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浙教版2022-2023学年七下数学第五章 分式 尖子生测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．分式方程的解为（ ）
A．x＝2 B．无解 C．x＝3 D．x＝﹣3
【答案】B
【解析】
两边同时乘以得：
解得：
经检验得不是分式方程的解
∴该分式方程无解
故答案为：B．
2．能使分式 值为整数的整数x有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．.4
【答案】D
【解析】∵ 分式 值为整数，
∴2x-3=±1或4x+7=2x-3或4x+7=3（2x-3）
解之：x=1，x=2，x=5，x=8
∴整数x的值有4个
故答案为：D
3．甲、乙两地相距500km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.5倍，提速后行车时间比提速前减少10min，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.5倍，所以提速后动车的速度为1.5vkm/h，
根据题意可得．
故答案为：A．
4．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为万平方米，
根据题意，得，
故答案为：A．
5．关于的分式方程，下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是 B．当时，方程的解是正数
C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程无解
【答案】B
【解析】，
去分母得：
解得：
当时，是方程的解，故A选项不符合题意；
当时， 方程的解是正数，故B选项符合题意；
当且时，方程的解是负数，故C选项不符合题意；
当时，方程无解，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
6．关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】D
【解析】
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
7．已知关于x的分式方程 无解，则所有符合条件的m值的和为（ ）
A．1 B．2 C．6 D．7
【答案】D
【解析】
方程两边都乘以（x-2）（x-6），得，mx+2（x-6）=3（x-2），
解得x= ．
因为方程无解，
所以m-1=0或 ，
解得m=1或4或2
所以，所有符合条件的m值的和为1+4+2=7
故答案为：D．
8．若 ，则使 最接近 的正整数 是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】∵ ， ， ， ，
∴
，
∴当n=3时， ，
当n=4时， ，
当n=5时， ，
当n=6时， ，
显然， ，
故答案为：A.
9．商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为( )
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
【答案】B
【解析】设A、B两种糖的单价为x、y， “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m， “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n， “什锦糖”甲单价为a， “什锦糖”甲单价为b， 则：
，
把y=40+x代入上式解得：x=60.
故答案为：B
10．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤6且m≠4
【解析】关于x的分式方程的解为：x＝6 m，
∵分式方程有可能产生增根2，
∴6 m≠2，
∴m≠4，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴6 m≥0，解得：m≤6，
综上，m的取值范围是：m≤6且m≠4．
故答案为：m≤6且m≠4．
12．枣庄市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为 ．
【答案】80%
【解析】设甲、乙两厂的质检总数都为x件，
根据题意，得：，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列分式方程的解，
∴甲厂产品的合格率为=0.8=80%，
故答案为：80%．
13．若关于x的方程＝产生增根，则m的值是 ．
【答案】1
【解析】方程两边同乘以x 2，得
①
∵原方程有增根，
∴x 2=0，
即x=2.
把x=2代入①，得
m=1.
故答案为：1．
14．人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 .
【答案】5050
【解析】∵a=，b=，
∴ab==1，
又∵S1=+==1，
S2=+==2，
∴Sn=n，
∴S100=+=100，
∴S1+S2+…S100=1+2+3+…+100=50×101=5050.
故答案为：5050.
15．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为 .
【答案】1
【解析】∵ =4，
∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，
∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0.
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）=0，
∴xyz=x+y+z，
∴ ，
即 的值为1.
故答案为：1.
16．观察方程①：x＋ ＝4，方程②：x＋ ＝6，方程③：x＋ ＝8．
（1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ；
（2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ；
（3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ．
【答案】（1）x1＝1，x2＝3；x1＝2，x2＝4；x1＝3，x2＝5
（2）x＋ ＝10；x1＝4，x2＝6．
（3）x＋ ＝2n＋2；x1＝n，x2＝n＋2
【解析】（1）方程①根：x1＝1，x2＝3；
方程②根：x1＝2，x2＝4；
方程③根：x1＝3，x2＝5；
（2）方程④：x＋ ＝10；方程④根：x1＝4，x2＝6．
（3）第n个方程：x＋ ＝2n＋2．解是：x1＝n，x2＝n＋2
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解分式方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解；
（2）解：去分母得：﹣3（x+2）＝3（x+2）﹣6+x，
去括号得：﹣3x﹣6＝3x+6﹣6+x，
移项合并得：7x＝﹣6，
解得：x＝﹣ ，
经检验x＝﹣ 是分式方程的解．
18．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即，
所以，
故的值为．
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知，求的值．
（2）【拓展延伸】
已知，，，求的值．
【答案】（1）解：由知，
所以，
即，
所以
所以
故：的值为．
（2）解：因为，，，
所以，
所以，
所以，
故，的值为．
19．在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，．
（1）现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可）
（2）若分式的值为整数，求出整数m的值；
（3）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如：；
．
请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值．
【答案】（1）①④；②
（2）解：分式的值为整数，则的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：；
（3）解：：：：
要使的值为整数，即为整数，则是整数即可，
所以的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：
20．某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元.
