第5章 分式 练习题（含解析） 2021-2022学年浙江省各地浙教版数学七年级下册期末试题选编

第5章 分式
一、单选题
1．（2022春·浙江温州·七年级统考期末）当时，分式没有意义，则b的值为（ ）
A． B． C． D．3
2．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）若分式值为正数，则的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）分式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定
5．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）原来花100元能购买某种糖果千克，由于成本上涨，糖果涨价10%，那么涨价后花100元能买到糖果( ) 千克
A． B． C． D．
7．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）已知（且），，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）计算下列各式，值最大的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（　　）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米 C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
11．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）若关于x的方程＝3a有增根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
12．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）设，为实数，定义如下一种新运算：，若关于的方程无解，则的值是（ ）
A．4 B．－3 C．4或－3 D．4或3
13．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
14．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）在分式中，当_________时，分式有意义；当___________，分式的值为零．
15．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）若，则的值是______．
16．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）若表示一个整数，则整数x可取的个数有______个．
17．（2022春·浙江温州·七年级统考期末）计算：________．
18．（2022春·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为______（结果保留，球体积公式）．
19．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末），，等代数式，如果交换和的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式． 若关于，的分式是完美对称式，则：_________；若完美对称式满足：，且，则_________（用含的代数式表示）．
三、解答题
20．（2022春·浙江丽水·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
21．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）以下是圆圆计算的解答过程．
解：．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
22．（2022春·浙江衢州·七年级统考期末）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）；
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
23．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
24．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简． 过程如图所示：
(1)接力中，自己负责的一步出现错误的同学是_________；
(2)请你书写正确的化简过程，并在“，0，1”中选择一个合适的数代入求值．
25．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）先化简，再求值，从－2，﹣1，0，1中选取一个适合的数代入求值．
26．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，，．
(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
(2)将假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式为：，求、的值；并直接写出当为何值时，分式为正整数；
(3)自然数是的整数部分，则的数字和为______．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是）
27．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）计算：
(1)
(2)．
28．（2022春·浙江衢州·七年级统考期末）解方程：
29．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）（一）教材阅读：“解分式方程一定要验根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零，使分母为零的根我们说它是增根．”
（二）知识应用：
(1)小明说，方程无解，试通过解方程说明理由．
(2)m为何值时，方程有增根．
30．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）近年来，北仑春晓名优茶品屡获国际大奖，打响了茶叶区域品牌．甲茶叶店慕名来春晓进货，用4000元购进了A品牌茶叶若干盒，用8000元购进B品牌茶叶若干盒，所购B品牌茶叶比A品牌茶叶多5盒，且B品牌茶叶每盒进价是A品牌茶叶每盒进价的1.6倍．
(1)A，B两种品牌茶叶每盒进价分别为多少元？
(2)乙茶叶店计划用4800元购进A，B两种品牌茶叶试售，要求每种品牌茶叶至少购进1盒且刚好用完购茶款，请你设计进货方案．
31．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明．根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训．经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟．
(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？
(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班m人，8八年级有6个班，每班n人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m和n的值；
(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，有哪几种分装方案？
32．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）列方程解应用题：某商店将甲、乙、丙三种糖果混合而成什锦糖，并以糖的平均价格作为什锦糖的单价，若购买10千克甲种糖果和20千克乙种糖果共需费用650元，购买20千克甲种糖果和10千克乙种糖果共需费用700元．
(1)求甲、乙两种糖果的单价；
(2)设丙种糖果单价为15元千克，且甲、乙、丙三种糖果的重量之比为，若什锦糖的单价为20元千克，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】先将代入分式，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．
