浙教版七年级下册期末复习第2章二元一次方程组好题精选60题（含解析）

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期末复习第2章二元一次方程组好题精选60题
一．选择题（共15小题）
1．在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则a+b的平方根为（　　）
A．±3 B．3 C．9 D．±9
2．已知关于x和y的方程组（k为常数），得到下列结论：
①无论k取何值，都有4x+y＝5；
②若k＝1，则（2x﹣1）y＝1；
③方程组有非负整数解时，k＝1；
④若x和y互为相反数，则k＝，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．某校劳动课学习制作娃娃和沙包，已知每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物．布料没有剩余，礼物也恰好成套．设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，则（　　）
A． B．
C． D．
4．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则下列结论正确的个数为（　　）
（1）a＝1，b＝2；
（2）若T（m，n）＝0，（n≠﹣2），则；
（3）若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解；
（4）若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去x，可以将①×5+②×2
B．要消去y，可以将①×5﹣②×3
C．要消去x，可以将①×5﹣②×2
D．要消去y，可以将①×2﹣②×3
6．已知是二元一次方程组的解，则6m+4n的立方根为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（　　）
A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm
8．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　）
A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米
9．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？（　　）
A．8尺 B．12尺 C．16尺 D．18尺
10．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（　　）
①；
②；
③3x+（100﹣x）＝100；
④y+3（100﹣y）＝100．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若小长方形的面积为S，长为x，宽为y，则（　　）
A．若x＝2，则S＝20 B．若y＝2，则S＝20
C．若x＝2y，则S＝10 D．若x＝4y，则S＝10
12．如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．33 B．76 C．264 D．340
13．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为14cm和6cm，如图所示，则图中阴影部分的总面积为（　　）
A．36cm2 B．44cm2 C．84cm2 D．96cm2
14．某药店以同样的价格卖出同样的口罩和酒精，以下是4天的记录：第1天，卖出13包口罩和7瓶酒精，收入222元；第2天，卖出18包口罩和11瓶酒精，收入327元；第3天，卖出7包口罩和11瓶酒精，收入228元；第4天，卖出23包口罩和20瓶酒精，收入468元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（　　）
A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天
15．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝﹣；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
二．填空题（共20小题）
16．已知方程组和有相同的解．则的值是 　 　．
17．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为，则关于x，y的方程组 的解为 　 　．
18．已知x，y满足则这个方程组的解为 　 　．
19．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝6，则k的值为 　 　．
20．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则y﹣x的值为 　 　．
21．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”
译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”
设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为 　 　．
22．甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则a+b＝　 　．
23．如图，为做好疫情防控，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，请根据图中信息，如果把这袋60个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为 　 　cm．
24．如图所示，大长方形中放入5张相同的小长方形，其中A、B、C在同一条直线上，若阴影部分的面积为48，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为 　 　．
25．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；④x，y的值都为自然数的解有3对．其中正确的是 　 　．（只填序号）
26．科技馆门票价格规定如表．
购票张数 1﹣50张 51﹣100张 100张以上
每张票的价格 15元 12元 10元
某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有 　 　人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 　 　元．