（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍.这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【答案】（1）解：设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，
，
解得，，
∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，
∴商店3月份的进货金额只有10000元，不能同时购进A款和B款T恤衫各60件；
（2）解：由题意可得，
，
解得，a＝8，
经检验，a＝8是原分式方程的解，
则4月份购进的T恤衫的数量为＝100（件），5月份购进的T恤衫的数量为100×1.2＝120（件），
（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），
答：商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润10060元.
21．
（1）【探索】
①如果
，则
.
②如果
，则
.
（2）【总结】如果
(其中a，b，c为常数)，则m= .
（3）【应用】利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，求满足条件的整数 的值.
【答案】（1）1；-13
（2）b-ac
（3）解： .
因为x为整数且 为整数，
∴
∴ 或0
【解析】（1）①将已知等式整理，得
，
即3x＋4=3x+3+m，解得m=1.故答案为1.
②将已知等式整理，得
，
即5x-3=5x＋10＋m，
解得m=-13.
故答案为-13.
（2）将已知等式整理可得
∴ax+b=ax+ac+m
解之：m=b-ac.
22．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如，，则和都是“和谐分式”.
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）
①；②；③；④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数.
（4）拓展：若，求A、B的值.
【答案】（1）①③④
（2）a-1
（3）解：=：：：
：
∴当或时，分式的值为整数
此时或-2或1或-3
又∵分式有意义时、1、-1
∴
所以当x=-3时，分式运算的结果是整数.
（4）解：∵
又
∴
解得，
【解析】（1）①，是和谐分式；
②是整式，不是和谐分式；
③，是和谐分式；
④，是和谐分式；
故答案为：①③④；
(2)
故答案为：a-1；
23．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若，，，你能很快求出的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足，，，且．求代数式的值．
【答案】（1）解：等式右边左边，得证
（2）解：当，，时，
（3）解：，
，
，，，
，，，
原式．
24．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如： ，这样，分式就拆分成一个分式 与一个整式 的和的形式.
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）若x为整数， 为负整数，可求得 x最大值= ；
（2）利用分离常数法，求分式 的取值范围；
（3）若分式 拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为： （整式部分对应等于 ，真分式部分对应等于 ）.
①用含x的式子表示出mn；
②随着x的变化， 有无最小值？如有，最小值为多少？
【答案】（1）-5
（2）解： ，
∵ ，∴ ，∴ ；
（3）解：∵ ，
而分式 拆分成一个整式与一个真分式
（分子为整数）的和（差）的形式为： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
① ，
②∵ ， ，
而
，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 的最小值是27.
【解析】（1） ，
若x为整数， 为负整数，则 ，
解得： ，
故答案为： ；
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浙教版2022-2023学年七下数学第五章 分式 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．分式方程的解为（ ）
A．x＝2 B．无解 C．x＝3 D．x＝﹣3
2．能使分式 值为整数的整数x有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．.4
3．甲、乙两地相距500km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.5倍，提速后行车时间比提速前减少10min，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．关于的分式方程，下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是 B．当时，方程的解是正数
C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程无解
6．关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
7．已知关于x的分式方程 无解，则所有符合条件的m值的和为（ ）
A．1 B．2 C．6 D．7
8．若 ，则使 最接近 的正整数 是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为( )
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
10．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ．
12．枣庄市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为 ．
13．若关于x的方程＝产生增根，则m的值是 ．
14．人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 .
15．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为 .
16．观察方程①：x＋ ＝4，方程②：x＋ ＝6，方程③：x＋ ＝8．
（1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ；
（2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ；
（3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解分式方程
（1） （2）
18．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即，
所以，
故的值为．
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知，求的值．
（2）【拓展延伸】
已知，，，求的值．
19．在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，．
（1）现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可）
（2）若分式的值为整数，求出整数m的值；
（3）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如：；
．
请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值．
20．某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元.
（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍.这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
21．
（1）【探索】
①如果
，则
.
②如果
，则
.
（2）【总结】如果
(其中a，b，c为常数)，则m= .
（3）【应用】利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，求满足条件的整数 的值.
22．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如，，则和都是“和谐分式”.
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）
①；②；③；④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数.
（4）拓展：若，求A、B的值.
23．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若，，，你能很快求出的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足，，，且．求代数式的值．
24．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如： ，这样，分式就拆分成一个分式 与一个整式 的和的形式.
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）若x为整数， 为负整数，可求得 x最大值= ；
（2）利用分离常数法，求分式 的取值范围；
（3）若分式 拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为： （整式部分对应等于 ，真分式部分对应等于 ）.
①用含x的式子表示出mn；
②随着x的变化， 有无最小值？如有，最小值为多少？
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