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专题5-2 分式的基本性质
模块一：知识清单
1.分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
③分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、单选题
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列分式中属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】A、，选项是最简分式，符合题意；
B、，选项不是最简分式，不符合题意；
C、，选项不是最简分式，不符合题意；
D、，选项不是最简分式，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义：一个式子的分子与分母没有非零次的公因式是解题的关键．
2．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）把下列分式中字母x，y的值都扩大2023倍，结果保持不变的分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分数的基本性质将都扩大倍，对各项进行判断即可得到正确选项．
【详解】解：项∵，∴分式的值不变，故项符合题意；
项∵，∴分式的值发生变化，故项不符合题意；
项∵，∴分式的值发生变化，故项不符合题意；
项∵，∴分式的值发生变化，故项不符合题意．故选
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分子、分母分别因式分解，约分即可得到结论．
【详解】解：，故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简，解决问题的关键是熟练应用平方差公式．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质作答．
【详解】故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、，选项正确，符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、当时，等号右边的式子没有意义，选项错误，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，解题的关键是熟练掌握分式的有关性质．
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）将分约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据分式的性质约分即可．
【详解】解：故选：C．
【点睛】本题考查了分式的约分；熟练掌握分式的性质是解题的关键．
7．（2022秋·山东威海·八年级统考期末）分式可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将分式分母先因式分解，再约分，即可求解．
【详解】解：故先：A．
【点睛】本题考查了分式的约分，涉及到因式分解，分式的约分，按运算顺序，先因式分解，再约分．
8．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．不改变
【答案】D
【分析】将的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，与原式比较即可．
【详解】解：的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍得：
所以，分式的值不变．故选D
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题关键．
9．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可得到答案．
【详解】已是最简分式，无法约分化简，A选项错误；
已是最简分式，无法约分化简，B选项错误；
可以分子分母同除以5，得到，C选项正确；
已是最简分式，无法约分化简，D选项错误．故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
10．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）若，则 表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的化简方法求解即可．
【详解】解：，∴ 表示，故选：C．
【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）约分：________．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质解答即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的约分，属于基础题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
12．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）请写出一个含有，并且化简结果为的分式____________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查分式的性质，理解并掌握分式的性质，分式的约分化简是解题的关键．
13．（2023春·重庆沙坪坝·八年级校考阶段练习）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．
【答案】
【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案．
【详解】解：分式，
分子、分母同时乘以10，
则有原式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）约分：
（1）___________；（2）___________；（3）___________．
【答案】
【分析】（1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；
（2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；
（3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可．
【详解】解：（1）；故答案为：
（2）；故答案为：
（3）故答案为：
【点睛】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式．
15．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为______．
【答案】10
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：∵中的，都扩大到原来的5倍，
∴．故答案为：10
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
16．（2023春·浙江八年级课时练习）分式变形中的整式_____．
【答案】##
【分析】依据，即可得到分式变形中的整式．
【详解】解：，
分式变形中的整式．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
17．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）填空：，变形的依据是 ．
【答案】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【分析】根据分式的基本性质矩形计算即可．
【详解】解： ，
依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
18．（2023春·江苏·八年级专题练习）根据分式的基本性质填空：．______
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得．
【详解】解：，．故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·八年级专题练习）填空
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)x(3)(4)
【分析】（1）利用分式的基本性质在分式分子分母同时乘以a即可得到结果；
（2）利用分式的基本性质在分式分子分母同时除以x即可得到结果；
（3）利用分式的基本性质在分式分子分母同时除以，即可得到结果；
（4）利用分式的基本性质在分式分子分母同时除以，即可得到结果．
【详解】（1）解：；故答案为：；
（2）解：；故答案为：x；
（3）解：；故答案为：；
（4）解：．故答案为：．
【点睛】此题考查了约分，约分的关键是找公因式，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
20．（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）约分：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)； (2)；(3)；(4)．
【分析】（1）公因式为，再约分即可；（2）公因式为，再约分即可；
（3）公因式为，再约分即可；（4）公因式为，再约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：
【点睛】本题考查约分，掌握分式的基本性质，正确计算是解题的关键．
21．（2023春·江苏·八年级专题练习）约分：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）分子分母约去即可；（2）分子分母约去即可；
（3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可；
（4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
22．（2022秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
(1) (2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答；
（2）根据分式的基本性质即可解答
【详解】（1）解：；
（2）解：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
23．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题：
×年×月×日，星期日
整体代入法求分式的值
今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法：
方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式＝
方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得，
原式＝
(1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 ．
(2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整．
(3)若（a，b都不为0），请直接写出的值．
【答案】(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．(2)见解析 (3)1
【分析】（1）根据分式的基本性质求解；（2）将分式的分子、分母同时除以得原式，然后利用整体代入的方法计算；（3）把代入分式中化简即可．
【详解】（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）∵，∴原式＝＝＝，
∵，∴，∴原式=；
（3）∵，∴，
∴=1．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：灵活运用分式的基本性质是解决问题的关键．也考查了整体代入的方法．
24．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)；(2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值．
【答案】(1)②③④(2)或或
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，进行判断即可；（2）根据“和谐分式”的定义，可知可以进行因式分解，且不能有因式，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：①，是“和谐分式”；
②，分式可以约分，不是“和谐分式”；
③，分式可以约分，不是“和谐分式”；
④，分式可以约分，不是“和谐分式”；
综上，不是“和谐分式”的是②③④；故答案为：②③④；
（2）解：∵为“和谐分式”，
∴可以进行因式分解，且不能有因式，
∴或或或，∴或或．
【点睛】本题考查新定义，以及因式分解．理解并掌握“和谐分式”的定义，以及公式法和十字相乘法因式分解，是解题的关键．
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专题5-2 分式的基本性质
模块一：知识清单
1.分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
③分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、单选题
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列分式中属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）把下列分式中字母x，y的值都扩大2023倍，结果保持不变的分式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）将分约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·山东威海·八年级统考期末）分式可化简为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．不改变
9．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）若，则 表示（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）约分：________．
12．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）请写出一个含有，并且化简结果为的分式________．
13．（2023春·重庆沙坪坝·八年级校考阶段练习）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）约分：
（1）___________；（2）___________；（3）___________．
15．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为______．
16．（2023春·浙江八年级课时练习）分式变形中的整式_____．
17．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）填空：，变形的依据是 ．
18．（2023春·江苏·八年级专题练习）根据分式的基本性质填空：．______
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·八年级专题练习）填空
(1)；(2)；(3)；(4)．
20．（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）约分：
(1) (2) (3) (4)
21．（2023春·江苏·八年级专题练习）约分：
(1)；(2)；(3)；(4)．
22．（2022秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
(1) (2)．
23．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题：
×年×月×日，星期日
整体代入法求分式的值
今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法：
方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式＝
方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得，
原式＝
(1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 ．
(2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整．
(3)若（a，b都不为0），请直接写出的值．
24．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)；(2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值．
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