27．由方程3x﹣5y﹣6＝0可得到用x表示y的式子是 　 　．
28．在长方形ABCD中，放入6个形状，大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是 　 　cm2；若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积 　 　（填“有变化”或“不改变”）．
29．现有A，B，C，D，E五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．
（1）若取A，B卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 　 　．
（2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则取的两张卡片为 　 　．
30．如图所示，在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，则其中一个小长方形花圃的周长是 　 　m．
31．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 　 　．
32．在2022年的世界环境保护日的知识竞赛中，A校6人获一等奖，5人获二等奖，7人获三等奖，所获得奖品价值为1130元；B校获一等奖的人数比A校获二等奖的人数多60%，9人获二等奖，11人获三等奖，所获得的奖品价值为1730元；C校7人获一等奖，10人获二等奖，10人获三等奖；D校5人获一等奖，7人获二等奖，9人获三等奖．则C校和D校所获得的奖品价值之和为 　 　元．
33．2022年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩因其友好可爱、憨态可掬的形象倍受大家的喜爱．某商家抓住商机，购进一批冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩墩公仔销售．钥匙扣的进价最低，购进数量是挎包与公仔数量之和的2倍；公仔的进价最高，购进数量占挎包数量的．商家将这三种商品的进价标签混在一起，若随机抽出2个标签，求出进价和再乘以钥匙扣的数量，为24000元；若随机抽出2个标签，求出进价和再乘以挎包的数量，为33000元；若随机抽出2个标签，求出进价和再乘以公仔的数量，为12000元．老板将冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩墩公仔分别提价100%、50%、50%标价．实际销售时，为了促销，公仔的售价打八折，并且买一个公仔送2个钥匙扣，买一个挎包送1个钥匙扣，全部售完后，商家的利润率为 　 　．
34．临近中考，某文具店推出“任重”，“道远”，“行稳”三种礼盒，每种礼盒均装有铅笔，笔记本，书签三种文具．其中，“任重”礼盒装有3支铅笔，3个笔记本，5张书签，“道远”礼盒装有4支铅笔，4个笔记本，3张书签，“行稳“礼盒装有若干支铅笔，4个笔记本，2张书签，且每种礼盒的售价等于其所装文具的售价之和．每个“任重”礼盒售价为55元，每个“道远”礼盒售价不低于50元，不高于60元，每个“行稳”礼盒售价为59元．已知每种文具的售价均为整数，且每支铅笔的售价高于1元，不超过6元，则每个“行稳“礼盒中装有铅笔 　 　支．
35．如图，把三个大小相同的正方形甲，乙，丙放在边长为9的大正方形中，甲与丙的重叠部分面积记为S1，乙与丙的重叠部分面积记为S2，且均为正方形，正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为S3，若S1﹣S2＝2S3，且S3＝1，则图中阴影部分的面积为 　 　．
三．解答题（共25小题）
36．解下列方程（组）：
（1）2（x﹣1）2﹣18＝0；
（2）（用代入法）；
（3）；
（4）．
37．在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，求可购买绿萝和吊兰各多少盆．
38．阅读探索
解方程组
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可变为
解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（2）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 　 　．
39．张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 　 　张，长方形纸板 　 　张．
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
（3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且290＜a＜300．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．（直接写出答案）
40．为了丰富同学们的课余生活、拓展同学们的视野，学校书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，已知甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：
甲 乙
进价/（元/本） x y
售价/（元/本） 20 13
（1）求x，y的值；
（2）第二次学校书店购进了1000本甲书刊和500本乙书刊，为了扩大销量，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润为8500元，求甲书刊打了几折？
41．为丰富学生的课余生活，某中学计划购买若干篮球和足球．据了解，买6个篮球和10个足球需要1700元；买10个篮球和20个足球需要3100元．求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
42．甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍．
（1）求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？
（2）现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？
旅行社 团体优惠条件
A A成人全价购票，儿童可免费
B B成人8折购票，小孩半价购票
43．某中学为了改造劳动实践基地，需要2m和3m两种规格的钢管．从建材市场购回一根长17m的钢管，将其截成2m长x段，3m长y段．
（1）列出关于x，y的二元一次方程；
（2）应该怎么样截这一根钢管更好？
44．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1*1＝1，3 2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
