第5章 分式 单元检测卷（1）（含解析）

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2022-2023学年浙教版七年级下第5章 分式 单元检测卷（1）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若分式有意义时，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x＞1
3．分式，，的最简公分母为（　　）
A．12a2b2 B．a2b2c C．12abc D．12a2b2c
4．下列式子从左边至右边变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．分式方程的解为（　　）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝15 D．x＝﹣15
6．化简的结果为（　　）
A．a﹣1 B．a+1 C． D．
7．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A． B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不变
8．若x＝3是关于x的方程的解，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
9．在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为a※b＝+，如2※4＝+，根据这个规则，则方程3※（x﹣1）＝1的解为（　　）
A． B．x＝﹣1 C． D．x＝﹣3
10．山西省图书馆创始于清宣统元年（1909年），是国内为数不多的百年老馆之一．小聪和小宇作为省图书馆的志愿者，负责整理读者阅览后的图书．已知小聪平均每小时整理图书的数量是小宇平均每小时整理图书的数量的1.3倍，小聪整理156本图书所用的时间比小宇整理100本图书所用的时间多15分钟．问小宇平均每小时整理多少本图书？设小宇平均每小时整理x本图书，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．若分式在实数范围内有意义，则x　 　．若分式的值为0，则x＝　 　．
12．若关于x的方程有增根，则k的值为 　 　．
13．试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 　 　．
14．已知，则AB的值 　 　．
15．已知：a+b＝6，ab＝7，则＝　 　．
16．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务，设原计划每天生产零件x个，根据题意，列方程为 　 　．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（8分）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：﹣，小明同学的解答过程如下：
﹣
＝﹣①
＝﹣②
＝2﹣（x+1）③
＝1﹣x④，
（1）请你分析小明的解答从第 　 　步开始出现错误（填序号），错误的原因是 　 　；
（2）请写出正确解答过程，并求出当x＝2时此式的值．
18．（10分）计算：
（1）；
（2）；
（3）化简，并从﹣1，1，2中选一个合适的a值代入求值．
19．（8分）解分式方程：
（1）； （2）．
20．（8分）先化简，再从﹣1≤a≤2的整数中选取一个你认为合适的a的值，代入求值．
21．（10分）如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，已知该题化简的结果为．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）在（1）的条件下原分式的值能等于吗？说出理由．
22．（10分）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
23．（12分）永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成：
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
（1）请你求出完成这项工程的规定时间；
（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．
答案与解析
一．选择题
1．下列式子中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．的分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B．﹣的分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C．的分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D．的分母中有字母，是分式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，判断是否是分式的关键是看分母中是否含有字母．
2．若分式有意义时，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x＞1
【点拨】要使分式有意义，分式的分母不能为0，据此可求解．
【解析】解：∵分式有意义时，
∴x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的值即可．
3．分式，，的最简公分母为（　　）
A．12a2b2 B．a2b2c C．12abc D．12a2b2c
【点拨】各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母，据此即可求解．
【解析】解：分式，，的最简公分母为12a2b2c．
故选：D．
【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
4．下列式子从左边至右边变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”，逐项分析判断即可．
【解析】解：A． ，正确，不符合题意；
B． ，正确，不符合题意；
C． ，正确，不符合题意；
D． ，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
5．分式方程的解为（　　）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝15 D．x＝﹣15
【点拨】先去分母，化为一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤求解，最后检验．
【解析】解：去分母，得2x＝3（x﹣5），
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的根，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
6．化简的结果为（　　）
A．a﹣1 B．a+1 C． D．
【点拨】根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解析】解：
＝÷
＝
＝a+1．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的计算方法是关键．
7．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A． B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变
【点拨】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解析】解：由题意得：
＝＝，
∴如果把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8．若x＝3是关于x的方程的解，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
【点拨】把x＝3代入分式方程，求出k的值即可．
【解析】解：把x＝3代入方程得：﹣＝2，
解得：k＝2．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
9．在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为a※b＝+，如2※4＝+，根据这个规则，则方程3※（x﹣1）＝1的解为（　　）
A． B．x＝﹣1 C． D．x＝﹣3
【点拨】根据新运算得出分式方程，再方程两边都乘3（x﹣1）得出x﹣1+3＝3（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】解：3※（x﹣1）＝1，
+＝1，
方程两边都乘3（x﹣1），得x﹣1+3＝3（x﹣1），
解得：x＝，
当x＝时，3（x﹣1）≠0，
所以x＝是方程的解，
即方程3※（x﹣1）＝1的解为x＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
10．山西省图书馆创始于清宣统元年（1909年），是国内为数不多的百年老馆之一．小聪和小宇作为省图书馆的志愿者，负责整理读者阅览后的图书．已知小聪平均每小时整理图书的数量是小宇平均每小时整理图书的数量的1.3倍，小聪整理156本图书所用的时间比小宇整理100本图书所用的时间多15分钟．问小宇平均每小时整理多少本图书？设小宇平均每小时整理x本图书，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】根据小聪整理156本图书所用的时间比小宇整理100本图书所用的时间多15分钟，列分式方程即可．
【解析】解：根据题意，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
二．填空题
11．若分式在实数范围内有意义，则x　 　．若分式的值为0，则x＝　 　．
