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浙教版2022-2023学年七下数学第五章 分式 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列分式中不是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A. 分子分母没有公因式，不能约分，所以它是最简分式，故A选项不符合题意；
B. 是最简分式，故B选项不符合题意；
C. = = ,故C选项符合题意;
D. 是最简分式, 故D选项不符合题意.
故应选C.
2．若关于x的方程的解大于0，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，解得：，
∴且a-1≠0，
∴，
故答案为：A．
3．对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】 ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
4．若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3
【答案】A
【解析】 ，
去分母得：2x-（x-3）=1-m，
∵方程无解，∴x=3 ，
∴2×3-（3-3）=1-m，
解得m=-5，
故答案为：A.
5．若 的值为 ,则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得： ，则 = .
故答案为：C.
6．已知 ，则A的取值是（ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．6
【答案】C
【解析】 ，
，
得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11，
∴A+11=5，-2A-11=1，
∴A=-6.
故答案为：C.
7．已知，，，，…，， 则y2021=（ ）
A． B．2-x C． D．1
【答案】A
【解析】∵，
∴，
，
，
∴这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
∵2021÷3=673…2，
∴，
故答案为：A.
8．若，为实数且满足，，设，，有以下2个结论：若，则；若，则下列判断正确的是( )
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
【答案】D
【解析】，
当时，，即，
故①正确；
，
当时，，
，，
，
，
，
，
，
故②正确.
综上所述，结论①②都正确.
故答案为：D.
9．如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
10．已知实数x、y、z满足 ，则 的值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为 ，所以x+y+z≠0，
里边同乘x+y+z得，，
：
：
：
故答案为：B
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若关于x的方程 无解，则 。
【答案】9或3或-3
【解析】分式方程化简，得
整理，得
当 时，即 ，整式方程无解；
当 ，即 或 时，分式方程无解，
当 时， ；
当 时， ．
故答案为：9或3或﹣3．
12．当k＝ 时，方程 会产生增根．
【答案】6或-4
【解析】分式方程去分母得：2（x-1）+3（x+1）＝k，
由分式方程有增根，得到x＝1或x＝-1，
把x＝1代入整式方程得：k＝6；
把x＝-1代入整式方程得：k＝-4，
综上，k的值为6或-4时，方程 会产生增根，
故答案为：6或-4．
13．若代数式 表示一个自然数，则符合条件的整数 的个数为 .
【答案】4
【解析】 它要为自然数，x-3必须能被2整除，x-3只能等于 ，所以x符合条件个数为：4.
故答案为：4.
14．如图，甲，乙两人分别从A、B两地同时出发去往C地，在距离C地2500米处甲追上乙；若乙提前10分钟出发，则在距离C地1000米处甲追上乙。已知，乙每分钟走60米，那么甲的速度是每分钟 米。
【答案】100
【解析】设甲到C地的距离为S米，甲比乙多走a米，甲的速度为x米/分，
则根据题意得： = ①
= = +15 ②
①和②式联立得： -15= （S-1000）/X-15=（S-2500）/X
解得：x=100，即甲的速度为100米每分．
故答案为：100．
15．如果 对于自然数 成立，则 ， ．
【答案】；
【解析】 ，
由题意可知：
∴ ， ，
故答案为： , ．
16．已知实数 满足 ，则 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴a2-3a-1
=a2-3a-abc=a(bc+a-3)
=a(bc+4-b-c-3)
=a(bc-b-c+1)
=a(b-1)(c-1)，
同理：b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵a+b+c=4，
∴ ，
∴abc-ab-ac-bc+a+b+c= ，
∵a+b+c=4，abc=-1，
∴ab+ac+bc= ，
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴16= a2+b2+c2+2×（ ），
解得：a2+b2+c2= ，
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1）计算：
（2）
【答案】（1）解： ：
：：
（2）解： ：
：：
18．张康和李健两名运动爱好者周末相约到丹江环库绿道进行跑步锻炼.
