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专题5-6 分式 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·山东平阴·八年级期末）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零 B．无论为何值，的值总为正数
C．无论为何值，不可能得整数值 D．当时，无意义
【答案】B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
【详解】解：A、当x＝2时，分母x 2＝0，分式无意义，故A错误；
B、分母中x2＋3≥3，因而第二个式子一定成立，故B正确；
C、当x＋1＝1或 1时，的值是整数，故C错误；D、不是分式，故D错误．故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式各种结果的判断标准：分式的值是正数的条件是分子、分母同号；值是负数的条件是分子、分母异号；分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
2．（2022·山西祁县·八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意中“和谐分式”的的定义判断即可．
【详解】解：A、，故A为“和谐分式”；
B、，原式的分子与分母都不能因式分解，故B不是“和谐分式”；
C、，故C不是“和谐分式”；
D、，故D不是“和谐分式”；故选：A．
【点睛】本题主要考查约分，根据题意正确理解“和谐分式”的定义是解题的关键．
3．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）把下列分式中字母x，y的值都扩大2023倍，结果保持不变的分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分数的基本性质将都扩大倍，对各项进行判断即可得到正确选项．
【详解】解：项∵，∴分式的值不变，故项符合题意；
项∵，∴分式的值发生变化，故项不符合题意；
项∵，∴分式的值发生变化，故项不符合题意；
项∵，∴分式的值发生变化，故项不符合题意．故选
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．（2022·成都市八年级期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示：
老师→甲→乙→丙→丁
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】D
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：====，
∴出现错误的是乙和丁；故选D．
【点睛】本题主要考查分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算是解题的关键．
5．（2023·成都市·校考模拟预测）如果分式方程的解为，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵分式方程的解为，∴，解得：．故选：C
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
6．（2022·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.
【详解】根据题意得，，则，
经检验，是方程的解，故选B.
【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
7．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）爱心文具店购进A，B两种款式的圆珠笔，其中A种圆珠笔的单价比B种圆珠笔的单价低．已知购进A种圆珠笔用了元，购进B种圆珠笔用了元，且所购进的A种圆珠笔的数量比B种圆珠笔多盒．设文具店购进B种款式的圆珠笔x盒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设文具店购进B种款式的圆珠笔x盒，则文具店购进A种款式的圆珠笔盒，再根据A种圆珠笔的单价比B种圆珠笔的单价低列出方程即可．
【详解】解：设文具店购进B种款式的圆珠笔x盒，则文具店购进A种款式的圆珠笔盒，
由题意得，，故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8．（2022·湖南雨花外国语学校）已知x2+3x+1＝0，则x4+＝（ ）
A．81 B．64 C．47 D．30
【答案】C
【分析】根据x2+3x+1＝0，可以得到x+的值，然后平方变形，再平方，再变形，即可求得所求式子的值．
【详解】解：∵x2+3x+1＝0，∴x+3+＝0，∴x+＝﹣3，∴（x+）2＝9，
∴x2+2+＝9，∴x2+＝7，∴（x2+）2＝49，∴x4+2+＝49，∴x4+＝47，故选：C．
【点睛】本题考查了分式的求值问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
9．（2022·浙江越城·七年级期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，
即无解或3（m+2）＝﹣3，解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
10．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】解该分式方程得，结合该分式方程的解为整数和分式有意义的条件，即得出为2的倍数且，即选B．
【详解】解：，
方程两边同时乘，得：，解得：，
∵该分式方程的解为整数，∴为2的倍数，∴为2的倍数．
∵，∴，∴，∴，
综上可知为2的倍数且．∴只有B选项符合题意．故选B．
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程有意义的条件．掌握解分式方程的步骤和注意分式的分母不能为0是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江八年级课时练习）有分别写有x，，的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有______的卡片．
【答案】x
【分析】根据最简分式是分子与分母没有公因式的分式以及分式的性质解答即可．
【详解】解：∵，，是最简分式，
∴应选择写有x的卡片，故答案为：x．
【点睛】本题考查分式的性质、最简分式，熟记平方差公式，理解最简分式的定义是解答的关键．
