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2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷第五章 分式（进阶版）
一、单选题（每题2分，共20分）
1．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2021八上·芜湖期末）对于分式，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝﹣2时分式有意义 B．当x＝±2时分式的值为零
C．当x＝0时分式无意义 D．当x＝2时分式的值为零
3．（2021八上·五常期末）若分式 化简为 ，则 应满足的条件是（ ）
A． 或 B． 且
C． D．
4．（2020八上·诸城期末）下列说法正确的是（ ）
A．分式 的值为零，则 的值为±2
B．根据分式的基本性质， 可以变形为
C．分式 中的 都扩大3倍，分式的值不变
D．分式 是最简分式
5．（2022八上·莱州期中）下列各式中，计算结果正确的有（ ）
⑴（2）（3）（4）⑸（6）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022八上·苍南月考）已知，为整数，且满足，则的可能的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020八上·乐陵期末）某数学老师模仿学生喜欢的《王牌对王牌》节目在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算得到结果，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示，接力中，自己负责的那一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．只有丙 C．甲和丙 D．乙和丙
8．（2022八上·张店期中）甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮（ ）
A．甲合算 B．乙合算 C．甲、乙一样 D．无法确定
9．（2019七下·苍南期末）商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为( )
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
10．（2022八上·凤台期末）甲、乙两人同时从圆形跑道（圆形跑道的总长小于700m）上一直径两端A，B相向起跑．第一次相遇时离A点100m，第二次相遇时离B点60m，则圆形跑道的总长为（ ）
A．240m B．360m C．480m D．600m
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2021七下·浦江期末）已知 ＝ ，则 ＝ ．
12．（2021八上·襄州期末）计算 .
13．（2019八上·凉州期末）有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是≠±1；丙：当=-2时，分式的值为1.请你写出满足上述全部特点的一个分式： .
14．（2021八上·东平月考）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则 ＝ ．
15．（2022八上·丰台期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
16．某次列车平均提速 ，用相同的时间，列车提速前行驶 ，提速后比提速前多行驶 .设提速前列车的平均速度是 .根据题意分别列出下列四个方程：① ；② ；③ ；④ .则其中正确的方程有 .(填序号)
三、计算题（共3题，共20分）
17．（2022七下·浙江）计算.
（1） ；
（2） ；
（3） .
18．（2023八上·合川期末）解分式方程：
（1）；
（2）.
19．（2022七下·浙江）化简： .
四、解答题（共6题，共59分）
20．（2020八上·南昌期末）从三个整式；① ，② ，③ 中，任意选择两个分别作为一个分式的分子和分母．
（1）一共能得到 个不同的分式；
（2）这些分式化简后结果为整式的分式有哪些？并写出化简结果．
21．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求 的值．
22．（2021八上·长沙期末）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如： ，这样，分式就拆分成一个分式 与一个整式 的和的形式.
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）若x为整数， 为负整数，可求得 x最大值= ；
（2）利用分离常数法，求分式 的取值范围；
（3）若分式 拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为： （整式部分对应等于 ，真分式部分对应等于 ）.
①用含x的式子表示出mn；
②随着x的变化， 有无最小值？如有，最小值为多少？
23．（2021八上·芙蓉月考）阅读下列解题过程：
已知 ，求 的值.
解：由 ，知 ，所以 ，即 .
∴
∴ 的值为7的倒数，即 .
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知 ，求 的值.
（2）已知 ，求 的值.
（3）已知 ， ， ，求 的值.
24．（2021八上·万山期末）小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校.已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍.
（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？
（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）
25．（2020七下·鄞州期末）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米和10厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，a＞b）
（1）用含a，b的代数式分别表示这三块木板的面积.
（2）若甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为150000立方厘米，求乙块木板的面积.
