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第3章 整式的乘除【单元测试培优卷】
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则“□”是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘除互化，由得到，从而得到答案．
【详解】解：，
，
“□”是，
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算，根据条件将同底数幂的乘法转化为同底数幂的除法是解决问题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项，幂的乘方及整式的运算解答即可判断．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式、单项式与单项式相除、合并同类项，掌握每一种运算法则的正确应用是解题关键．
3．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同类项的定义求出两个单项式，然后根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
∴两个单项式为，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义和单项式乘以单项式，解题的关键在于能够熟练掌握同类项的定义．
4．代数式的值（ ）
A．与字母a，b都有关 B．只与a有关
C．只与b有关 D．与字母a，b都无关
【答案】B
【分析】根据单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解．
【详解】解：
∴代数式的值只与a有关，
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
5．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平方差公式的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A．，满足平方差公式，故A符合题意；
B．，不满足平方差公式，故B不符合题意；
C．，不满足平方差公式，故C不符合题意；
D．，不满足平方差公式，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的定义，解题的关键是掌握平方差公式．
6．已知，，则代数式的值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】原式利用多项式乘多项式法则进行化简，再把、代入计算即可．
【详解】解：，，
∴原式
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和具有整体代入思想是解题的关键．
7．如果三角形的面积为，且其中一边的长为，则这条边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形面积公式进行计算即可求解．
【详解】∵三角形的面积为，且其中一边的长为，
∴这条边上的高为，
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
8．已知，，其中m，n为正整数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据幂的乘方的逆运算得到，，然后利用同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算进行计算，即可得到答案．
【详解】解：，，
，，
，
故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，灵活运用其逆运算是解题关键．
9．已知单项式与的积为，那么、的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案．
【详解】解：∵，单项式与的积为，
∴，，
故选：B
【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去空白部分的面积，即可求解．
【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积为
故选：B
【点睛】本题主要考查了整式加减及乘法的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题）
11．若，，则______．
【答案】2
【分析】原式利用幂的乘方与同底数幂的除法运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
12．1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于千克煤放出的热量，千克镭完全蜕变后放出的热量相当于________千克煤放出的热量．
【答案】
【分析】根据题意，乘以，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握科学记数法以及同底数幂的乘法是解题的关键．
13．若，，则M______N（用“＜、＞”号填空）．
【答案】＜
【分析】计算可得，即可得出答案．
【详解】
即 .
故答案为: ＜
【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质、利用作差法比较代数式的大小是解答本题的关键．
14．已知代数式的值是7，则代数式的值是_______．
【答案】18
【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可．
【详解】解：∵代数式的值是7，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
15．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是______．
【答案】
【分析】根据图1、图2的面积相等可得答案．
【详解】解：图1的面积为：，拼成的图2的面积为：，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．
16．数学兴趣小组发现：
…
利用你发现的规律计算：____________．
【答案】
【分析】观察题目所给的式子可以得到规律，然后把，代入式子中进行求解即可．
【详解】解：∵；
；
；
……
∴可以得到规律，
当，时：
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．若，则求的值．
【答案】．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（1）简便计算：
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）利用平方差公式简便计算即可求解；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式的乘除，即可求解；
（3）利用完全平方公式和多项式的乘法展开，合并同类项即可求解；
（4）利用平方差公式、完全平方公式计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题主要考查了整式的乘除，乘法公式，正确把握相关运算法则是解题关键．
19．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，把字母的值代入化简结果即可．
【详解】解：原式．
当，时，
原式．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式和准确计算是解题的关键．
20．（1）已知，求的值．
（2）已知，求n的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先根据幂的乘方的逆运算得到，再根据同底数幂乘法计算法则求解即；
（2）先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，进一步推出，由此得到，则，即．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
21．根据现有的知识，当，时，不能分别求出和的值，但是小红却利用它们求出了的值，你知道她是怎样计算的吗？请写出计算过程．
【答案】，过程见解析
【分析】利用同底数幂的除法求出，再得出，代入即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是根据同底数幂的除法求出的值．
22．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出_________．
(2)的展开式中a项的系数是__________．
(3)利用上述规律求的值，写出过程．
【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】（1）根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，即可得出结论；
（2）根据，即可得出结论；
（3）根据，利用（1）中等式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴a项的系数是；
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】本题考查数字类规律探究，解题的关键是根据已知等式的特点，抽象概括出相应的数字规律．
23．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________；
(2)根据（1）中的结论，若，求的值；
(3)请求解下面实际问题：
如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图形的面积可得到，，之间数量关系；
（2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解；
（3）根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设，，即，阴影部分面积，根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形，
∴图的长方形面积为：，
∵图的边长为，图阴影部分的面积为：，
∴，
即，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴
（3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形，，
∴，，，
∵长方形的面积是，
∴，
设，，即，则，
∴阴影部分面积
，
∵，
∴（负值舍去），
∴，
即阴影部分面积为．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键．
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第3章 整式的乘除【单元测试培优卷】
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则“□”是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
4．代数式的值（ ）
A．与字母a，b都有关 B．只与a有关
C．只与b有关 D．与字母a，b都无关
5．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，则代数式的值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
7．如果三角形的面积为，且其中一边的长为，则这条边上的高为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，其中m，n为正整数，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知单项式与的积为，那么、的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）．
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题）
11．若，，则______．
12．1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于千克煤放出的热量，千克镭完全蜕变后放出的热量相当于________千克煤放出的热量．
13．若，，则M______N（用“＜、＞”号填空）．
14．已知代数式的值是7，则代数式的值是_______．
15．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是______．
16．数学兴趣小组发现：
…
利用你发现的规律计算：____________．
三．解答题（共7小题）
17．若，则求的值．
18．（1）简便计算：
（2）
（3）
（4）
19．先化简，再求值：，其中，．
20．（1）已知，求的值．
（2）已知，求n的值．
21．根据现有的知识，当，时，不能分别求出和的值，但是小红却利用它们求出了的值，你知道她是怎样计算的吗？请写出计算过程．
22．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出_________．
(2)的展开式中a项的系数是__________．
(3)利用上述规律求的值，写出过程．
23．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________；
(2)根据（1）中的结论，若，求的值；
(3)请求解下面实际问题：
如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
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