12．（2022·沙坪坝·重庆一中八年级月考）已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝_____．
【答案】0
【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可．
【详解】解：＝＝＝，
∵＝，且A、B为常数，∴，
∴，解得：，∴A+3B＝3+3×(-1)=0，故答案为：0．
【点睛】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键．
13．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）已知，则分式的值为__________．
【答案】####
【分析】将变形为再将原式变形为，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，∴∴，
∴故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值，将变形为将变形为是正确解答的关键．
14．（2023春·八年级课时练习）小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上（如图阴影部分），则甲、乙两块地的撒播密度的比值为___________（撒播密度）
【答案】
【分析】根据图形中的信息和题意，利用撒播密度可以计算出甲、乙两块地的撒播密度比．
【详解】解：设花种的数量为，
由题意可得：甲、乙两块地的撒播密度比为，故答案为：．
【点睛】本题考查整式的混合运算的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）有一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成．现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，问甲单独做需要几天完成？若设甲单独做需要天完成，则根据题意可列方程____________．
【答案】
【分析】设甲单独做需x天，则乙单独做需天，再根据甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成列出方程即可．
【详解】解：设甲单独做需x天，则乙单独做需天，
由题意得：，
故答案为：
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间工作总量工作效率，当题中没有一些必须的量时，
16．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）若关于的分式方程有增根，则的值是_______．
【答案】1
【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值．
【详解】解：∵，
去分母，得：；
∵分式方程有增根，
∴，
把代入，则
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．（2023秋·云南玉溪·八年级统考期末）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：4、6、x，若要能组成调和数，则x的值为________．
【答案】12、3或
【分析】根据题意可建立关于x的方程，然后解方程即可．
【详解】当时，
根据题意得：
，
整理得：，
解得：；
当时，
根据题意得：
，
整理得：，
解得：；
当时，
根据题意得：
，
整理得：，
解得：．
故答案为12、3或．
【点睛】本题考查了分式方程得解法，根据题意建立正确方程是解题的关键．
18．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）已知：
①可转化为，解得，
②可转化为，解得，
③可转化为，解得，
根据以上规律，关于的方程(为常数)的解为_______．
【答案】，
【分析】根据已知数列找出规律进而得出的解．
【详解】解：∵①可转化为，解得，
②可转化为，解得，
③可转化为，解得，
∴规律为：，其解为：，
∴关于的方程(为常数)，
∴，
，
∴，，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了分式方程，利用转化思想是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·沭阳县怀文中学九年级月考）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】首先根据分式混合运算法则进行化简，然后利用条件变形，整体代入求值即可．
【详解】解：原式
∵，∴，∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则，熟练运用整体思想是解题关键．
20．（2022·江苏鼓楼·七年级期中）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
（分数运算）怎样理解？
从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即.
（尝试推广）（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空：____________；
②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.
【答案】（1）① ②见解析 （2）① ②见解析
【分析】（1）长方形先被平均分成份，取其中的份；再将涂色部分平均分成份，取其中的份，这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即；
（2）长方形先被横向平均分成份，取其中1份，该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份，这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原来长方形的，即；
【详解】解：（1）①；故答案为；
②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即.
（2）①（）
②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）；
该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）.
这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，
所以占原长方形的，即.