（3）如果购买一块长为100厘米，宽为（a+b）厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为90%，试求分式 + 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
2．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵要想分式 有意义，
∴即，故A不符合题意；
∵要想分式 无意义，
∴即，故C不符合题意；
∵要想分式 的值为0，
∴即，故B不符合题意，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 分式， 对每个选项一一判断即可。
3．【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：分式有意义应满足 ，
∴
∴ 且
，原式= ．
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出 且 ，最后代入计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式
【解析】【解答】A、分式 的值为零，则x的值为 2，故此选项不符合题意；
B、根据分式的基本性质，等式 = （x≠0），故此选项不符合题意；
C、分式 中的x，y都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项不符合题意；
D、分式 是最简分式，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据分式的基本性质、分式的值为0的条件、最简分式的定义逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1），故（1）符合题意；
（2），故（2）不符合题意；
（3），故（3）符合题意；
（4），故（4）不符合题意；
（5），故（5）符合题意；
（6），故（6）不符合题意，
综上所述，运算正确的有3个．
故答案为：C．
【分析】利用分式的乘除法、分式的加法及分式的基本性质逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：由已知等式得，显然，均不为0，所以或.
若，则.
又，为整数，可求得或.
所以或
因此，的可能的值有3个.
故答案为：C.
【分析】对已知等式通分变形可得x+y=0或3xy=2(x-y)，若3xy=2(x-y)，则(3x+2)(3y-2)=-4，结合x、y为整数可得x、y的值，然后求出x+y的值，据此解答.
7．【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】
=
=
=
由以上可得，甲正确，乙错误，
= ，故丙正确；
故答案为：A．
【分析】根据分式的乘除运算，进行判断即可.
8．【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：设第一次购粮时的单价是x元/千克，第二次购粮时的单价是y元/千克，
甲两次购粮共花费：，一共购买了粮食：千克，甲购粮的平均单价是：；
乙两次购粮共花费：100+100=200元，一共购买粮食：（千克），乙购粮的平均单价是：；
甲乙购粮的平均单价的差是：，
即，
所以甲购粮的平均单价高于乙购粮的平均单价，乙的购粮方式更合算，
故答案为：B．
【分析】分别算出两次购粮的平均单价，用做差法比较即可。
9．【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设A、B两种糖的单价为x、y， “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m， “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n， “什锦糖”甲单价为a， “什锦糖”甲单价为b， 则：
，
把y=40+x代入上式解得：x=60.
故答案为：B
【分析】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。
10．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，设圆形跑道总长为2S，又设甲乙速度分别为x和y，
（1）当甲乙第一次相遇在C点，第二次相遇在B点下方D点处时，
则：……①
……②
结合①与②得：，解得（舍去），，
∴，
经检验是原方程的解，
∴跑道长为480m；
（2）当甲乙第一次相遇在C点，第二次相遇在B点上方点处时，
则：……③
……④
结合③与④得：，解得（舍去），，
∴，
经检验是原方程的解，
∵圆形跑道的总长小于700m，
∴舍去.
故答案为：C.
【分析】分情况求解：（1）当甲乙第一次相遇在C点，第二次相遇在B点下方D点处时，（2）当甲乙第一次相遇在C点，第二次相遇在B点上方点处时，再分别求解即可。
11．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴x2-x+1=7x，
∴x2+1=8x，
∵x=0，无解，
∴x+=8，
∴ ，
故答案为： .
【分析】将分式方程化为整式方程，由于x≠0，两边同除以x可得x+=8，再将原式分子分母同除以x2，利用完全平方式变形代值计算即可得出结果.
12．【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为： .
【分析】首先利用平方差公式以、完全平方公式及提取公因式法对分式的分子、分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，接下来进行约分即可.
13．【答案】答案不唯一，如： ， ， 等
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：根据分式的值为0的条件，由甲的叙述可知此分式的分子一定不等于0；根据分式有意义的条件，由乙的叙述可知此分式的分母当x=±1时的值为0；根据求分式的值的方法，由丙的叙述可知，把x=-2代入此分式，得分式的值为1，可知所求分式可以是 ， ， 等，答案不唯一.