（1）周日早上 点，张康和李健同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为 千米和 千米的绿道环库路入口汇合，结果同时到达，且张康每分钟比李健每分钟多行 米，求张康和李健的速度分别是多少米 分？
（2）两人到达绿道后约定先跑 千米再休息，李健的跑步速度是张康跑步速度的 倍，两人在同起点，同时出发，结果李健先到目的地 分钟.
①当 ， 时，求李健跑了多少分钟？
②求张康的跑步速度多少米 分？（直接用含 ， 的式子表示）
【答案】（1）解：设李康的速度为 米 分，则张健的速度为 米 分，
根据题意得：
解得： ，
经检验， 是原方程的根，且符合题意，
.
答：李康的速度为 米 分，张健的速度为 米 分
（2）解：① ， ， （分钟）.
故李健跑了 分钟；
②李健跑了的时间： 分钟，
张康跑了的时间： 分钟，张康的跑步速度为： 米 分.
19．已知：，
（1）化简分式A；
（2）若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围；
（3）当x取什么整数时，分式A的值为整数．
【答案】（1）解：：：；
（2）解：由题意：
，
，
．
∵解是非负数，
∴
∴．
∵即，
∴，
解得，
∴且；
（3）解：：：：．
当时，分式的值为；
当时，分式的值为0；
当时，分式的值为；
当时，分式的值为0．
20．阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
… -0.25 -0.5 -1 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
（1）当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当时，直接写出代数式值的取值范围是 ．
【答案】（1）减小；减小
（2）解：∵
∵当时，的值无限接近于0，
∴当时，无限接近于2；
（3）
【解析】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小；
∵当时，随着的增大，的值也随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
故答案为：
21．在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：
＝＝1+，＝＝＝x﹣1+.
参考上面的方法解决下列问题：
（1）将分式化为带分式；
（2）求分式的最大值；（其中n为正整数）
（3）已知分式的值是整数，求t的整数值.
【答案】（1）解：原式＝＝1+；
（2）解：原式＝＝9﹣，
∵n为正整数，
∴当n＝9时，分式有最大值，最大值为9+49＝58；
（3）解：原式＝＝2﹣，
∵分式的值为整数，
∴t+2＝±1，
∴t＝﹣1或﹣3.
22．阅读材料：
关于x的方程： 的解是 ， ；
（即 ）的解是 ；
的解是 ， ；
的解是 ， ；……
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程 与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证。
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程： 。
【答案】（1） 猜想该方程的解是x1=c,x2=;
验证：当x1=c时，方程的左边= ， 方程的右边= ，左边等于右边
，∴x1=c是该方程的解；
当x2=时，方程的左边= ， 方程的右边= ，左边等于右边，
∴x2=是该方程的解；
（2） 将方程 变形为 ，
∴x-1=a-1或x-1=，
解得x1=a,x2=
23．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．
（1）已知分式，试说明是的“关联分式”；
（2）小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，∴．
请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： ．
②若是的“关联分式”，则的值为 ．
【答案】（1）解：∵，
，
∴是的关联分式．
（2）解：设的关联分式是N，则：，
∴，
∴，
∴．
（3）；
【解析】（3）①根据解析（2）可知，的关联分式为：
；
故答案为：；
②∵是的“关联分式”，
∴，
由①得，
由②得：，
即，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
24．阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ 。在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， ，…这样的分式是假分式；如 与 …这样的分式是真分式。类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)的形式。
例如：将分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
方法1： = = =x-1-
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数)
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x +(a+3)x+(3a+b)
∴x +2x-5=x +(a+3)x+(3a+b)
对于任意x，上述等式均成立，
∴ ，解得
∴x +2x-5=(x+3)(x-1)-2
∴ = = =x-1-
这样，分式 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
【材料2】对于式子2+ ，由x2≥0知1+x 的最小值为1，所以 的最大值为3，
所以2+ 的最大值为5。
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式 是 分式(填“真”或“假”)。
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式：
① = + 。
② = + 。
（3）把分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数。
（4）当x的值变化时，求分式 的最大值。
【答案】（1）真
（2）2；；x；
（3）解： = = =x+5+
若原分式的值为整数，则x-3=±1或x-3=±2
①若x-3=1，则x=4；
②若x-3=-1，则x=2；
③若x-3=2，则x=5；
④若x-3=-2，则x=1。
∴当x=4或2或5或1时，原分式的值为整数．
（4）解： = =2+ =2+
∵(x-1) ≥0，
∴(x-1) +1有最小值1
∴ 有最大值4，
∴2+ 有最大值6，
∴当x的值变化时，原分式的最大值是6
【解析】（1）原式=
∴是真分式.