45．已知，关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解：
（2）求（2a+b）2023的值．
46．如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨100元的原料运回工厂，制成每吨800元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），且这两次运输共支出公路运输费1500元，铁路运输费9720元．求：
（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
47．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品5件与购进乙种商品6件的进价相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共80件，所用资金为9000元．甲种商品在进价的基础上提高50%后标价，又以8折优惠售出；乙商品售出后，每件可获利30元，则甲、乙两种商品全部售出后共可获利多少元？
48．阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程：
解：①﹣②，2x+2y＝2即x+y＝1③
③×16，得16x﹣16y＝16④
②﹣④，得x＝﹣1．
把x＝﹣1，代入③，得﹣1+y＝1．解得y＝2．
所以原方程组的解为：．
（1）请仿照上面的方法解方程组：；
（2）请猜想关于x，y的方程组的解，并利用方程组的解加以验证．
49．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 　 　．
（2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（3）如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．
50．我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
（1）求甲、乙两人各带的钱数；
（2）若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
51．某校组织科技知识竞赛，共有25道选择题，各题分值相同．每题必答，答对得分，答错倒扣分．如表记录了5个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 25 0 100
B 24 1 94
C 23 2 88
D 19 6 64
E 15 10 40
（1）填空：每答对一道题得 　 　分，每答错一道题扣 　 　分．
（2）参赛者F说他得76分，他答对了多少道题？
（3）参赛者G说他得80分，你认为可能吗？为什么？
52．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
53．某企业A，B，C三个部门计划在甲，乙商家购买一批口罩和消毒液，口罩30元/盒，消毒液10元/瓶．甲，乙商家的销售优惠方式如下：
①甲商家：口罩和消毒液都是按8折销售；
②乙商家：买一盒口罩可送一瓶消毒液．
（1）A部门有10人，计划每人配置1盒口罩和2瓶消毒液．若A部门选择甲商家购买，则需要花费 　 　元．
（2）B部门选择了乙商家，共花费500元，已知购买消毒液的数量是口罩数量的2倍多2．请问B部门购买了多少盒口罩．
（3）C部门要购买15盒口罩和消毒液若干（超过15瓶），如果你是该部门负责人，且只能在甲，乙商家选其中一家购买，应该选择哪家才会更加划算，请说明理由．
54．2022年12月7日，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化落实新冠肺炎疫情防控措施的通知》，发布了优化落实疫情防控的新十条规定，疫情防控迎来新的转折点．为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个．医用口罩和N95口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系 　 　．
小明的妈妈一共有几种购买方案？
55．某校全面复学后，为奖励疫情上网课期间表现优秀的同学，老师安排李明购买奖品，图①，图②是李明买回奖品后与老师的对话情境：
根据上面的信息解决问题：试计算两种笔记本各买了多少本？
56．盲盒顾名思义就是盒子中放置不同的物品，消费者凭运气抽中商品，正是这种随机化的体验，让消费者产生消费欲望，成为当下最热门的营销方法之一．某葡萄酒酒庄为回馈新老客户，也推出了盲盒式营销．商家计划在每件盲盒中放入A，B两种类型的酒，共6瓶．销售人员先包装了甲、乙两种盲盒．甲盲盒中装了A种酒3瓶，B种酒3瓶；乙盲盒中装了A种酒1瓶，B种酒5瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件240元，乙盲盒的成本价为每件160元．
（1）A种酒和B种酒的成本价为每瓶多少元；
（2）商家为回馈新老客户，计划所有的盲盒售价都为每件299元，请你再直接写出一种盲盒装箱的方案（题中两种方案除外），使它的成本价不高于299元．
57．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150＜a＜171，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
58．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以，方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组．
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值．
59．已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数的解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．
60．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则a+b的平方根为（　　）
A．±3 B．3 C．9 D．±9
【分析】把代入②，可得﹣2+b＝6，据此可得b的值；把，代入①，可得﹣2a+3＝1，据此可得a的值，即可求出答案．
【解答】解：把代入②，可得﹣2+b＝6，
∴b＝8，
把，代入①，可得﹣2a+3＝1，
∴a＝1，
∴a+b＝9，
∴a+b的平方根为±3．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和平方根，能求出a、b的值是解答本题的关键．