【分析】开放性的命题，答案不唯一，根据分式的定义、分式值为0的条件、分式有意义的条件、分式值的意义即可写出符合条件的分式。
14．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】利用分式的基本性质求解即可。
15．【答案】（1）0
（2）6063
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
故答案为0
（2）令，则
故答案为∶ 6063．
【分析】（1）将r=0代入可得，再通分化简即可；
（2）根据所求式子的特点，可知，再结合公式求解即可.
16．【答案】①③④
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：提速前列车平均速度是xkm/h，所以提速后列车平均速度是(x+v)km/h，
依题意得：① ；③ ；④ .
故其中正确的方程有①③④.
故答案为：①③④.
【分析】提速前列车平均速度是xkm/h，可表示出提速后列车平均速度，抓住关键词：“相同的时间”，可得到 . 可对①；②③④作出判断；由此可得到正确的方程.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）先通分，再将其结果化成最简分式.
（2）先通分，将异分母分式相加，转化为同分母分式的加法，分母不变，把分子相加，然后约分，将其结果化为最简分式.
（3）将x+2y看着整体，再通分，转化为同分母相加减，分母不变，把分子相加减，将其结果化为最简分式.
18．【答案】（1）解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
经检验，是分式方程的解.
（2）解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，即，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得；
（2）利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得.
19．【答案】解：原式
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】观察分母中的两个因式的值都相差1，因此将原式转化为 原式 ，先合并之后，再通分计算.
20．【答案】（1）6
（2）解：当取①② 时
∴结果为 或
当取①③时
∴结果为 或
当取②③时
∴结果为 或
∴化简结果为整式的分为为： 和
∴化简的结果为： ，
【知识点】分式的定义；分式的约分
【解析】【解答】解：（1） ， ，
∵要从① ，② ，③ 任选两个分别作为分子和分母
∴一共有①② ，①③ ，②③三种取法
又∵一种取法里面的两个整式可以作分子也可以作分母
∴一种取法里面有两种分式
∴一共有6个分式；
【分析】（1）将三个整式分解因式，再列举出所有的分式即可得出答案；
（2）根据（1）的计算结果即可得出答案。
21．【答案】（1）解：x÷[1÷（ + ）]
=x÷[1÷ ]
=x÷
= ．
答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的 倍
（2）解：由题意得x= ①，y= ②，z= ③．
由①得a= + ，
∴a+1= + +1，
∴ = = ；
同理，由②得 = ；
由③得 = ；
∴ = + + = =1
【知识点】分式的约分；分式的通分；利用分式运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据时间=总量÷效率，将总量设为1，可以表示出乙丙合作完成所需要的时间，用甲的时间÷乙丙合作的时间即可。
（2）根据题目要求，写出甲乙丙三个相关的式子，对其进行通分和约分，得出最后的化简结果，作和即可。
22．【答案】（1）-5
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
而分式 拆分成一个整式与一个真分式
（分子为整数）的和（差）的形式为： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
① ，
②∵ ， ，
而
，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 的最小值是27.
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：（1） ，
若x为整数， 为负整数，则 ，
解得： ，
故答案为： ；
【分析】（1）根据分离常数法进行变形，再求出其整数x即可；
（2）根据分离常数法进行变形为，由于可得 ，从而得出；
（3）根据分离常数法进行变形为 ，从而得出，， 据此求出m、n的值，①将m、n值代入求出mn的值即可；②将m、n的式子代入求出 ，根据偶次幂的非负性求出其最小值即可.
23．【答案】（1）解：由 ，知 ，所以 ，即 .
∴ .
∴ 的值为2的倒数，即 .
（2）解：由 ，得到 ，即 ，
则 ；
（3）解：根据题意得： ， ， ，
可得 ，
∴
∴ .