【点拨】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案；根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
【解析】解：若分式在实数范围内有意义，则x+2≠0，解得x≠﹣2；
若分式的值为0，则，解得x＝﹣2．
故答案为：≠﹣2；﹣2．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件以及分式的值为零的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
12．若关于x的方程有增根，则k的值为 　 　．
【点拨】根据题意可得x＝1，然后把x＝1代入整式方程中，进行计算即可解答．
【解析】解：，
k+3（x﹣1）＝﹣x，
∵方程有增根，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
把x＝1代入k+3（x﹣1）＝﹣x中得：
k+3×（1﹣1）＝﹣1，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
13．试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 　 　．
【点拨】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可．
【解析】解：∵（+）÷★＝，
∴被墨汁遮住部分的代数式是：
（+）÷，
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
14．已知，则AB的值 　 　．
【点拨】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出A与B的值．
【解析】解：∵＝＝，
∴A+B＝3，﹣2A﹣B＝﹣4，
联立方程组，
解得：A＝1，B＝2，
∴AB＝12＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．已知：a+b＝6，ab＝7，则＝　 　．
【点拨】将变形为，然后将a+b＝6，ab＝7代入求解即可．
【解析】解：∵a+b＝6，ab＝7，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是分式的化简求值及完全平方公式，掌握完全平方公式进行运算是关键．
16．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务，设原计划每天生产零件x个，根据题意，列方程为 　 　．
【点拨】根据采用新技术前后工作效率间的关系，可得出采用新技术后实际每天生产零件2x个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】解：∵采用新技术后，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，原计划每天生产零件x个，
∴采用新技术后实际每天生产零件2x个．
根据题意得：﹣＝5．
故答案为：﹣＝5．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
三．解答题
17．学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：﹣，小明同学的解答过程如下：
﹣
＝﹣①
＝﹣②
＝2﹣（x+1）③
＝1﹣x④，
（1）请你分析小明的解答从第 　 　步开始出现错误（填序号），错误的原因是 　 　；
（2）请写出正确解答过程，并求出当x＝2时此式的值．
【点拨】（1）根据异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
（2）根据异分母分式加减法法则进行计算，然后再把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解析】解：（1）请你分析小明的解答从第③步开始出现错误（填序号），错误的原因是漏掉了分母；
故答案为：③，漏掉了分母；
（2）正确的解答过程如下：
﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝﹣，
当x＝2时，原式＝﹣＝﹣．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18．计算：
（1）；
（2）；
（3）化简，并从﹣1，1，2中选一个合适的a值代入求值．
【点拨】（1）利用异分母分式加减法法则计算，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（3）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解析】解：（1）
＝﹣
＝
＝
＝
＝
＝﹣；
（2）
＝1﹣÷
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝﹣；
（3）
＝[﹣（a﹣1）]
＝
＝
＝，
∵a+1≠0，a﹣2≠0，
∴a≠﹣1，a≠2，
∴当a＝1时，原式＝＝3．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
19．解分式方程：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）方程两边都乘x（x+2）得出2x＝3（x+2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出4﹣（x+1）2＝﹣（x2﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】解：（1），
方程两边都乘x（x+2），得2x＝3（x+2），
解得：x＝﹣6，
检验：当x＝﹣6时，x（x+2）≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣6；
（2），
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得4﹣（x+1）2＝﹣（x2﹣1），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
20．先化简，再从﹣1≤a≤2的整数中选取一个你认为合适的a的值，代入求值．
【点拨】原式第一项两因式分子分母分解因式，约分后再利用同分母分式的减法法则计算，得到最简结果，将a＝2代入化简后的式子中计算，即可求出值．
【解析】解：原式＝ ﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
∵﹣1≤a≤2，
又∵a≠±1、0时，分式没意义，
∴当a＝2时，原式＝．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，掌握分式通分，约分是解题关键．
21．如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，已知该题化简的结果为．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）在（1）的条件下原分式的值能等于吗？说出理由．
【点拨】（1）根据分式的乘除混合运算的法则计算即可；
（2）根据分式有意义的条件即可得到结论．
【解析】解：（1）设被墨水污染的部分是A，
由题意得，÷＝，
解得A＝x+3，
故被墨水污染的部分为x+3；
（2）解：不能，若＝，
则x＝4，
由分式，÷＝ ，
当x＝4时，原分式无意义，
所以不能．
【点睛】本题考查了分式的值，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
22．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，
（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程计算即可求出m的值；
（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可．
【解析】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，
（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m＝0；
（2）解得：x＝，
根据分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，
解得：m＜6且m≠0．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
23．永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成：
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
（1）请你求出完成这项工程的规定时间；
（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．
【点拨】（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+6）天完成这项工程，由题意：由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据总费用＝每天需付费用×工作天数，分别求出方案一、三需付的工程款，比较后即可得出结论．
【解析】解：（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+6）天完成这项工程，
根据题意得：5×（+）+＝1，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
答：完成这项工程的规定时间为30天．
（2）选择方案三，理由如下：
方案一需付工程款：2.4×30＝72（万元）；
方案二不能如期完工，不符合题意；
方案三需付工程款：2.4×5+1.8×30＝66（万元）．
∵72＞66，
∴选择方案三．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系列式计算．
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