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第5章 分式单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＜l D．x＝1
2．下列各式与分式相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．计算（﹣a）2的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣a2 D．a2
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
6．如果将分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的4倍
C．扩大到原来的8倍 D．扩大到原来的16倍
7．若分式“”可以进行约分化简，则“〇”不可以是（ ）
A．1 B．x C．﹣x D．4
8．如图，若，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
9．已知实数a，b，c满足a+b+c＝10，且，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
10．下列结论：①不论a为何值时都有意义；②a＝﹣1时，分式的值为0；③若的值为负，则x的取值范围是x＜1；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题）
11．在式子，，5，，，中，分式的个数为 ．
12．若，则 ．
13．计算 的结果是 ．
14．若分式的值为负整数，则所有满足条件的整数x的值的和为 ．
15．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
16．为了全力抗击新型冠状病毒感染肺炎，减少相互感染，每个人出门都必须带上口罩，所以KN95型的口罩需求量越来越大．某大型口罩工厂接到生产200万副KN95型口罩的生产任务，计划在若干天完成，由于情况疫情紧急，工厂全体员工不畏艰苦，工人全力以赴，每天比原计划多生产5万副口罩，结果只用了原计划时间的就圆满完成生产任务，则原计划每天生产 万副口罩．
三．解答题（共7小题）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知分式，当x＝2时，分式的值为零；当x＝﹣2时，分式没有意义．求a+b的值．
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．关于x的方程：1．
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．
21．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）；
立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）．
根据材料和已学知识解决下列问题
（1）因式分解：a3﹣8；
（2）先化简，再求值：，其中x＝3．
22．某商店3月份购进一批PVC手套，进价合计1000元．因为3月份全部售完，商店又在4月份购进一批同品牌的PVC手套，进价合计2400元，数量是3月份的2倍，但每双进价涨了1元．
（1）3月份每双PVC手套的进价为多少元？
（2）商店将3月份和4月份购进的PVC手套全部售完后，共获利润（销售收入减去进价总计）1400元．若3月份和4月份该商店这种手套的售价均高于进价，且售价为整数，求商店这种手套3月份和4月份的售价分别是多少元？
23．【建构模型】
对于两个不等的非零实数m，n，若分式的值为零，则x＝m或x＝n．
又因为，
所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝m，x2＝n．
【应用模型】
利用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解分别为x1＝﹣3，x2＝4，则a＝ ﹣12 ，b＝ 1 ；
（2）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
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第5章 分式单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＜l D．x＝1
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：B．
2．下列各式与分式相等的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：，
故选：C．
3．计算（﹣a）2的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣a2 D．a2
【分析】原式先算乘方运算，再算乘除运算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2÷a
＝a
＝1．
故选：B．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式
，
故选：D．
5．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：x＝﹣1．
故选：A．
6．如果将分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的4倍
C．扩大到原来的8倍 D．扩大到原来的16倍
【分析】将分式中的x、y分别用4x、4y代替，然后利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：用4x和4y代替式子中的x和y得：4
则分式的值扩大为原来的4倍．
故选：B．
7．若分式“”可以进行约分化简，则“〇”不可以是（ ）
A．1 B．x C．﹣x D．4
【分析】分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式，据此分析即可．
【解答】解：∵分式“”可以进行约分化简，
∴“〇”可以是1，则A不符合题意；
“〇”可以是x，则B不符合题意；
“〇”不可以是﹣x，则C符合题意；
“〇”可以是4，则D不符合题意；
故选：C．
8．如图，若，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【分析】把3变形得a＝3b，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．
【解答】解：∵3，
∴a＝3b，
∴，
∴表示的值的点落在段②，
故选：B．
9．已知实数a，b，c满足a+b+c＝10，且，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案．
【解答】解：∵a+b+c＝10，，
∴a＝10﹣（b+c），b＝10﹣（a+c），c＝10﹣（a+b），
∴
＝10（）﹣3
＝103
．
故选：A．
10．下列结论：①不论a为何值时都有意义；②a＝﹣1时，分式的值为0；③若的值为负，则x的取值范围是x＜1；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．
【解答】解：①正确，∵a不论为何值不论a2+1＞0，∴不论a为何值都有意义；
②错误，∵当a＝﹣1时，a2﹣1＝1﹣1＝0，此时分式无意义，∴此结论错误；
③正确，∵若的值为负，即x﹣1＜0，即x＜1，∴此结论正确；
④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若有意义，则x的取值范围是即，x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此结论错误．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．在式子，，5，，，中，分式的个数为 ．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：在式子，，5，，，x2y2中，