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；利用分式运算化简求值；等式的性质
【解析】【分析】（1）取倒数可得
=2，分子分母同时除以x可得x+
=2，利用完全平方公式可将待求式变形为(x+
)2-2，据此计算；
（2）同理可得x+
=8，给待求式子的分子、分母同时除以x2，可得
，据此计算；
（3）对三个等式分别取倒数并相加可得
+
+
=1，然后给待求式子的分子、分母同时除以xyz，据此计算.
24．【答案】（1）解：设小红步行的平均速度是 米/分，则骑自行车的平均速度是 米/分.
根据题意，得
，
方程两边同乘最简公分母 ，得
，
解得 .
检验：把 代入最简公分母 ，得
，
因此， 是原方程的根.
答：小红步行的平均速度是70米/分.
（2）解：由（1），得 ， ，
所以小红骑自行车的速度是210米/分，
于是，小红回家取道具共花时间：
（分），
由于 ，
因此，小红能在联欢会开始前赶到学校.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设小红步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为3x米/分，由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程求出其解即可；
（2）根据（1）求出的结论计算小红往返的时间之和与45分钟作比较就可以得出结论.
25．【答案】（1）解：由图可得：甲块木板的面积：（ab+10a）平方厘米；乙块木板的面积：（10a+10b）平方厘米；丙块木板的面积：（ab+10b）平方厘米；
（2）解：由题意可得： ，
即 ，
则（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝400+60000＝60400，
则乙块木板的面积为10a+10b＝10（a+b）＝10 ＝200 （cm2）；
（3）解：由题意可得： ＝90%，
化简得ab＝35（a+b），
则 + +
＝ +
＝ +
＝ +
＝ +5
＝ .
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用展开图，结合立体图形的边长即可得出答案；
（2）利用“甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为150000立方厘米”，结合（1）中所求得出等式即可求解；
（3）利用（1）中所求表示出箱子的侧面积以及木板的利用率为90%，得出等式求出ab＝35（a+b），再代入计算即可求解.
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2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷第五章 分式（进阶版）
一、单选题（每题2分，共20分）
1．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
2．（2021八上·芜湖期末）对于分式，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝﹣2时分式有意义 B．当x＝±2时分式的值为零
C．当x＝0时分式无意义 D．当x＝2时分式的值为零
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵要想分式 有意义，
∴即，故A不符合题意；
∵要想分式 无意义，
∴即，故C不符合题意；
∵要想分式 的值为0，
∴即，故B不符合题意，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 分式， 对每个选项一一判断即可。
3．（2021八上·五常期末）若分式 化简为 ，则 应满足的条件是（ ）
A． 或 B． 且
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：分式有意义应满足 ，
∴
∴ 且
，原式= ．
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出 且 ，最后代入计算求解即可。
4．（2020八上·诸城期末）下列说法正确的是（ ）
A．分式 的值为零，则 的值为±2
B．根据分式的基本性质， 可以变形为
C．分式 中的 都扩大3倍，分式的值不变
D．分式 是最简分式
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式
【解析】【解答】A、分式 的值为零，则x的值为 2，故此选项不符合题意；
B、根据分式的基本性质，等式 = （x≠0），故此选项不符合题意；
C、分式 中的x，y都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项不符合题意；
D、分式 是最简分式，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据分式的基本性质、分式的值为0的条件、最简分式的定义逐项判断即可。
5．（2022八上·莱州期中）下列各式中，计算结果正确的有（ ）
⑴（2）（3）（4）⑸（6）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1），故（1）符合题意；
（2），故（2）不符合题意；
（3），故（3）符合题意；
（4），故（4）不符合题意；
（5），故（5）符合题意；
（6），故（6）不符合题意，
综上所述，运算正确的有3个．
故答案为：C．
【分析】利用分式的乘除法、分式的加法及分式的基本性质逐项判断即可。
6．（2022八上·苍南月考）已知，为整数，且满足，则的可能的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：由已知等式得，显然，均不为0，所以或.
