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专题5-5 分式方程
模块一：知识清单
1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．
【详解】解：A.该方程是一元一次方程，不符合；B.该方程是分式方程，符合；
C.该方程是一元一次方程，不符合；D.该方程是二元一次方程，不符合；故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键．
2．（2023·成都市·校考模拟预测）如果分式方程的解为，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵分式方程的解为，∴，解得：．故选：C
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
3．（2023·黑龙江·校考模拟预测）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】两边都乘以，化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】，两边都乘以，得，
整理，得，∴．检验：当时，，∴原方程的解为．故选A．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
4．（2023·浙江七年级课时练习）解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是
B．方程两边都乘以，得整式方程
C．解这个整式方程，得
D．原方程的解为
【答案】D
【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：分式方程的最简公分母为，
方程两边乘以，得整式方程，解得：，
经检验是增根，分式方程无解．故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．（2022秋·四川泸州·八年级统考期末）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】B
【分析】先化分式方程为整式方程得到，求得方程的解，根据解的属性，方程的增根两个角度去求解即可．
【详解】∵，去分母，得，解得．
∵分式方程的解为正数，且方程的增根为，
∴，解得且，故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键．
6．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．0或3 C．7 D．
【答案】D
【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可．
【详解】解： 去分母，得，
∵关于x的方程有增根，
∴，解得，故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
7．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）爱心文具店购进A，B两种款式的圆珠笔，其中A种圆珠笔的单价比B种圆珠笔的单价低．已知购进A种圆珠笔用了元，购进B种圆珠笔用了元，且所购进的A种圆珠笔的数量比B种圆珠笔多盒．设文具店购进B种款式的圆珠笔x盒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设文具店购进B种款式的圆珠笔x盒，则文具店购进A种款式的圆珠笔盒，再根据A种圆珠笔的单价比B种圆珠笔的单价低列出方程即可．
【详解】解：设文具店购进B种款式的圆珠笔x盒，则文具店购进A种款式的圆珠笔盒，
由题意得，，故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）“某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实
际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示条件应是（ ）
A．每天比原计划多修，结果延期天完成
B．每天比原计划多修，结果提前天完成
C．每天比原计划少修，结果延期天完成
D．每天比原计划少修，结果提前天完成
【答案】B
【分析】设实际每天整修道路，则表示：在实际施工时，每天比原计划多修，然后根据所得方程中的数量关系进行解答即可．
【详解】解：设实际每天整修道路，
则表示：在实际施工时，每天比原计划多修，
表示原计划的施工时间，表示实际的施工时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前天完成，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，理清数量关系是解本题的关键．
9．（2023·黑龙江绥化·校考一模）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设原来的平均速度为千米/时，高速公路开通后的平均速度为千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了2小时，列方程即可．
【详解】解：设原来的平均速度为千米/时，
由题意得，，故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
10．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】解该分式方程得，结合该分式方程的解为整数和分式有意义的条件，即得出为2的倍数且，即选B．
【详解】解：，
方程两边同时乘，得：，解得：，
∵该分式方程的解为整数，∴为2的倍数，∴为2的倍数．
∵，∴，∴，∴，
综上可知为2的倍数且．∴只有B选项符合题意．故选B．
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程有意义的条件．掌握解分式方程的步骤和注意分式的分母不能为0是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·八年级单元测试）当关于x的方程的解为时，m的值为______．
【答案】3
【分析】把代入方程中，即可求出m值．
【详解】解：把代入中，得：
，解得：，故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是理解方程的解能使方程左右两边相等．
12．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考一模）分式方程的解________．
【答案】##
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键．
13．（2022秋·湖南怀化·九年级统考期末）对于两个不相等的数、，我们规定min{、}()表示、中的较小的值.例min{2、3}=2，按照这个规定，方程min的解为______．
【答案】##
【分析】根据新定义可得：若，则；若，则，分别求出，即可．
【详解】解：根据新定义可得：
若，即，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴不符合题意，舍去；
若，即，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
当时，，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中注意进行分类讨论．
