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专题5-1 分式
模块一：知识清单
1.分式的定义：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。
②整式B作为分母，则整式B0.
③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.
2.分式的相关概念
1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、单选题
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）代数式，，中，属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】根据分式的定义进行判断即可．
【详解】解：，中分母不含字母，不属于分式；
分母含有字母，属于分式；故分式只有1个．故选：D．
【点睛】本题考查分式的定义，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
2．（2023·浙江宁波·校考一模）要使分式有意义，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用分式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】分式有意义应满足分母不为0，即，解得：．故选：A．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件（分母不等于零），正确把握定义是解题关键．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将所求代数式进行变形，将已知整体代入即可求出答案．
【详解】解：∵，∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，能将所求代数式正确变形是做出本题的关键．
4．（2022·浙江杭州·七年级校考期中）下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：A．当时，分式无意义，故A不符合题意；
B．当即时，分式无意义，故B不符合题意；
C．当即时，分式无意义，故C不符合题意；
D．∵，，∴分式的分母不可能为0，一定有意义，故D符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义分母不能为0．
5．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）若分式值为正数，则的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式即可求出答案；
【详解】解：由题意得，，所以，故选：D．
【点睛】本题考查分式的值，解题关键是列出正确的不等式．
6．（2022秋·浙江·八年级开学考试）当时，分式没有意义，则b的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】先将代入分式，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．
【详解】解：当，，
∵分式没有意义，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）对于分式的值，下列说法错误的是（ ）
A．当时，该分式的值是正数 B．当且时，该分式的值是负数
C．当时，该分式的值为0 D．无论x取何值，该分式的值都不可能为整数
【答案】D
【分析】A、B、C转化为分别求当分式大于0、小于0、等于0，再利用特殊值法判断D选项即可求得解．
【详解】解：A、当时，，则该分式的值是正数，故正确，不合题意；
B、当且时，，则该分式的值是负数，故正确，不合题意；
C、当时，，则该分式的值为0，故正确，不合题意；
D、当时，，为整数，故错误，符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握分式的值为0，为正，为负的条件是解题的关键．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列x的值使得分式无意义的是（ ）．
A．0 B．1 C．1或 D．2
【答案】B
【分析】根据分式无意义的条件，分母等于0，列方程求解即可．
【详解】因为分式无意义，所以，解得．故选：B．
【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式无意义的条件．
9．（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）当时，下列分式中有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A．当时，，A不正确；B．当时，，B不正确；
C．当时，，C正确；D．当时，，D不正确；故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．
10．（2023春·山东济南·八年级统考期末）若分式的值为零，则的值是（ ）
A．3 B． C．±3 D．0
【答案】A
【分析】根据分式为零的条件（分子为零，分母不为零）列式计算即可．
【详解】解：分式的值为零，，，．故选A
【点睛】本题考查了分式为零的条件，熟记分式为零的条件是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·广西南宁·校考一模）若分式的值为0，则x的值是______．
【答案】
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为零，进而得出答案．
【详解】解：分式的值为0，，且，
解得：．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零的条件是解题关键．
12．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为0，则x的值为___________．
【答案】
【分析】根据分式的值为0，可得分式的分子等于0，分母不等于0，由此可解．
【详解】解：∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0时，分子等于0，分母不等于0．
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）当x________时，分式有意义．
【答案】
【分析】根据分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意，得，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．
14．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）当x___________，分式无意义．
【答案】##等于2
【分析】根据分式无意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，解得：．故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件——分式的分母等于0是解题的关键．
15．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）请写出一个有意义的条件是的分式______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据分式有意义的条件，得出 ，将作为分母即可．
【详解】解：要使分式有意义的条件，，可用其中均可作为分母，
取一个简单的分式：．故答案：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不等于零，掌握有意义的条件是解题的关键．
16．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）若分式的值为零，则x的值为______．
【答案】
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为零，∴，且，解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0是解题的关键．
17．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知分式（n为常数），当时分式值为0，则n的值为___________．
【答案】
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于的式子，求出的值即可．
【详解】解：∵当时分式值为0，∴，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的值为0，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
18．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）已知，则分式的值为__________．
【答案】####
【分析】将变形为再将原式变形为，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，∴∴，
∴故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值，将变形为将变形为是正确解答的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·八年级专题练习）x满足什么条件时下列分式有意义？
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，逐题列不等式计算即可．
【详解】（1）解：∵有意义，
∴，即；
（2）∵有意义，
∴，即；