若，则.
又，为整数，可求得或.
所以或
因此，的可能的值有3个.
故答案为：C.
【分析】对已知等式通分变形可得x+y=0或3xy=2(x-y)，若3xy=2(x-y)，则(3x+2)(3y-2)=-4，结合x、y为整数可得x、y的值，然后求出x+y的值，据此解答.
7．（2020八上·乐陵期末）某数学老师模仿学生喜欢的《王牌对王牌》节目在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算得到结果，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示，接力中，自己负责的那一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．只有丙 C．甲和丙 D．乙和丙
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】
=
=
=
由以上可得，甲正确，乙错误，
= ，故丙正确；
故答案为：A．
【分析】根据分式的乘除运算，进行判断即可.
8．（2022八上·张店期中）甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮（ ）
A．甲合算 B．乙合算 C．甲、乙一样 D．无法确定
【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：设第一次购粮时的单价是x元/千克，第二次购粮时的单价是y元/千克，
甲两次购粮共花费：，一共购买了粮食：千克，甲购粮的平均单价是：；
乙两次购粮共花费：100+100=200元，一共购买粮食：（千克），乙购粮的平均单价是：；
甲乙购粮的平均单价的差是：，
即，
所以甲购粮的平均单价高于乙购粮的平均单价，乙的购粮方式更合算，
故答案为：B．
【分析】分别算出两次购粮的平均单价，用做差法比较即可。
9．（2019七下·苍南期末）商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为( )
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设A、B两种糖的单价为x、y， “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m， “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n， “什锦糖”甲单价为a， “什锦糖”甲单价为b， 则：
，
把y=40+x代入上式解得：x=60.
故答案为：B
【分析】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。
10．（2022八上·凤台期末）甲、乙两人同时从圆形跑道（圆形跑道的总长小于700m）上一直径两端A，B相向起跑．第一次相遇时离A点100m，第二次相遇时离B点60m，则圆形跑道的总长为（ ）
A．240m B．360m C．480m D．600m
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，设圆形跑道总长为2S，又设甲乙速度分别为x和y，
（1）当甲乙第一次相遇在C点，第二次相遇在B点下方D点处时，
则：……①
……②
结合①与②得：，解得（舍去），，
∴，
经检验是原方程的解，
∴跑道长为480m；
（2）当甲乙第一次相遇在C点，第二次相遇在B点上方点处时，
则：……③
……④
结合③与④得：，解得（舍去），，
∴，
经检验是原方程的解，
∵圆形跑道的总长小于700m，
∴舍去.
故答案为：C.
【分析】分情况求解：（1）当甲乙第一次相遇在C点，第二次相遇在B点下方D点处时，（2）当甲乙第一次相遇在C点，第二次相遇在B点上方点处时，再分别求解即可。
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2021七下·浦江期末）已知 ＝ ，则 ＝ ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴x2-x+1=7x，
∴x2+1=8x，
∵x=0，无解，
∴x+=8，
∴ ，
故答案为： .
【分析】将分式方程化为整式方程，由于x≠0，两边同除以x可得x+=8，再将原式分子分母同除以x2，利用完全平方式变形代值计算即可得出结果.
12．（2021八上·襄州期末）计算 .
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为： .
【分析】首先利用平方差公式以、完全平方公式及提取公因式法对分式的分子、分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，接下来进行约分即可.
13．（2019八上·凉州期末）有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是≠±1；丙：当=-2时，分式的值为1.请你写出满足上述全部特点的一个分式： .
【答案】答案不唯一，如： ， ， 等
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：根据分式的值为0的条件，由甲的叙述可知此分式的分子一定不等于0；根据分式有意义的条件，由乙的叙述可知此分式的分母当x=±1时的值为0；根据求分式的值的方法，由丙的叙述可知，把x=-2代入此分式，得分式的值为1，可知所求分式可以是 ， ， 等，答案不唯一.
