拍的单价比书包的单价4倍多40元.
（1）李老师看中的球拍和书包的单价各是多少元？
（2）“六一”期间，甲，乙两超市举办让利活动：甲超市所有商品以相同折扣打折销售，乙超市球拍不打折，书包打5折销售.
李老师发现在甲超市用576元买的书包比用576元买的球拍多7件，问甲超市的商品打几折销售.
在 的折扣条件下，李老师发现买一定量的球拍和书包，乙超市更省钱.设买球拍 副，书包12个，求李老师所有的购买方案.
22．（2021七下·嘉兴期末）比较 ×（a+1）与 +（a+1）的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当a＝﹣2时， ×（a+1） +（a+1）
②当a＝2时， ×（a+1） +（a+1）
③当a＝ 时， ×（a+1） +（a+1）
（2）归纳：若a取不为零的任意实数， ×（a+1）与 +（a+1）有怎样的大小关系？试说明理由．
23．（2022七下·柯桥期末）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， = =1＋ ， = = + = 2＋ ．
（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
（2）将假分式 化成一个整式与一个真分式的和的形式为： = a＋m＋ ，求m、n的值； 并直接写出当整数a为何值时，分式 为正整数；
（3）自然数A是 的整数部分，则A的数字和为 ．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是1+2+6=9）
24．（2022七下·奉化期末）我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”.
例如为十字分式方程，可化为，，.
再如为十字分式方程，可化为，，.
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则 ， .
（2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值.
（3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值.
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