【详解】解：当，，
∵分式没有意义，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．
2．D
【分析】根据题意列出不等式即可求出答案；
【详解】解：由题意得，，所以，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的值，解题关键是列出正确的不等式．
3．C
【分析】将分式中，分子、分母同时乘以15，即可求解．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的性质，将分式的分子和分母同时乘以或者除以一个非零的实数，分式的大小不变．掌握分式的性质是解答本题的关键．
4．B
【分析】根据分式的基本性质对扩大后得到的分式进行化简即可求出答案．
【详解】解：将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，
得：，
即分式的值缩小3倍，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
5．D
【分析】根据最简分式的定义逐项判定即可．
【详解】解：A．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
D．是最简分式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查最简分式，分式的分子分母不含有公因式的分式叫最简分式．
6．A
【分析】先求出糖果原来的价格，再求出糖果涨价后的价格，由此即可得．
【详解】解：由题意得：糖果原来的价格为元/千克，
则糖果涨价后的价格为（元/千克），
所以涨价后花100元能买到糖果重量为（千克），
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的应用，正确列出各运算式子是解题关键．
7．A
【分析】直接利用异分母分式加减法的运算法则求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了异分母分式的加减，利用分式的基本性质对异分母分式进行通分是解题的关键．
8．A
【分析】根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数是一个循环，进而可得的值．
【详解】解：∵（且），
∴

∵2022÷3=674
∴
故选：A
【点睛】本题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关运算，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
9．C
【分析】利用同底数幂相乘及同底数幂相除的运算法则进行计算，然后再比较大小，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
∵，
∴的值最大．
故选：C．
【点睛】此题考查了同底数幂相乘及同底数幂相除的运算法则，解题关键是把底数不相同的化为相同，然后再根据对应运算法则进行计算．
10．D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000025=2.5×10-6．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．D
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣3＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
【详解】解：去分母，得：x﹣3a＝3a（x﹣3），
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程，可得：a＝1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．D
【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论．
【详解】解：∵，
∴，，
∴原方程为：，
去分母得：
ax=12+3x-9，
移项，合并同类项得：
（a-3）x=3，
解得：，
∵关于x的方程无解，
∴原方程有增根3或a-3=0，
∴或a-3=0，
解得：解得：a=4或a=3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并熟练应用是解题的关键．
13．D
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14．
【分析】要使分式有意义，则需要满足分式的分母不为零，即；要使分式的值为零，则需要满足分式的分子为零，分母不为零，即2x+1=0，．
【详解】解：分式有意义，则，即，
分式的值为零，则，解得
故答案为，
【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式的分母不为0时分式有意义，分式的分子为0分母不为0时，分式的值为0．
15．
【分析】根据已知可得x=y，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：∵2x=y，
∴x=y，
∴===，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
16．4
【分析】由原式为整数，x为整数确定出x可取的值个数即可．
【详解】解：∵为整数，
∴2x+3为1，3，
当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2；
当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4；
当2x+3=3，即x=0时，原式=0；
当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2．
∴x的值可取0，-1，-2，-3．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式的值，把原式化成是解题的关键．
17．
【分析】根据分式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．
【分析】由题意可知：小球的直径为2r，每个小球的体积为，计算小球的总数， 就可以算出小球的总体积，算出长方体纸盒的体积为；根据纸盒空间利用率为小球总体积与纸箱容积的比即可解答；
【详解】由题意可知：小球的直径为2r，每个小球的体积为：
沿长边摆放了个小球，沿宽摆放了 个小球；
所以小球的总数为：
所以小球的总体积为：
长方体纸盒的体积为：
所以纸盒空间 利用率为：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆，两圆相切的性质，如果两圆相切，那么连心线必经过切点，也考查了分式的运算．
19．
【分析】根据完美对称式的定义可得，化简即可得的值；将代入可得，从而可得，再根据平方根的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】解：由完美对称式的定义得：，
整理得：，
则，
解得，
将代入得：，
，
，
，
，
，
，
解得，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了分式的加减运算、平方根的性质，掌握理解完美对称式的定义是解题关键．
20．；2
【分析】先合并两个分式，再提公因式化简，最后把x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
21．有错误，正确过程见解析
【分析】应用分式的加减法则进行进行计算即可得出答案．
【详解】有错误．
解：，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则进行求解是解决本题的关键．
22．(1)，
(2)甲糖的单价较高，理由见解析
(3)方式二更合算
【分析】（1）根据单价=总价÷数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；
（2）根据作差法比较大小即可求解；
（3）由探究的结果进行分析即可．
【详解】（1）解：甲糖单价为：=（元），