【分析】开放性的命题，答案不唯一，根据分式的定义、分式值为0的条件、分式有意义的条件、分式值的意义即可写出符合条件的分式。
14．（2021八上·东平月考）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则 ＝ ．
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】利用分式的基本性质求解即可。
15．（2022八上·丰台期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
【答案】（1）0
（2）6063
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
故答案为0
（2）令，则
故答案为∶ 6063．
【分析】（1）将r=0代入可得，再通分化简即可；
（2）根据所求式子的特点，可知，再结合公式求解即可.
16．某次列车平均提速 ，用相同的时间，列车提速前行驶 ，提速后比提速前多行驶 .设提速前列车的平均速度是 .根据题意分别列出下列四个方程：① ；② ；③ ；④ .则其中正确的方程有 .(填序号)
【答案】①③④
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：提速前列车平均速度是xkm/h，所以提速后列车平均速度是(x+v)km/h，
依题意得：① ；③ ；④ .
故其中正确的方程有①③④.
故答案为：①③④.
【分析】提速前列车平均速度是xkm/h，可表示出提速后列车平均速度，抓住关键词：“相同的时间”，可得到 . 可对①；②③④作出判断；由此可得到正确的方程.
三、计算题（共3题，共20分）
17．（2022七下·浙江）计算.
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）先通分，再将其结果化成最简分式.
（2）先通分，将异分母分式相加，转化为同分母分式的加法，分母不变，把分子相加，然后约分，将其结果化为最简分式.
（3）将x+2y看着整体，再通分，转化为同分母相加减，分母不变，把分子相加减，将其结果化为最简分式.
18．（2023八上·合川期末）解分式方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
经检验，是分式方程的解.
（2）解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，即，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得；
（2）利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得.
19．（2022七下·浙江）化简： .
【答案】解：原式
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】观察分母中的两个因式的值都相差1，因此将原式转化为 原式 ，先合并之后，再通分计算.
四、解答题（共6题，共59分）
20．（2020八上·南昌期末）从三个整式；① ，② ，③ 中，任意选择两个分别作为一个分式的分子和分母．
（1）一共能得到 个不同的分式；
（2）这些分式化简后结果为整式的分式有哪些？并写出化简结果．
【答案】（1）6
（2）解：当取①② 时
∴结果为 或
当取①③时
∴结果为 或
当取②③时
∴结果为 或
∴化简结果为整式的分为为： 和
∴化简的结果为： ，
【知识点】分式的定义；分式的约分
【解析】【解答】解：（1） ， ，
∵要从① ，② ，③ 任选两个分别作为分子和分母
∴一共有①② ，①③ ，②③三种取法
又∵一种取法里面的两个整式可以作分子也可以作分母
∴一种取法里面有两种分式
∴一共有6个分式；
【分析】（1）将三个整式分解因式，再列举出所有的分式即可得出答案；
（2）根据（1）的计算结果即可得出答案。
21．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求 的值．
【答案】（1）解：x÷[1÷（ + ）]
=x÷[1÷ ]
=x÷
= ．
答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的 倍
（2）解：由题意得x= ①，y= ②，z= ③．
由①得a= + ，
∴a+1= + +1，
∴ = = ；
同理，由②得 = ；
由③得 = ；
∴ = + + = =1
【知识点】分式的约分；分式的通分；利用分式运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据时间=总量÷效率，将总量设为1，可以表示出乙丙合作完成所需要的时间，用甲的时间÷乙丙合作的时间即可。
（2）根据题目要求，写出甲乙丙三个相关的式子，对其进行通分和约分，得出最后的化简结果，作和即可。
22．（2021八上·长沙期末）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如： ，这样，分式就拆分成一个分式 与一个整式 的和的形式.