14．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ______ ．
【答案】且
【分析】首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为负数，求出的取值范围即可．
【详解】
去分母得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
解得：，
，
，
，即，
，
，
的取值范围：且．
故答案为：且
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．
15．（2023·山西晋城·统考一模）山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到，经过改良后，平均每亩产量是原来的1．5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为，则可列方程为__________．
【答案】
【分析】根据改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，列出方程即可．
【详解】解：设改良前平均每亩的产量为，则，改良后平均每亩的产量为，
由题意，得：；故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
16．（2022秋·云南昆明·八年级校考阶段练习）若关于x的分式方程无解，则___________．
【答案】或3或
【分析】分式方程无解分两种情况分析：（1）原方程存在增根；（2）原方程去掉分母后，整式方程无解．
【详解】解：方程两边都乘，得，
化简得，得：，
当时，方程无解；
当时，分母为零，分式方程无解，
把代入整式方程，；
把代入整式方程，得；
综上可得：或3或．
故答案是：或3或．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是分情况分析：当分式方程有增根的情况和分式方程化简后的整式方程无解的情况．
17．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________．
【答案】30
【分析】设甲、乙两船在静水中的速度均为，则顺流速度为，逆流速度为，根据题意可得顺流行驶千米所用时间等于逆流所用时间，根据时间关系可得方程，即可求解．
【详解】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：两船在静水中的速度为．
故答案为：30．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
18．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）已知：
①可转化为，解得，
②可转化为，解得，
③可转化为，解得，
根据以上规律，关于的方程(为常数)的解为_______．
【答案】，
【分析】根据已知数列找出规律进而得出的解．
【详解】解：∵①可转化为，解得，
②可转化为，解得，
③可转化为，解得，
∴规律为：，其解为：，
∴关于的方程(为常数)，
∴，
，
∴，，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了分式方程，利用转化思想是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）解下列方程．
(1)(2)
【答案】(1)；(2)无解．
【分析】（1）根据解分式方程步骤，即可解题．
（2）根据解分式方程步骤，即可解题．
【详解】（1）解：
方程两边同乘以得：，
化简得：，解得：
经检验，是原方程的解．
（2）解：
方程两边同乘以得：，
化简得：，解得：．
检验：当时，，故不是原方程得解，所以原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程得步骤是解题得关键．
20．（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）解方程
(1)(2)
【答案】(1)无解 (2)
【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】（1）解：
去分母得：解得：，
检验：当时，，∴原方程无解；
（2）解：∴
去分母得：，解得：，
检验：当时，，∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键．
40．（2023·浙江宁波·校考一模）解方程：
(1)；(2)．
【答案】(1)无解；(2)
【分析】（1）将分式方程化为整式方程求解，再检验即可；
（2）原分式方程可整理为，即说明，解出x的值，再检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘，得：，解得：，
经检验，是原分式方程的增根，
∴原方程无解；
（2）解：，
，
，
，
，
∴，解得：．
经检验是原分式方程的解，
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解题关键．
22．（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳实验中学校考阶段练习）星海湾大桥是中国辽宁省大连市境内连接沙河口区和西岗区的跨海通道，主桥全长千米，喜欢运动的话，这里是跑步运动绝佳的地方，小明和妈妈一起来到大桥晨跑，小明的速度是妈妈速度的倍，结果小明比妈妈提前小时跑完全程，小明的速度是每小时多少千米？
【答案】千米/小时
【分析】设妈妈速度是每小时x千米，则小明的速度是每小时千米，由题意：主桥全长千米，小明和妈妈一起来到大桥晨跑，结果小明比妈妈提前0.25小时跑完全程，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设妈妈速度是每小时x千米，则小明的速度是每小时千米，根据题意得：
，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，
答：小明的速度是每小时千米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（2023·山东泰安·宁阳二中校考一模）铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？两次共购进多少苹果？(2)如果超市将该品种苹果按每千克10元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的500千克按定价的六折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
【答案】(1)试销时该品种苹果的进价是每千克5元，两次共购进3000千克苹果；
(2)超市在这两次苹果销售中共盈利12000元．
【分析】（1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，根据“这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销的2倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据总销售额总成本销售盈利，列出算式，即可求解．
【详解】（1）解：设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则第二次购进该品种苹果的进价是每千克元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意．
（千克），