故答案为：真.
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年七下数学第五章 分式 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列分式中不是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的方程的解大于0，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3
5．若 的值为 ,则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，则A的取值是（ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．6
7．已知，，，，…，， 则y2021=（ ）
A． B．2-x C． D．1
8．若，为实数且满足，，设，，有以下2个结论：若，则；若，则下列判断正确的是( )
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
9．如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
10．已知实数x、y、z满足 ，则 的值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若关于x的方程 无解，则 。
12．当k＝ 时，方程 会产生增根．
13．若代数式 表示一个自然数，则符合条件的整数 的个数为 .
14．如图，甲，乙两人分别从A、B两地同时出发去往C地，在距离C地2500米处甲追上乙；若乙提前10分钟出发，则在距离C地1000米处甲追上乙。已知，乙每分钟走60米，那么甲的速度是每分钟 米。
15．如果 对于自然数 成立，则 ， ．
16．已知实数 满足 ，则 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（1）计算： （2）
18．张康和李健两名运动爱好者周末相约到丹江环库绿道进行跑步锻炼.
（1）周日早上 点，张康和李健同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为 千米和 千米的绿道环库路入口汇合，结果同时到达，且张康每分钟比李健每分钟多行 米，求张康和李健的速度分别是多少米 分？
（2）两人到达绿道后约定先跑 千米再休息，李健的跑步速度是张康跑步速度的 倍，两人在同起点，同时出发，结果李健先到目的地 分钟.
①当 ， 时，求李健跑了多少分钟？
②求张康的跑步速度多少米 分？（直接用含 ， 的式子表示）
19．已知：，
（1）化简分式A；
（2）若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围；
（3）当x取什么整数时，分式A的值为整数．
20．阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
… -0.25 -0.5 -1 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
（1）当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当时，直接写出代数式值的取值范围是 ．
21．在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：
＝＝1+，＝＝＝x﹣1+.
参考上面的方法解决下列问题：
（1）将分式化为带分式；
（2）求分式的最大值；（其中n为正整数）
（3）已知分式的值是整数，求t的整数值.
22．阅读材料：
关于x的方程： 的解是 ， ；
（即 ）的解是 ；
的解是 ， ；
的解是 ， ；……
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程 与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证。
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程： 。
23．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．
（1）已知分式，试说明是的“关联分式”；
（2）小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，∴．
请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： ．
②若是的“关联分式”，则的值为 ．
24．阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ 。在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， ，…这样的分式是假分式；如 与 …这样的分式是真分式。类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)的形式。
例如：将分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
方法1： = = =x-1-
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数)
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x +(a+3)x+(3a+b)
∴x +2x-5=x +(a+3)x+(3a+b)
对于任意x，上述等式均成立，
∴ ，解得
∴x +2x-5=(x+3)(x-1)-2
∴ = = =x-1-
这样，分式 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
【材料2】对于式子2+ ，由x2≥0知1+x 的最小值为1，所以 的最大值为3，
所以2+ 的最大值为5。
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式 是 分式(填“真”或“假”)。
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式：
① = + 。
② = + 。
（3）把分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数。
（4）当x的值变化时，求分式 的最大值。
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