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）若x为整数， 为负整数，可求得 x最大值= ；
（2）利用分离常数法，求分式 的取值范围；
（3）若分式 拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为： （整式部分对应等于 ，真分式部分对应等于 ）.
①用含x的式子表示出mn；
②随着x的变化， 有无最小值？如有，最小值为多少？
【答案】（1）-5
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
而分式 拆分成一个整式与一个真分式
（分子为整数）的和（差）的形式为： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
① ，
②∵ ， ，
而
，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 的最小值是27.
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：（1） ，
若x为整数， 为负整数，则 ，
解得： ，
故答案为： ；
【分析】（1）根据分离常数法进行变形，再求出其整数x即可；
（2）根据分离常数法进行变形为，由于可得 ，从而得出；
（3）根据分离常数法进行变形为 ，从而得出，， 据此求出m、n的值，①将m、n值代入求出mn的值即可；②将m、n的式子代入求出 ，根据偶次幂的非负性求出其最小值即可.
23．（2021八上·芙蓉月考）阅读下列解题过程：
已知 ，求 的值.
解：由 ，知 ，所以 ，即 .
∴
∴ 的值为7的倒数，即 .
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知 ，求 的值.
（2）已知 ，求 的值.
（3）已知 ， ， ，求 的值.
【答案】（1）解：由 ，知 ，所以 ，即 .
∴ .
∴ 的值为2的倒数，即 .
（2）解：由 ，得到 ，即 ，
则 ；
（3）解：根据题意得： ， ， ，
可得 ，
∴
∴ .
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；利用分式运算化简求值；等式的性质
【解析】【分析】（1）取倒数可得
=2，分子分母同时除以x可得x+
=2，利用完全平方公式可将待求式变形为(x+
)2-2，据此计算；
（2）同理可得x+
=8，给待求式子的分子、分母同时除以x2，可得
，据此计算；
（3）对三个等式分别取倒数并相加可得
+
+
=1，然后给待求式子的分子、分母同时除以xyz，据此计算.
24．（2021八上·万山期末）小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校.已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍.
（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？
（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）
【答案】（1）解：设小红步行的平均速度是 米/分，则骑自行车的平均速度是 米/分.
根据题意，得
，
方程两边同乘最简公分母 ，得
，
解得 .
检验：把 代入最简公分母 ，得
，
因此， 是原方程的根.
答：小红步行的平均速度是70米/分.
（2）解：由（1），得 ， ，
所以小红骑自行车的速度是210米/分，
于是，小红回家取道具共花时间：
（分），
由于 ，
因此，小红能在联欢会开始前赶到学校.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设小红步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为3x米/分，由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程求出其解即可；
（2）根据（1）求出的结论计算小红往返的时间之和与45分钟作比较就可以得出结论.
25．（2020七下·鄞州期末）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米和10厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，a＞b）
（1）用含a，b的代数式分别表示这三块木板的面积.
（2）若甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为150000立方厘米，求乙块木板的面积.
（3）如果购买一块长为100厘米，宽为（a+b）厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为90%，试求分式 + 的值.
【答案】（1）解：由图可得：甲块木板的面积：（ab+10a）平方厘米；乙块木板的面积：（10a+10b）平方厘米；丙块木板的面积：（ab+10b）平方厘米；
（2）解：由题意可得： ，
即 ，
则（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝400+60000＝60400，
则乙块木板的面积为10a+10b＝10（a+b）＝10 ＝200 （cm2）；
（3）解：由题意可得： ＝90%，
化简得ab＝35（a+b），
则 + +
＝ +
＝ +
＝ +
＝ +5
＝ .
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用展开图，结合立体图形的边长即可得出答案；
（2）利用“甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为150000立方厘米”，结合（1）中所求得出等式即可求解；
（3）利用（1）中所求表示出箱子的侧面积以及木板的利用率为90%，得出等式求出ab＝35（a+b），再代入计算即可求解.
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