2．已知关于x和y的方程组（k为常数），得到下列结论：
①无论k取何值，都有4x+y＝5；
②若k＝1，则（2x﹣1）y＝1；
③方程组有非负整数解时，k＝1；
④若x和y互为相反数，则k＝，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别根据二元一次方程组的解，二元一次方程的解以及解二元一次方程组判断即可．
【解答】解：方程组，
①+②×3得8x+2y＝10，即4x+y＝5，故①正确；
若k＝1，则，
解得，
∴（2x﹣1）y＝1，故②正确；
解方程组，得，
方程组有非负整数解时，有，
∴﹣1≤k≤1.5，
∴k＝﹣1或1，故③不正确；
若x和y互为相反数，则x+y＝0，
∴﹣2k+3＝0，
∴k＝，故④正确．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．某校劳动课学习制作娃娃和沙包，已知每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物．布料没有剩余，礼物也恰好成套．设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，则（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则下列结论正确的个数为（　　）
（1）a＝1，b＝2；
（2）若T（m，n）＝0，（n≠﹣2），则；
（3）若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解；
（4）若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由题意联立方程组，求出a、b的值，即可确定（1）正确；由已知，得到mn+2m﹣4＝0，求出m即可确定（2）正确；根据n+2＝±1，n+2＝±2，n+2＝±4，可求m、n的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，得到2k（x﹣y）＝0，由对任意有理数x、y都成立，则k＝0，即可 确定（4）不正确．
【解答】解：∵T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，
∴，
解得，故（1）正确；
∵T（m，n）＝0，
∴mn+2m﹣4＝0，
∵n≠﹣2，
∴，故（2）正确；
∵T（m，n）＝0，
∴mn+2m﹣4＝0，
当n＝﹣2时，则﹣4＝0不成立，
∴n≠﹣2，
∴，
∵m、n都是整数，
∴n+2＝±4或n+2＝±2或n+2＝±1，
∴n＝2或﹣6或0或﹣4或﹣1或﹣3，
∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误；
∵T（kx，y）＝T（ky，x），
∴kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，
∴2kx﹣2ky＝0，
∴2k（x﹣y）＝0，
∵T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，
∴k＝0，故（4）错误．
综上：正确的有①②．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．
5．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去x，可以将①×5+②×2
B．要消去y，可以将①×5﹣②×3
C．要消去x，可以将①×5﹣②×2
D．要消去y，可以将①×2﹣②×3
【分析】利用消元法一一判断即可．
【解答】解：要消去x，可以将①×5﹣②×2，
可得15y+4y＝30﹣18，
可得y＝．
故选：C．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握消元法解方程组，属于中考常考题型．
6．已知是二元一次方程组的解，则6m+4n的立方根为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】把方程组的解代入方程组，得到关于m、n的二元一次方程组，先求出m、n，再求出6m+4n的立方根．
【解答】解：把代入二元一次方程组得，
解这个方程组，得．
∴6m+4n
＝6×8+4×4
＝48+16
＝64．
∴＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组，理解方程组的解及二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
7．如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（　　）
A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm
【分析】根据两个图形分别可得a+x＝b+90，b+x＝a+60，联立方程组求解即可．
【解答】解：由题意得：，
①+②得：a+b+2x＝a+b+150，
解得：x＝75，
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
8．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　）
A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米
【分析】设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，
根据题意得：，
解得：，
则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米），
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？（　　）
A．8尺 B．12尺 C．16尺 D．18尺
【分析】设绳长为x尺，井深为y尺，根据等量关系：①绳长的﹣井深＝4尺；②绳长的﹣井深＝1尺；列出方程组求解即可．
【解答】解：设绳长是x尺，井深是y尺，
依题意得：，
解得：，
即井深是8尺．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（　　）
①；
②；
③3x+（100﹣x）＝100；
④y+3（100﹣y）＝100．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据100个和尚分100个馒头且大和尚1人分3个馒头、小和尚3人分一个馒头，即可得出关于x，y的二元一次方程组，变形后可得出3x+（100﹣x）＝100或y+3（100﹣y）＝100，此题得解．
【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