答：试销时该品种苹果的进价是每千克5元，两次共购进3000千克苹果；
（2）解：（元）．
答：超市在这两次苹果销售中共盈利12000元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
24．（2023·江西上饶·校联考一模）为创建国家卫生城市，我市计划将城市道路两旁的人行道进行改造．经调查可知，若该工程由甲工程队单独来做，恰好能在规定时间内完成．若该工程由乙工程队单独完成，则需要的天数是规定时间的3倍．若甲、乙两工程队合作3天后，余下的工程由甲工程队单独来做还需4天完成．(1)问我市要求完成这项工程规定的时间是多少天？
(2)已知甲工程队做一天需付工资3万元，乙工程队做一天需付工资0.8万元．应该怎样安排才能在规定的时间完成这项工程，并使工程花费最少？最少是多少元？
【答案】(1)我市要求完成这项工程规定的时间是8天
(2)应安排甲做天，乙做8天．最少花费万元
【分析】（1）设规定时间是天，根据题意列出分式方程，解方程即可作答；
（2）先求出甲乙单独完成该工作需要的时间以及费用，即可判断出完成相同工作量乙的花费更少，因此在按时完成的基础上，应该让乙参与的天数更多，据此即可作答．
【详解】（1）设规定时间是天，
由题意列方程为：，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：我市要求完成这项工程规定的时间是8天；
（2）根据（1）可知：甲单独完成该工作需要8天，则需要费用24万元，
乙单独完成该工作需要24天，则需要费用19.2万元，
则有：可得完成相同工作量乙的花费更少，
因此在按时完成的基础上，应该让乙参与的天数更多．
即乙需要参与该工作的天数为8天，
则甲参与的天数为：（天），
∴应安排甲做天，乙做8天． 最少花费（万元）．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．解分式方程记得对所得的根进行经验．
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专题5-5 分式方程
模块一：知识清单
1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·成都市·校考模拟预测）如果分式方程的解为，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江·校考模拟预测）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江七年级课时练习）解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是
B．方程两边都乘以，得整式方程
C．解这个整式方程，得
D．原方程的解为
5．（2022秋·四川泸州·八年级统考期末）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
6．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．0或3 C．7 D．
7．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）爱心文具店购进A，B两种款式的圆珠笔，其中A种圆珠笔的单价比B种圆珠笔的单价低．已知购进A种圆珠笔用了元，购进B种圆珠笔用了元，且所购进的A种圆珠笔的数量比B种圆珠笔多盒．设文具店购进B种款式的圆珠笔x盒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）“某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实
际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示条件应是（ ）
A．每天比原计划多修，结果延期天完成 B．每天比原计划多修，结果提前天完成
C．每天比原计划少修，结果延期天完成 D．每天比原计划少修，结果提前天完成
9．（2023·黑龙江绥化·校考一模）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·八年级单元测试）当关于x的方程的解为时，m的值为______．
12．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考一模）分式方程的解________．
13．（2022秋·湖南怀化·九年级统考期末）对于两个不相等的数、，我们规定min{、}()表示、中的较小的值.例min{2、3}=2，按照这个规定，方程min的解为______．
14．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ______ ．
15．（2023·山西晋城·统考一模）山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到，经过改良后，平均每亩产量是原来的1．5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为，则可列方程为__________．
16．（2022秋·云南昆明·八年级校考阶段练习）若关于x的分式方程无解，则___________．
17．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________．
18．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）已知：
①可转化为，解得，
②可转化为，解得，
③可转化为，解得，
根据以上规律，关于的方程(为常数)的解为_______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）解下列方程．
(1)(2)
20．（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）解方程
(1)(2)
21．（2023·浙江宁波·校考一模）解方程：
(1)；(2)．
22．（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳实验中学校考阶段练习）星海湾大桥是中国辽宁省大连市境内连接沙河口区和西岗区的跨海通道，主桥全长千米，喜欢运动的话，这里是跑步运动绝佳的地方，小明和妈妈一起来到大桥晨跑，小明的速度是妈妈速度的倍，结果小明比妈妈提前小时跑完全程，小明的速度是每小时多少千米？
23．（2023·山东泰安·宁阳二中校考一模）铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？两次共购进多少苹果？(2)如果超市将该品种苹果按每千克10元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的500千克按定价的六折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
24．（2023·江西上饶·校联考一模）为创建国家卫生城市，我市计划将城市道路两旁的人行道进行改造．经调查可知，若该工程由甲工程队单独来做，恰好能在规定时间内完成．若该工程由乙工程队单独完成，则需要的天数是规定时间的3倍．若甲、乙两工程队合作3天后，余下的工程由甲工程队单独来做还需4天完成．(1)问我市要求完成这项工程规定的时间是多少天？
(2)已知甲工程队做一天需付工资3万元，乙工程队做一天需付工资0.8万元．应该怎样安排才能在规定的时间完成这项工程，并使工程花费最少？最少是多少元？
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