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专题4-2 提取公因式法
模块一：知识清单
如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法
提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）把分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将变形为，再提公因式即可．
【详解】解：
，故选：B．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）把因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据公因式的概念（多项式各项都含有的相同因式），即可求解．
【详解】由题意得应该提取的公因式是：故选：D．
【点睛】本题考查因式分解中公因式的概念，解题的关键是掌握公因式的概念．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）用提取公因式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用提公因式法分别对每个选项进行判断即可．
【详解】A．，因此选项A不符合题意；
B．，因此选项B不符合题意；
C．，因此选项C符合题意；
D．，因此选项D 不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查提公因式法分解因式，找出各项的公因式是提公因式法的关键．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，则 ( )．
A．5 B． C．1 D．6
【答案】B
【分析】将因式分解得到，然后整体代入即可求解．
【详解】解：∵，，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．
5．（2023春·浙江七年级课时练习）下列多项式：①，②，③，④．其中有一个相同因式的多项式是（ ）
A．①和② B．①和④ C．①和③ D．②和④
【答案】C
【分析】分别利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而得出符合题意的答案．
【详解】解：①；②；
③；④．
故分解因式后，结果含有相同因式的是：①和③．故选：C．
【点睛】此题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式分解因式是解题的关键．
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列各组中，没有公因式的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【分析】将每一组因式分解，找公因式即可
【详解】A.，，有公因式，故不符合题意；
B.，，没有公因式，符合题意；
C.，，有公因式，故不符合题意；
D. 与有公因式，故不符合题意；故选：B
【点睛】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为15，则的值为（ ）
A．100 B．120 C．48 D．140
【答案】B
【分析】根据长方形的周长及面积可得，，再将变形为，即可求解．
【详解】解：由题意知，，，则，
因此，故选B．
【点睛】本题主要考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．
8．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）分解因式正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将式子变形，再提取公因式分解即可．
【详解】解：．故选：D
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式．
9．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）若，，则的值为（ ）
A．15 B．1 C．2 D．30
【答案】D
【分析】把因式分解后，把，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴．故选：D
【点睛】此题考查了因式分解和代数式的值，熟练掌握了因式分解是解题的关键．
10．（2022秋·山东淄博·八年级统考期中）利用因式分解计算：的结果为（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【分析】可根据有理数幂的概念得到，再提公因式即可求解．
【详解】解：，故选：A．
【点睛】本题考查有理数幂的概念、因式分解，理解有理数幂的概念并灵活运用是解答的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：__________．
【答案】
【分析】根据提公因式法分解因式即可．
【详解】解：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）单项式与的公因式是___________．
【答案】##
【分析】根据公因式的确定方法：①系数取最小公倍数②字母取公共的字母③字母指数取最小的，即可写出答案．
【详解】解：∵与中都含有，∴与的公因式为．故答案是：．
【点睛】本题主要考查了公因式的确定，关键是正确把握公因式的确定方法．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）因式分解：_________.
【答案】
【分析】根据提公因式因式分解即可求解．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：______．
【答案】2023
【分析】运用提公因式法进行简便运算．
【详解】解：故答案为：2023
【点睛】本题考查提公因式法简便运算，熟练掌握运用提公因式法进行因式分解是解决本题的关键．
15．（2023春·浙江·七年级专题练习）多项式的公因式是________．
【答案】
【分析】多项式找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【详解】解：多项式中，各项系数的最大公约数是6，
各项都含有的相同字母是a、b，字母a的指数最低是1，字母b的指数最低是1，
所以它的公因式是.故答案为：．
【点睛】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，，则的值等于________．
【答案】20
【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解，最后用整体代入的方法求解．
【详解】解：原式，
把，代入得：原式．故答案为：20．
【点睛】本题考查了提公因式法和利用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
17．（2023秋·河南开封·八年级统考期末）分解因式的结果是______．
【答案】
【分析】根据提取公因式法因式分解即可．
【详解】解：原式．故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，正确找出公因式是解题的关键．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10，其代数式的值为______．
【答案】
【分析】根据长方形的周长及面积得到，，将代数式利用提公因式法分解因式后代入计算即可．
【详解】解：∵长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10，
∴，∴，∴，故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握因式分解的方法及长方形的周长、面积计算公式是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·浙江·七年级专题练习）因式分解：
(1)；(2)；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用提公因式法解答；
（2）用提公因式法解答．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
20．（2023春·浙江·七年级专题练习）把下列多项式因式分解：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；
（3）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；
（4）直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
21．（2023春·浙江·七年级专题练习）把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）提出公因式a即可分解因式；
（2）提出公因式即可分解因式；
（3）提出公因式即可分解因式；
（4）提出公因式即可分解因式；
（5）提出公因式即可分解因式；
（6）提出公因式即可分解因式．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：
；
（6）解：．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，利用相反数确定的公因式是解题关键．
22．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式提取公因式后即可因式分解；
（2）原式提取公因式后即可因式分解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23．（2023春·八年级课时练习）已知，，求下列各式的值：
(1)．(2)．
【答案】(1)1(2)10
【分析】（1）利用完全平方公式展开，然后相减即可求出；
（2）利用完全平方公式展开，然后相加求出的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：①，
②，
由得：，
∴；
（2）解：①，
②，
由得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查利用完全平方公式求值，因式分解的应用，学生们熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
24．（2023春·七年级课时练习）通过计算说明能被整除．
【答案】见解析
【分析】先利用有理数的乘方的逆运算将进行变形，再提取公因子，由此即可得出答案．
【详解】解：因为
，
所以能被整除．
【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆运算、乘法的分配律，掌握有理数的乘方的逆运算是解题关键．
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专题4-2 提取公因式法
模块一：知识清单
如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法
提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）把分解因式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）把因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）用提取公因式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，则 ( )．
A．5 B． C．1 D．6
5．（2023春·浙江七年级课时练习）下列多项式：①，②，③，④．其中有一个相同因式的多项式是（ ）
A．①和② B．①和④ C．①和③ D．②和④
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列各组中，没有公因式的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为15，则的值为（ ）
A．100 B．120 C．48 D．140
8．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）分解因式正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）若，，则的值为（ ）
A．15 B．1 C．2 D．30
10．（2022秋·山东淄博·八年级统考期中）利用因式分解计算：的结果为（ ）
A． B．1 C．3 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：__________．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）单项式与的公因式是___________．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）因式分解：_________.
14．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：______．
15．（2023春·浙江·七年级专题练习）多项式的公因式是________．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，，则的值等于______．
17．（2023秋·河南开封·八年级统考期末）分解因式的结果是______．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10，其代数式的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·浙江·七年级专题练习）因式分解：
(1)；(2)；
20．（2023春·浙江·七年级专题练习）把下列多项式因式分解：
(1)；(2)；(3)；(4)．
21．（2023春·浙江·七年级专题练习）把下列各式分解因式：
(1)；(2)；(3)
(4)；(5)；(6)．
22．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：(1)；(2)．
23．（2023春·八年级课时练习）已知，，求下列各式的值：
(1)．(2)．
24．（2023春·七年级课时练习）通过计算说明能被整除．
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