依题意，得：；
∴y＝100﹣x，
∴3x+（100﹣x）＝100或y+3（100﹣y）＝100．
∴②③④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或一元一次方程）是解题的关键．
11．如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若小长方形的面积为S，长为x，宽为y，则（　　）
A．若x＝2，则S＝20 B．若y＝2，则S＝20
C．若x＝2y，则S＝10 D．若x＝4y，则S＝10
【分析】由长方形的性质得2x+5y＝30，再分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵长方形ABCD的周长为60，
∴AB+AD＝30，
由题意得：x+2y+x+3y＝30，
即2x+5y＝30，
A、若x＝2时，则y＝，
∴S＝xy＝，故选项A不符合题意；
B、若y＝2时，则x＝10，
∴S＝xy＝20，故选项B符合题意；
C、若x＝2y，则4y+5y＝30，
解得：y＝，
∴x＝，
∴S＝xy＝，故选项C不符合题意；
D、若x＝4y，则8y+5y＝30，
解得：y＝，
∴x＝，
∴S＝xy＝，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，在各个条件下求出x、y、S的值是解题的关键．
12．如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．33 B．76 C．264 D．340
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长为20，宽的两种不同表达方式列出方程组，解方程组得出小长方形的长和宽，即可解决问题．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
由题意得：，
解得：，
∴S阴影＝20×（8+3×3）﹣8×11×3＝340﹣264＝76．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为14cm和6cm，如图所示，则图中阴影部分的总面积为（　　）
A．36cm2 B．44cm2 C．84cm2 D．96cm2
【分析】设小长方形的长为xcm，小长方形的宽为ycm，观察图形数量关系列出二元一次方程组，解之得出x、y的值，再利用阴影部分总面积＝长方形ABCD的面积﹣6个小长方形的面积，即可得出结论．
【解答】解：设小长方形的长为xcm，小长方形的宽为ycm，
依题意，得：，
解得：，
∴14（6+2y）﹣6xy＝14×（6+2×2）﹣6×8×2＝44，
即则图中阴影部分的总面积为44cm2，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．某药店以同样的价格卖出同样的口罩和酒精，以下是4天的记录：第1天，卖出13包口罩和7瓶酒精，收入222元；第2天，卖出18包口罩和11瓶酒精，收入327元；第3天，卖出7包口罩和11瓶酒精，收入228元；第4天，卖出23包口罩和20瓶酒精，收入468元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（　　）
A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天
【分析】设口罩的单价为x元，牙膏的单价为y元，当第1天、第2天的记录无误时，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再代入第3天及第4天的数据中验证即可得出结论（若3，4天的结果均不对，则1，2天中的数据有误，以3，4天的数据列出方程组求出牙刷和牙膏的单价，再代入1，2天的数据中验证即可）．
【解答】解：设牙刷的单价为x元，酒精的单价为y元，
当第1天、第2天的记录无误时，依题意得：
，解得：，
∴7x+11y＝7×9+11×15＝228（元），23x+20y＝23×9+20×15＝507（元）．
又∵507≠468，
∴第4天的记录有误．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝﹣；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【分析】根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a，
①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，
②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案，
③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，
④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系，
【解答】解：关于x，y的二元一次方程组，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，
当a＝1时，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确，
（3）方程组，解得，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正确的，
（4）方程组，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
即；y＝﹣+
因此④是正确的，
故选：D．
【点评】考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．
二．填空题（共20小题）
16．已知方程组和有相同的解．则的值是 　﹣1　．
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出所求．
【解答】解：联立得：，
①+②得：6x＝6，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得1﹣2y＝3，
解得：y＝﹣1，
把代入原方程组得：，
解得：，
∴＝3﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
17．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为，则关于x，y的方程组 的解为 　　．
【分析】首先把关于x，y的方程组 的化为，再根据关于x，y的二元一次方程组解为，得出，解出即可．
【解答】解：方程组 的化为，
∵关于x，y的二元一次方程组解为，