分式有：，共有2个．
12．若，则 ．
【分析】由，得a，代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由，得a，
∴．
故答案为：．
13．计算 的结果是 ．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
14．若分式的值为负整数，则所有满足条件的整数x的值的和为 ﹣6 ．
【分析】先将分子和分母分解因式，再约分，然后根据题意确定x的值，且保证分母不等于0．
【解答】解：由，其中x≠2，
当x+4＝1时，原式＝﹣6，解得x＝﹣3；
当x+4＝2时，原式＝﹣3，解得x＝﹣2；
当x+4＝3时，原式＝﹣2，解得x＝﹣1；
当x+4＝6时，原式＝﹣1，解得x＝2（舍去）．
所以符合题意的x的值的和为﹣3+（﹣2）+（﹣1）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
15．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
【分析】先化分式方程为整式方程，分系数中含m和不含m两种情况求解，含m用一元一次方程的无解知识求解；不含m时，用分式方程的增根求解．
【解答】解：将方程去分母得到：x+3＝2（x﹣5）+m，
即x＝13﹣m，
∵分式无解，
∴x＝5
将x＝5代入x＝13﹣m中，
解得x＝8，
16．为了全力抗击新型冠状病毒感染肺炎，减少相互感染，每个人出门都必须带上口罩，所以KN95型的口罩需求量越来越大．某大型口罩工厂接到生产200万副KN95型口罩的生产任务，计划在若干天完成，由于情况疫情紧急，工厂全体员工不畏艰苦，工人全力以赴，每天比原计划多生产5万副口罩，结果只用了原计划时间的就圆满完成生产任务，则原计划每天生产 25 万副口罩．
【答案】25．
【分析】原计划每天生产x万副口罩，则实际每天生产（x+5）万副口罩，由“每天比原计划多生产5万副口罩，结果只用了原计划时间的就圆满完成生产任务”列出方程，解方程即可．
【解答】解：设原计划每天生产x万副口罩，则实际每天生产（x+5）万副口罩，
由题意得：，
解得：x＝25，
经检验x＝25是原方程的解，且符合题意，
即原计划每天生产25万副口罩，
故答案为：25．
【点评】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系列出方程是解决问题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据同分母的分式相减法则进行计算，再化成最简分式即可；
（2）先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可．
【解答】解：（1）原式
＝a﹣1；
（2）原式
＝1．
18．已知分式，当x＝2时，分式的值为零；当x＝﹣2时，分式没有意义．求a+b的值．
【分析】根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得b的值；根据分式没有意义，即分母等于0，求得a的值，从而求得a+b的值．
【解答】解：∵x＝2时，分式的值为零，
∴2﹣b＝0，
b＝2．
∵x＝﹣2时，分式没有意义，
∴2×（﹣2）+a＝0，
a＝4．
∴a+b＝6．
19．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
2x＝2
解得：x＝1
经检验x＝1分式方程的解；
（2）去分母得：4x+2＝4，
解得：x，
经检验x是增根，分式方程无解．
20．关于x的方程：1．
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．
【分析】（1）把a的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值．
【解答】解：（1）当a＝3时，原方程为1，
方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，
解这个整式方程得：x＝﹣2，
检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，
当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，
解得：x＝1，
将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，
解得：a＝﹣3，
综上，a的值为﹣3．
21．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）；
立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）．
根据材料和已学知识解决下列问题
（1）因式分解：a3﹣8；
（2）先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】（1）根据立方差公式进行因式分解即可；
（2）根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）原式＝（a﹣2）（a2+2a+4）；
（2）[]
＝[]
＝[]
＝x+2，
当x＝3时，原式＝5．
22．某商店3月份购进一批PVC手套，进价合计1000元．因为3月份全部售完，商店又在4月份购进一批同品牌的PVC手套，进价合计2400元，数量是3月份的2倍，但每双进价涨了1元．
（1）3月份每双PVC手套的进价为多少元？
（2）商店将3月份和4月份购进的PVC手套全部售完后，共获利润（销售收入减去进价总计）1400元．若3月份和4月份该商店这种手套的售价均高于进价，且售价为整数，求商店这种手套3月份和4月份的售价分别是多少元？
【分析】（1）设3月份每双PVC手套的进价为x元，由数量是3月份的2倍，列出方程可求解；
（2）设3月份和4月份的售价分别是a元，b元，由共获利润1400元，列出方程，求出正整数解，即可求解．
【解答】解：（1）设3月份每双PVC手套的进价为x元，
由题意可得：2，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
答：3月份每双PVC手套的进价为5元；
（2）1000÷5＝200（双），
设3月份和4月份的售价分别是a元，b元，
由题意可得：200（a﹣5）+2×200（b﹣6）＝1400，
∴a+2b＝24，
∵a＞5，b＞6，a和b为正整数，
∴a＝10，b＝7或a＝8，b＝8或a＝6，b＝9；
答：3月份和4月份的售价分别是10元，7元或3月份和4月份的售价分别是8元，8元或3月份和4月份的售价分别是6元，9元．
23．【建构模型】
对于两个不等的非零实数m，n，若分式的值为零，则x＝m或x＝n．
又因为，
所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝m，x2＝n．
【应用模型】
利用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解分别为x1＝﹣3，x2＝4，则a＝ ﹣12 ，b＝ 1 ；
（2）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
【分析】（1）根据题目给出的结论，a＝x1x2，b＝x1+x2，代入数值即可．
（2）把原式构造成x的形式即可．
【解答】解：（1）由题意可知，
a＝x1x2，
b＝x1+x2，
∴a＝﹣12，b＝1．
故答案为：﹣12，1．
（2）由，
得，
令2x+1＝t，
∴t1＝n+3，t1＝n﹣4，
又∵x1＜x2，
∴x1（n﹣5），x2（n+2），
∴．
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