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第2章 二元一次方程【单元测试培优卷】
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】中未知项有2次方，不是二元一次方程，故A不符合题意；
符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故B符合题意；
不是整式方程，故C不符合题意；
中未知项有2次方，不是二元一次方程，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．掌握“如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程”是解题关键．
2．已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入二元一次方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
3．用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把代入，再根据去括号法则去掉括号即可．
【详解】
把②代入①，得，
去括号，得．
故选：D．
【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组和去括号法则，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解题的关键．解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
4．如表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（ ）
0 1 2 3
3 1
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【分析】根据题意将和代入求出a和b的值，然后将代入求解即可．
【详解】解：由表可知：方程的一组解为，
代入方程得：，
解得：，
也是方程的解，代入得：，
解得：，
方程为：，
将代入方程得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．
5．方程的非负整数解有（）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【分析】把x看作已知数求出y，即可确定出非负整数解．
【详解】解∶，
，
当时，时，时，，
则方程的非负整数解为或或
故选∶C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
6．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案．
【详解】A.，，故该选项符合题意；
B.，故该选项不合题意；
C.，故该选项不合题意；
D.，故该选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．
7．有理数、、满足，则的值是（ ）
A． B．3 C．4 D．值不能确定
【答案】C
【分析】把方程看着关于x、y的方程，用z表示x、y．然后代入即可求值．
【详解】解：，
①②得：，
，
②①得：，
，
把，代入得：
，
故本题选：C．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．
8．关于，的方程和的解相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】将两个二元一次方程联立成方程组，解这个方程组求得，的值，再将，的值代入代数式，计算即可得出结论．
【详解】解：∵关于，的方程和的解相同，
∴可得：，
解得：，
∴，
∴的值为．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解二元一次方程组、求代数式的值，根据题意，联立二元一次方程组，并求得，的值是解题的关键．
9．定义运算“*”，规定（其中为常数），若已知，则的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】已知等式利用新定义列得二元一次方程组，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
【详解】解：根据题中的新定义化简已知等式得：，
解得：，
则．
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10．《御制数理精蕴》一般称《数理精蕴》，于康熙六十一年（1722年）告成，全书分上下两编及附录，共45卷，是一部介绍包括西方数学知识在内的数学百科全书，这本书中曾记载了这样一道题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴．
∴列出的方程组为．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题）
11．将二元一次方程变形为用y表示x的形式为_________．
【答案】##
【分析】将看作已知数，求得，即可求解．
【详解】解：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，掌握等式的性质是解题的关键．
12．是某个二元一次方程组的解，则这个方程组是______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算式，如1+3=4，1-3=-2，然后用x，y代换，得．
【详解】解：先围绕列一组算式，
如1+3=4，1-3=-2，
然后用x、y代换，得
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，所谓方程组的解，指的是该组解满足方程组中的每一方程．
13．若与互为相反数，则________．
【答案】1
【分析】根据题意可知，再根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性，得到非负式和为零的条件是，解这个二元一次方程组得到，从而代入．
【详解】解：，，且与互为相反数，
，
即，解得，
将代入，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及绝对值的非负性、算术平方根的非负性、非负式和为零的条件、解二元一次方程组及值等知识，熟练掌握非负式和为零的条件是解决问题的关键．
14．已知方程组的解是，则出方程组的解是__．
【答案】
【分析】把，看成一个整体，由方程组的解是，比较两个方程组即可得出，解之即可求解．
【详解】解：方程组的解是，
方程组的解满足关系式，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把，看成一个整体，比较两个方程组即可得出是解题的关键．
15．如图，6块同样大小的小长方形刚好拼接成一个大长方形ABCD，已加AB＝15cm，则每个小长方形的长为_________cm．
【答案】10
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
∴每个小长方形的长为10cm．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得；②当x与y互为相反数时，解得；③若，则；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式，其中正确的序号是_____．
【答案】①②③④
【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据列出方程，求出k即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出k即可判断；③把底数统一化成k，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出k；④在原方程中，我们消去k，即可得到x，y的关系．
【详解】解：，
由②得：③，
把③代入①中，得：④，
把④代入③中，得：，
∴原方程组的解为．
①当x与y相等时，，
即，
解得：，
∴①正确；
②∵方程的两根互为相反数，
∴，
即，
解得：，
∴②正确；
③，
∴，
∴，
∴，
∴，
将方程组的解代入得：，
解得：，
∴③正确；
④，
得，
即．
∴④正确．
综上所述，①②③④都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握用加减法求解二元一次方程组是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．解下列方程组：
(1)（代入消元法）
(2)（加减消元法）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接把①式代入②式，求出b的值，再将b的值代入①式，求出a的值即可；
（2）用①式加上②式，即可消去b，求出m的值，再将m的值代入①式，求出b的值即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，具有消元的思想．
18．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值．
(1)按照小云的方法，的值为__________，的值为____________；
(2)请按照小辉的思路求出的值．
【答案】(1)5；
(2)1
【分析】（1）①③联立解二元一次方程组即可；
（2）得：，根据得出m的方程，解关于m的方程即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
故答案为：5；．
（2）解：①+②，得，
即，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法，准确计算．
