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专题5-4 分式的加减
模块一：知识清单
1.分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
2.最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
3.分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
4.分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、单选题
1．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）分式、、的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把分母因式分解，再找出最简分母即可．
【详解】解：的分母为：，
∴最简公分母为：，故选：A．
【点睛】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．
【详解】解：故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，题目比较容易．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通分化成同分母分式，再进行减法运算即可．
【详解】解：故选：A
【点睛】此题考查了分式的减法，先通分化成同分母分式进行运算是解题的关键．
4．（2023春·北京顺义·九年级校考阶段练习）如果，那么代数式的值为（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】原式先将括号内的进行通分，因式分解后进行约分得到，代入条件可得结论．
【详解】解：∵，
∴=====3故选：B
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．
5．（2023·山西吕梁·统考一模）化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】，故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
6．（2023春·浙江八年级课时练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的加减以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：
，故选：C．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
7．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，解得：，∴，故选C．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键．
8．（2023秋·山东淄博·九年级校考期末）下列式子运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的加减乘除运算，逐项计算即可求解．
【详解】解：A. ，不合题意；
B. ，不合题意； C. ，符合题意，
D. ，不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
9．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）下面是一位同学做分式运算的过程，M，N代表代数式，则下列关于M、N的式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式加减运算法则进行计算，得出结果即可．
【详解】解：，
∴，，故D正确．故选：D．
【点睛】本题考查了异分母分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式通分的基本步骤，准确计算．
10．（2023·江苏苏州·校考一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合题意得，，从而求出，对进行化简得代入即可求解．
【详解】解：，，，
，，，，，，
，，
，故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是结合题意求出．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江八年级课时练习）有分别写有x，，的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有______的卡片．
【答案】x
【分析】根据最简分式是分子与分母没有公因式的分式以及分式的性质解答即可．
【详解】解：∵，，是最简分式，
∴应选择写有x的卡片，故答案为：x．
【点睛】本题考查分式的性质、最简分式，熟记平方差公式，理解最简分式的定义是解答的关键．
12．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）计算的结果为______.
【答案】
【分析】根据异分母分式的加减法则解答即可.
【详解】解：
；故答案为：.
【点睛】本题考查了分式的运算，属于基础题型，熟练掌握异分母分式的加减法则是解题的关键.
13．（2023春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）计算：_____．
【答案】##
【分析】先通分，根据异分母分式的减法进行计算即可求解．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟练掌握分式的减法法则是解题的关键．
14．（2023春·内蒙古·九年级校联考阶段练习）计算：_____．
【答案】
【分析】根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，正确计算是解题的关键．
15．（2022秋·山东威海·八年级统考期末）若，则A=_________．
【答案】
【分析】根据分式的加减法则，变形通分计算即可．
【详解】∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减，通分，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．
16．（2023春·浙江八年级课时练习）计算：_____．
【答案】
【分析】根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
17．（2023·浙江·九年级专题练习）按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
．……第五步
小王计算的第一步是__________（填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第__________步出现错误．直接写出正确的计算结果是__________．
【答案】 因式分解 三
【分析】观察解题的过程，分析每一步变形的依据，根据异分母分式的减法找出出错的步骤，计算出正确的结果即可．
【详解】解：
，
小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是．
故答案为：因式分解，三，．
【点睛】本题考查异分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）已知，，，…，（为正整数，且，1），则______（用含有的式子表示）．
【答案】
【分析】根据题意求出，并从中找出规律即可求出答案．
【详解】∵，，，，
∴结果每3个一循环，∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）先化简，当时，取适当的整数并求出代数式的值．
【答案】；
【分析】根据，先化除为乘，然后根据分式的运算法则化简，再代入求值即可．
【详解】，
∵，∴且，∵，∴，∴当，．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则．
20．（2022秋·海南·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的运算法则将原式化简，再将代入即可．
【详解】解：原式当时，．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
21．（2023·安徽阜阳·一模）化简：
【答案】
【分析】根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
22．（2023春·浙江八年级课时练习）下面是一位同学化简代数式的解答过程：
解：原式 ① ② ③
(1)这位同学的解答，在第_______步出现错误．
(2)请你写出正确的解答过程，并求出当时，原式的值．
【答案】(1)① (2)，．
【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：第①步出现错误，故答案为：①；
（2）解：
，当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
23．（2023·宁夏银川·校考一模）以下是某同学化简分式 () 的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第____步出现了错误；错误原因是 ．
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)③；去括号没有变号 (2)完整的解答过程见解析
【分析】（1）根据某同学的解题步骤分析解答即可；
（2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简．
【详解】（1）上面的运算过程中第③步出现了错误；错误原因是去括号没有变号．
故答案为：③；去括号没有变号
（2）原式=
=
=．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
24．（2023春·江苏·八年级专题练习）综合与探究
在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法.
例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：设，则.
原式，
∴.
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式.
(1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______.
(2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为_______.
(3)已知分式的值为整数，求整数的值.
【答案】(1)(2)(3)或或或
【分析】（1）根据题意将化简为一个整式与一个分式和的形式即可；
（2）设，则，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式；
（3）设，则，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解．
【详解】（1）解：，故答案为：．
（2）解：设，则
∴，
∴，
（3）设，则，
∴，
∴，，
∵是整数，∴，解得：或或或．
【点睛】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键．
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专题5-4 分式的加减
模块一：知识清单
1.分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
2.最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
3.分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
4.分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、单选题
1．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）分式、、的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·北京顺义·九年级校考阶段练习）如果，那么代数式的值为（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
5．（2023·山西吕梁·统考一模）化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·浙江八年级课时练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·山东淄博·九年级校考期末）下列式子运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）下面是一位同学做分式运算的过程，M，N代表代数式，则下列关于M、N的式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江苏苏州·校考一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江八年级课时练习）有分别写有x，，的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有______的卡片．
12．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）计算的结果为______.
13．（2023春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）计算：_____．
14．（2023春·内蒙古·九年级校联考阶段练习）计算：_____．
15．（2022秋·山东威海·八年级统考期末）若，则A=_________．
16．（2023春·浙江八年级课时练习）计算：_____．
17．（2023·浙江·九年级专题练习）按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
．……第五步
小王计算的第一步是__________（填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第__________步出现错误．直接写出正确的计算结果是__________．
18．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）已知，，，…，（为正整数，且，1），则______（用含有的式子表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）先化简，当时，取适当的整数并求出代数式的值．
20．（2022秋·海南·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
21．（2023·安徽阜阳·一模）化简：
22．（2023春·浙江八年级课时练习）下面是一位同学化简代数式的解答过程：
解：原式 ① ② ③
(1)这位同学的解答，在第_______步出现错误．
(2)请你写出正确的解答过程，并求出当时，原式的值．
23．（2023·宁夏银川·校考一模）以下是某同学化简分式 () 的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第____步出现了错误；错误原因是 ．
(2)请你写出完整的解答过程．
24．（2023春·江苏·八年级专题练习）综合与探究
在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法.
例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：设，则.
原式，
∴.
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式.
(1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______.
(2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为_______.
(3)已知分式的值为整数，求整数的值.
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