∴，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，其中方程的转化是解题关键．
18．已知x，y满足则这个方程组的解为 　　．
【分析】两式相减得新方程③，再利用加减消元法比较简便．
【解答】解：，
①﹣②，得x+y＝1③．
①﹣③×100，得x＝﹣1．
把x＝﹣1代入③，得y＝2．
∴原方程的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解决本题的关键．
19．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝6，则k的值为 　　．
【分析】求得原方程组的解，再将方程组的解代入x﹣y＝6，得到关于k的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：，
①﹣②×3得：
16y＝6k﹣63，
∴y＝，
①×5+②得：
16x＝14k+21，
∴x＝，
∴原方程组的解为：．
∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝6，
∴，
∴k＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
20．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则y﹣x的值为 　﹣1　．
【分析】根据题意和表格中的数据，每一行的三个数、每列的三个数的三个数之和都相等列出方程，即可解决问题．
【解答】解：由题意可得，
y+3＝x+2，
∴y﹣x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
21．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”
译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”
设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为 　　．
【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝48文钱，乙的钱+甲所有钱的＝48文钱，据此列方程组可得．
【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
根据题意，得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
22．甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则a+b＝　4　．
【分析】由题意将代入②中，代入①中，可求a、b的值，再将所求值代入即可．
【解答】解：依题意，将代入②中，代入①中得，
∴，
解得，
∴a+b＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与方程的关系是解题的关键．
23．如图，为做好疫情防控，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，请根据图中信息，如果把这袋60个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为 　67　cm．
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度+2个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝10，单独一个纸杯的高度+7个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝15．根据这两个等量关系可列出方程组．
【解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则，
解得，
则59x+y＝59×1+8＝67．
答：把60个纸杯整齐地叠放在一起时的高度约是67cm．
【点评】本题以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，这是近年来比较流行的一种命题形式，主要考查信息的收集、处理能力．本题易错点是误把9cm当作3个纸杯的高度，把14cm当作8个纸杯的高度．
24．如图所示，大长方形中放入5张相同的小长方形，其中A、B、C在同一条直线上，若阴影部分的面积为48，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为 　6　．
【分析】根据“阴影部分的面积为48，大长方形的周长为36”，即可得出关于x，y的方程组，利用（①2﹣②）÷2，可求出一张小长方形的面积．
【解答】解：依题意得：
，
即，
（①2﹣②）÷2，得：ab＝6．
∴一张小长方形的面积为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及二元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
25．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；④x，y的值都为自然数的解有3对．其中正确的是 　①②③　．（只填序号）
【分析】求得二元一次方程组的解，再利用方程组解答意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为：．
当a＝3时，关于x，y的方程组的解为：，
∴①的结论正确；
∵x+y＝＝3，
∴无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数，
∴②的结论正确；
∵当a＝1时，x+y＝3，
∴当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解，
∴③的结论正确；
∵x，y的值都为自然数的解有，，，，共4对，
∴④的结论不正确．
综上，正确的是：①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组是解法是解题的关键．
26．科技馆门票价格规定如表．
购票张数 1﹣50张 51﹣100张 100张以上
每张票的价格 15元 12元 10元
某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有 　56　人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 　347　元．
【分析】设七年级②班有x人，七年级①班有y人，由题意：七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元，列出方程组，解方程组即可，再求出购买103张票的总钱数，即可求解．