19．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋，已知购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，求每支毛笔和每副围棋的单价各多少元．
【答案】每支毛笔的单价为15元，每副围棋的单价为20元．
【分析】设每支毛笔的单价为元，每副围棋的单价为元，根据“购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每支毛笔的单价为元，每副围棋的单价为元，
根据题意得，解得．
答：每支毛笔的单价为15元，每副围棋的单价为20元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
20．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值．
【答案】，
【分析】由于甲看错了①，但甲的解仍满足②；乙看错了②，但乙的解仍满足①，分别代入即可求出．
【详解】解：把，代入②，得
，
∴
把，代入①，得
，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了含参二元一次方程的错解问题，熟练掌握二元一次方程的解与方程的关系是解题的关键．
21．若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解，
求：（1）这两个方程组的解；
（2）代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由两个方程组同解可得，解方程组可得答案；
（2）把代入两个系数未知的方程可得：，解方程组求解的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得：
①+②得：
把代入①得：
所以这两个方程组的解是：
（2）把代入可得：
，
③④得：
把代入③得：
所以：
【点睛】本题考查的是同解方程，二元一次方程组的解法，代数式的值，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．
22．小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.
(1)小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ；
(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个
(3)小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值.
【答案】（1）；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3），，或
【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可；
(2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；
(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.
【详解】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)，
摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)，
摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)，
……，
摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍，
故答案为；
(2)设六边形有个，正方形有y个，
则，
解得，
所以正方形有16个，六边形有12个；
(3)据题意，，
据题意，，且均为整数，
因此可能的取值为：
，，或.
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际运用，找出连续摆放正方形共用小木棍的根数，六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键．
23．阅读探索：
材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设，，原方程组可化为
解得，即，解得
材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法解求关于，的方程组：的解；
(2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．
(3)已知、、，满足，试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可；
（2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可；
（3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设，，
∴原方程可以化为，
用得：，解得，
把代入到①得：，解得，
∴方程组的解为，即，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：设，则方程化为：，
即，
解得；
（3）解：将方程①，变形为，
将方程②代入③得：，解得．
【点睛】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解．
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第2章 二元一次方程【单元测试培优卷】
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
3．用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（ ）
0 1 2 3
3 1
A． B． C．0 D．3
5．方程的非负整数解有（）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（ ）
A． B．
C． D．
7．有理数、、满足，则的值是（ ）
A． B．3 C．4 D．值不能确定
8．关于，的方程和的解相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
9．定义运算“*”，规定（其中为常数），若已知，则的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
10．《御制数理精蕴》一般称《数理精蕴》，于康熙六十一年（1722年）告成，全书分上下两编及附录，共45卷，是一部介绍包括西方数学知识在内的数学百科全书，这本书中曾记载了这样一道题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题）
11．将二元一次方程变形为用y表示x的形式为_________．
12．是某个二元一次方程组的解，则这个方程组是______．
13．若与互为相反数，则________．
14．已知方程组的解是，则出方程组的解是__．
15．如图，6块同样大小的小长方形刚好拼接成一个大长方形ABCD，已加AB＝15cm，则每个小长方形的长为_________cm．
16．已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得；②当x与y互为相反数时，解得；③若，则；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式，其中正确的序号是_____．
三．解答题（共7小题）
17．解下列方程组：
(1)（代入消元法）
(2)（加减消元法）
18．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值．
(1)按照小云的方法，的值为__________，的值为____________；
(2)请按照小辉的思路求出的值．
19．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋，已知购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，求每支毛笔和每副围棋的单价各多少元．
20．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值．
21．若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解，
求：（1）这两个方程组的解；
（2）代数式的值．
22．小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.
(1)小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ；
(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个
(3)小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值.
23．阅读探索：
材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设，，原方程组可化为
解得，即，解得
材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法解求关于，的方程组：的解；
(2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．
(3)已知、、，满足，试求的值．
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