（3）∵有意义，
∴，即；
（4）∵有意义，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于0成为解答本题的关键．
20．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知分式，解答下列问题：
(1)分式的值可以是0吗？说明理由；(2)若分式的值是负数，求x的取值范围．
【答案】(1)不可以为0，见解析(2)＞2
【分析】（1）根据分式的意义即可求解；
（2）根据两数相除异号得负，即可求解．
【详解】（1）解：不可以为0．
由于2除以任何数均不为0，因此分式的值不为0；
（2）解：由题意得，，解得：
所以当＞2时，分式值是负数．
【点睛】此题考查了分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．
21．（2023春·浙江八年级课时练习）已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围．小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解：
(1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整；
(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围．
【答案】(1)补全过程见解析 (2)
【分析】（1）根据分式有意义的条件可知，分式 总有意义，就是分母不为零，即只需要即可，根据求解即可得到结论；（2）根据（1）的解题过程即可同理求解得到无论x取何实数，分式都有意义时m的取值范围．
【详解】（1）解：==
，根据无论x取何实数，分式 总有意义，
只要当，即可满足题意，；
（2）解：由（1）可知，
，根据无论x取何实数，分式 总有意义，
只要当，即可满足题意，．
【点睛】本题考查分式有意义条件的综合应用，涉及到配方及不等式的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
22．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
【答案】(1) (2)或0
【分析】（1）根据分母等于0计算即可；
（2）根据值为整数进行判断求解即可；
【详解】（1）解：由题意得：，解得：；
（2）解：代数式的值为正整数，
或，解得：或0．
【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键．
23．（2023春·安徽黄山·九年级校联考阶段练习）观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
请根据上述规律，解答下列问题：
(1)请直接写出第5个等式；(2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1) (2)，证明见解析
【分析】（1）观察式子，即可写出第五个等式；（2）将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母是序数，第二个分母是第一个分母与比第一个分母大1的数的积，等式的右边分母是序数．然后直接通分计算即可得证；
【详解】（1）第5个等式为；
（2）第n个等式是；
证明：等式左边等式右边，所以猜想成立．
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中各数字的变化找出变化规律是解题的关键．
24．（2023·安徽淮北·淮北一中校联考一模）观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
请你根据上面三个等式提供的信息，解决下列问题．
(1)请你写出第4个等式： ；
(2)请你根据以上等式寻找规律，猜想第个等式，并给出证明．
【答案】(1) (2)，证明见解析
【分析】（1）根据题意写出第4个等式即可；
（2）根据题意可以得到规律第个式子为，然后根据分式的性质，证明等式左右两边相等即可．
【详解】（1）解：根据题中式子的规律可得第4个式子为；
（2）解：根据题中式子的规律可猜想出第个式子为，
证明如下：，
∴等式左右两边相等．
【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
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专题5-1 分式
模块一：知识清单
1.分式的定义：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。
②整式B作为分母，则整式B0.
③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.
2.分式的相关概念
1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、单选题
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）代数式，，中，属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023·浙江宁波·校考一模）要使分式有意义，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江杭州·七年级校考期中）下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）若分式值为正数，则的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2022秋·浙江·八年级开学考试）当时，分式没有意义，则b的值为（ ）
A． B． C． D．3
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）对于分式的值，下列说法错误的是（ ）
A．当时，该分式的值是正数 B．当且时，该分式的值是负数
C．当时，该分式的值为0 D．无论x取何值，该分式的值都不可能为整数
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列x的值使得分式无意义的是（ ）．
A．0 B．1 C．1或 D．2
9．（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）当时，下列分式中有意义的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·山东济南·八年级统考期末）若分式的值为零，则的值是（ ）
A．3 B． C．±3 D．0
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·广西南宁·校考一模）若分式的值为0，则x的值是______．
12．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为0，则x的值为___________．
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）当x________时，分式有意义．
14．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）当x___________，分式无意义．
15．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）请写出一个有意义的条件是的分式______．
16．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）若分式的值为零，则x的值为______．
17．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知分式（n为常数），当时分式值为0，则n的值为___________．
18．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）已知，则分式的值为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·八年级专题练习）x满足什么条件时下列分式有意义？
(1)；(2)；(3)；(4)．
20．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知分式，解答下列问题：
(1)分式的值可以是0吗？说明理由；(2)若分式的值是负数，求x的取值范围．
21．（2023春·浙江八年级课时练习）已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围．小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解：
(1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整；
(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围．
22．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
23．（2023春·安徽黄山·九年级校联考阶段练习）观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
请根据上述规律，解答下列问题：
(1)请直接写出第5个等式；(2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
24．（2023·安徽淮北·淮北一中校联考一模）观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
请你根据上面三个等式提供的信息，解决下列问题．
(1)请你写出第4个等式： ；
(2)请你根据以上等式寻找规律，猜想第个等式，并给出证明．
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