【点睛】本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．
21．（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）解下列方程．
(1)(2)
【答案】(1)；
(2)无解．
【分析】（1）根据解分式方程步骤，即可解题．
（2）根据解分式方程步骤，即可解题．
【详解】（1）解：
方程两边同乘以得：，
化简得：，
解得：
经检验，是原方程的解．
（2）解：
方程两边同乘以得：，
化简得：，
解得：．
检验：当时，，故不是原方程得解，所以原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程得步骤是解题得关键．
22．（2022·山东龙口·八年级期中）（阅读学习）
阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由 知x≠0，所以，即
所以
故的值为．
（类比探究）（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值．
（拓展延伸）（2）已知，，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）已知等式变形求出，原式变形后，将代入计算即可；
（2）已知三等式变形后相加求出，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）∵ ∴x≠0，∴，即
∴ ∴=-；
（2）∵，，，
∴=，∴
∵，∴
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（2022·福建省福州第一中学八年级期中）阅读下列材料：关于x的方程：x+的解是x1＝c，x2＝；x﹣（可变形为x+）的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；……
（1）①方程x+的解为 ；②方程x﹣1+的解为 ．
（2）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（3）由上述的观征、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是末知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的末知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接求解．请用这个结论解关于x的方程：（a≠1）．
【答案】（1）①；②；（2），验证见解析；（3）
【分析】（1）①②根据题意即可求解；（2）由（1）的形式猜想方程的解，代入方程的左右两边判断即可；
（3）先将方程转化为的形式，然后根据题意即可求得方程的解．
【详解】（1）①方程x+的解为，
经检验是原方程的解，故答案为：；
②方程x﹣1+，或，
方程x﹣1+的解为，
经检验是原方程的解 故答案为：；
（2）关于x的方程x+（m≠0）的解为
验证：当时，方程的左边 方程的右边
方程的左边方程的右边 是原方程的解；
当时，方程的左边 方程的右边
方程的左边方程的右边 是原方程的解；
（3）方程整理得
由题意可得或 解得
经检验，是原方程的解
【点睛】本题考查了解分式方程，方程的解的定义，理解题意是解题的关键．
24．（2022·成都市八年级月考）为稳步推进网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程． （1）已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程．①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？②若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？
【答案】（1）乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．（2）①36天，②至少40天
【分析】（1）设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，列出相应分式方程求解即可；
（2）①由甲队施工20天完成工程的可得出甲队单独施工完成整项工程所需时间，结合乙队加入后可提前25天完成了剩余的工程可得出两队共同施工的时间，设乙队单独施工需要天才能完成该项工程，根据两队每天完成的工程量共同工作的时间整项工程的，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；②设甲队施工天完成该项工程，根据乙队参与该项工程施工的时间不超过12天，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，
由题意，得，解方程，得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．
（2）①由题意得，甲队单独施工天完成该项工程的，所以甲队单独施工天完成该项工程.
甲队单独施工完成剩余的工程的时间为（天），
于是甲、乙两队共同施工的时间为（天）．
设乙队单独施工需要天才能完成该项工程，则，解方程，得.
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．答：若乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．
②设甲队从开始施工到完成该工程需要天，依题意列不等式，得，解得：
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（2022·江苏涟水·八年级期中）阅读下列材料：
分式和分数有着很多的相似点，例如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则．我们知道，分子比分母小的叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．
类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式，例如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），例如．
解决下列问题：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式_____形式；
（3）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
（4）若分式的值为，则的取值范围是______（直接写出答案）．
【答案】（1）真分式；（2）；（3）4，2，5，1；（4）．
【分析】（1）根据“真分式”的定义可得；（2）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式；
（3）先将分式化为带分式，再根据分式部分为整数求得的值；
（4）将分式化为带分式，再判断的取值范围即可．
【详解】（1）的分母次数大于分子次数，故分式是真分式；故答案为：真分式；
（2）故答案为：；
（3）分式的值为整数，，
即是整数，则；解得或或或；的值为：4，2，5，1；
（4）
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，不等式的应用，掌握计算法则，理解题意是解题的关键．
26．（2022·福建永春·八年级期末）某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6﹣m）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
【答案】（1）购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元；（2）共有11种进货方案；（3）当；种70件，种30件时可获利最多；当，种60件，种40件时可获利最多
【分析】（1）设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意得出分式方程，解方程组即可得出结论；（2）设购进种纪念品件，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，即可得出结论；（3）找出总利润关于购买种纪念品件的函数关系式，由一次函数的性质确定总利润取最值时的值，从而得出结论．
【详解】解：（1）设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意可知：
，解得：，．
答：购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元．
（2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意可得：
，解得：，
只能取正整数，，共有11种情况，
故该商店共有11种进货方案分别为：种70件，种30件；种69件，种31件；种68件，种32件；种67件，种33件；种66件，种34件；种65件，种35件；种64件，种36件；种63件，种37件；种62件，种38件；种61件，种39件；种60件，种40件．