乙糖单价为：=（元）；
（2）
∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成，
∴，
∴甲糖的单价较高．
（3）由探究可知方式一相当于甲种什锦糖，方式二相当于乙种什锦糖，
故选择方式二更合算．
【点睛】本题考查了列代数式（分式），分式的加减法.注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
23．
【分析】利用分式的混合运算法则，首先对括号里面的分式先通分化为同分母分式再加减，同时将除式的分子因式分解，再利用分式除法要乘以除式的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后利用的值代入其，即可得出结果．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解本题的关键在正确运用分式的混合运算进行化简．
分式的运算顺序：先乘方，再乘除，再加减（如果有括号先算括号里面的，再算括号外面的）
24．(1)甲
(2)计算过程见解析，当时，原式
【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解．
（2）根据分式化简求值，先化简分式，然后根据分式有意义的条件，取代入计算即可求解．
【详解】（1）解：甲同学出现错误，在计算括号内的减法时，应为，
故答案为：甲；
（2）解：原式＝
；
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
25．，选取，值为（或选取，值为1）
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选取合适的的值代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
∴，，
则选取时，原式，
选取时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
26．(1)
(2)m=-3，n=3；a=2或4．
(3)80
【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；
（2）将分子转化为（a2-a）-3（a-1）+3的形式，即可假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式；
（3）利用（1）和（2）方法，将化简转化即可．
【详解】（1）原式=；
（2）原式=，
∴m=-3，n=3，
∵分式为正整数，
∴为整数且a-3+＞0，
∴a=2或4．
（3）原式=
∴A=999 999 998，
所以A的数字和为80．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，读懂阅读材料中的方法并熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键．
27．(1)8
(2)-3
【分析】（1）先算有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算；
（2）先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后去括号合并同类项即可．
（1）
解：原式 ；
（2）
解：原式．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，完全平方公式，平方差公式以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
28．
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
29．(1)理由见解析
(2)m=1时方程有增根
【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母，把方程化为整式方程，解方程并检验方程的根即可；
（2）方程两边同时乘以最简公分母，把方程化为整式方程，然后根据增根的定义求出增根，把增根代入计算即可求解．
【详解】（1）解：去分母，得，
解得x=2
经检验：x=2是方程的增根，
所以原方程无解；
（2）解：去分母，得，
化简，得，
因为方程有增根，所以，
解得，m=1，
所以m=1时，方程有增根．
【点睛】本图主要考查了解分式方程和分式方程增根的定义，正确理解分式方程增根的定义是解题的关键．
30．(1)A品牌茶叶每盒进价为200元，B品牌茶叶每盒进价为320元；
(2)共有2种进货方案，方案1：购进16盒A品牌茶叶，5盒B品牌茶叶；方案2：购进8盒A品牌茶叶，10盒B品牌茶叶．
【分析】（1）设A品牌茶叶每盒进价为x元，则B品牌茶叶每盒进价为1.6x元，利用数量＝总价÷单价，结合用8000元购进B品牌茶叶的数量比用4000元购进了A品牌茶叶的数量多5盒，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出A品牌茶叶每盒的进价，再将其代入1.6x中即可求出B品牌茶叶每盒的进价；
（2）设购进m盒A品牌茶叶，n盒B品牌茶叶，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出进货方案．
【详解】（1）解：设A品牌茶叶每盒进价为x元，则B品牌茶叶每盒进价为1.6x元，
依题意得：，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴1.6x＝1.6×200＝320，
答：A品牌茶叶每盒进价为200元，B品牌茶叶每盒进价为320元；
（2）设购进m盒A品牌茶叶，n盒B品牌茶叶，
依题意得：200m＋320n＝4800，
∴m＝，
∵m、n均为正整数，
∴或，
∴共有2种进货方案，
方案1：购进16盒A品牌茶叶，5盒B品牌茶叶；
方案2：购进8盒A品牌茶叶，10盒B品牌茶叶．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
31．(1)甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；
(2)
(3)有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；
②3个10人试管，2个20人试管；
③1个10人试管，3个20人试管；
④7个10人试管，0个20人试管．
【分析】（1）可设乙速度为平均每分钟采集x人，甲为2x人，根据所用的时间可列出方程，解方程即可；
（2）根据题意列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可；
（3）设10人试管有x个，20人试管有y个，从而得到10x+20y=70，根据x与y都是正整数，从而可求解．
【详解】（1）解：设乙速度为平均每分钟采集x人，则甲为每分钟采集2x人，
依题意得：，
解得x=2，
2×2=4人，
经检验：x=2是方程的解且符合题意，
答：甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；
（2）解：依题意得：，
解得；
（3）解：设10人试管有x个，20人试管有y个，依题意得：
10x+20y=70，即x=7-2y，
则有：或或或，
有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；
②3个10人试管，2个20人试管；
③1个10人试管，3个20人试管；
④7个10人试管，0个20人试管．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
32．(1)甲、乙两种糖果的单价分别是25元千克、20元千克
(2)1
【分析】（1）设甲、乙两种糖果的单价分别是元千克、元千克，根据题意列二元一次方程组求解；
（2）根据题意列分式方程求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种糖果的单价分别是元千克、元千克，根据题意列方程组：
，
解方程组得，
答：甲、乙两种糖果的单价分别是25元千克、20元千克，
（2）根据题意可得分式方程：
，
解分式方程得，
经检验是分式方程的解．
答：若什锦糖的单价为20元千克，的值为1．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列得方程组或方程是解题的关键．