（3）销售总利润为，
商家出售的纪念品均不低于成本价，，
根据一次函数的性质，当时，即，
随着增大而增大，当时，取到最大值；
即方案为：种70件，种30件时可获利最多；
当时，即，随着增大而减小，
当时，取到最大值；
即方案为：种60件，种40件时可获利最多．
【点睛】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键：（1）列出关于两种纪念品单价的分式方程；（2）列出关于购买种纪念品件数的一元一次不等式组；（3）根据一次函数的性质确定最值．本题属于中档题，难度不大，但考到的知识点稍多，解决该类题型时，明确解题的方法是关键，通过审题确定解题思路才能更快捷的解决该类问题．
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专题5-6 分式 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·山东平阴·八年级期末）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零 B．无论为何值，的值总为正数
C．无论为何值，不可能得整数值 D．当时，无意义
2．（2022·山西祁县·八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）把下列分式中字母x，y的值都扩大2023倍，结果保持不变的分式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·成都市八年级期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示：
老师→甲→乙→丙→丁
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
5．（2023·成都市·校考模拟预测）如果分式方程的解为，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
7．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）爱心文具店购进A，B两种款式的圆珠笔，其中A种圆珠笔的单价比B种圆珠笔的单价低．已知购进A种圆珠笔用了元，购进B种圆珠笔用了元，且所购进的A种圆珠笔的数量比B种圆珠笔多盒．设文具店购进B种款式的圆珠笔x盒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·湖南雨花外国语学校）已知x2+3x+1＝0，则x4+＝（ ）
A．81 B．64 C．47 D．30
9．（2022·浙江越城·七年级期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
10．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江八年级课时练习）有分别写有x，，的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有______的卡片．
12．（2022·沙坪坝·重庆一中八年级月考）已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝_____．
13．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）已知，则分式的值为__________．
14．（2023春·八年级课时练习）小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上（如图阴影部分），则甲、乙两块地的撒播密度的比值为___________（撒播密度）
15．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）有一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成．现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，问甲单独做需要几天完成？若设甲单独做需要天完成，则根据题意可列方程____________．
16．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）若关于的分式方程有增根，则的值是_______．
17．（2023秋·云南玉溪·八年级统考期末）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：4、6、x，若要能组成调和数，则x的值为________．
18．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）已知：
①可转化为，解得，
②可转化为，解得，
③可转化为，解得，
根据以上规律，关于的方程(为常数)的解为_______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·沭阳县怀文中学九年级月考）先化简，再求值：，其中．
20．（2022·江苏鼓楼·七年级期中）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
（分数运算）怎样理解？
从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即.
（尝试推广）（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空：____________；
②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.
21．（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）解下列方程．
(1)(2)
22．（2022·山东龙口·八年级期中）（阅读学习）
阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由 知x≠0，所以，即
所以
故的值为．
（类比探究）（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值．
（拓展延伸）（2）已知，，，求的值．
23．（2022·福建省福州第一中学八年级期中）阅读下列材料：关于x的方程：x+的解是x1＝c，x2＝；x﹣（可变形为x+）的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；……
（1）①方程x+的解为 ；②方程x﹣1+的解为 ．
（2）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（3）由上述的观征、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是末知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的末知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接求解．请用这个结论解关于x的方程：（a≠1）．
24．（2022·成都市八年级月考）为稳步推进网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程． （1）已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程．①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？②若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？
25．（2022·江苏涟水·八年级期中）阅读下列材料：
分式和分数有着很多的相似点，例如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则．我们知道，分子比分母小的叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．
类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式，例如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），例如．
解决下列问题：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式_____形式；（3）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
（4）若分式的值为，则的取值范围是______（直接写出答案）．
26．（2022·福建永春·八年级期末）某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6﹣m）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
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