【解答】解：设七年级②班有x人，七年级①班有y人，
由题意得：，
解得：，
∴七年级②班有56人，
1377﹣10×103＝347（元）．
即如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省347元，
故答案为：56，347．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
27．由方程3x﹣5y﹣6＝0可得到用x表示y的式子是 　y＝　．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【解答】解：方程3x﹣5y﹣6＝0，
移项得，﹣5y＝6﹣3x，
y的系数化为1得：y＝．
故答案为：y＝．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
28．在长方形ABCD中，放入6个形状，大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是 　72　cm2；若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积 　不改变　（填“有变化”或“不改变”）．
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，利用长方形的对边相等，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论．
【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
∴图中阴影部分面积为16×（8+2y）﹣6xy＝72（cm2）．
无论怎么平移这六个长方形，阴影部分的面积均为16×（8+2y）﹣6xy＝72（cm2）．
故答案为：72cm2；不改变．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
29．现有A，B，C，D，E五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．
（1）若取A，B卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 　　．
（2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则取的两张卡片为 　B和C　．
【分析】（1）由已知得方程组为，解方程组即可；
（2）根据二元一次方程组的解为，可得x﹣y＝1，3x﹣2y＝﹣5，即可判断出答案．
【解答】解：（1）由已知得方程组为，
①+②得2x＝10，
解得x＝5，
把x＝5代入①得，5+y＝9，
解得y＝4，
∴方程组的解为；
故答案为：；
（2）∵二元一次方程组的解为，
∴x﹣y＝1，3x﹣2y＝﹣5，
∴取的两张卡片为B和C．
故答案为：B和C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练会解二元一次方程组是解题的关键．
30．如图所示，在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，则其中一个小长方形花圃的周长是 　12　m．
【分析】设小长方形的长为xm，宽为ym，由题意：小长方形的2个长+一个宽＝10m，小长方形的2个宽+一个长＝8m，列出方程组，解方程组，即可得答案．
【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym，
依题意得：，
解得：，
则小长方形的周长为2（x+y）＝2×（4+2）＝12（m），
故答案为：12．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
31．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 　　．
【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺可知：绳子比木条长5尺得：y﹣x＝5；绳子对折再量木条，木条剩余2尺可知：绳子对折后比木条短2尺得：；组成方程组即可．
【解答】解：根据题意得：；
故答案为：．
【点评】本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．
32．在2022年的世界环境保护日的知识竞赛中，A校6人获一等奖，5人获二等奖，7人获三等奖，所获得奖品价值为1130元；B校获一等奖的人数比A校获二等奖的人数多60%，9人获二等奖，11人获三等奖，所获得的奖品价值为1730元；C校7人获一等奖，10人获二等奖，10人获三等奖；D校5人获一等奖，7人获二等奖，9人获三等奖．则C校和D校所获得的奖品价值之和为 　2930　元．
【分析】先设出三种奖品的单价，然后根据A校和B校列出方程组，然后变形作差，再根据C校和D校，写出它们的总价值，与前面建立关系，从而可以得到C校和D校所获得的奖品价值之和．
【解答】解：设每个一等奖奖品的价值为x元，每个二等奖奖品的价值为y元，每个三等奖奖品的价值为z元，
由A校和B校可得：，
②﹣①，得：2x+4y+4z＝600③，
③×3+①，得：（6x+12y+12z）+（6x+5y+7z）＝12x+17y+19z，
∴12x+17y+19z＝600×3+1130＝1800+1130＝2930，
∵C校和D校所获得的奖品价值之和为：（7x+10y+10z）+（5x+7y+9z）＝12x+17y+19z，
∴C校和D校所获得的奖品价值之和为2930元，
故答案为：2930．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组，灵活变形，求出C校和D校所获得的奖品价值之和．
33．2022年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩因其友好可爱、憨态可掬的形象倍受大家的喜爱．某商家抓住商机，购进一批冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩墩公仔销售．钥匙扣的进价最低，购进数量是挎包与公仔数量之和的2倍；公仔的进价最高，购进数量占挎包数量的．商家将这三种商品的进价标签混在一起，若随机抽出2个标签，求出进价和再乘以钥匙扣的数量，为24000元；若随机抽出2个标签，求出进价和再乘以挎包的数量，为33000元；若随机抽出2个标签，求出进价和再乘以公仔的数量，为12000元．老板将冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩墩公仔分别提价100%、50%、50%标价．实际销售时，为了促销，公仔的售价打八折，并且买一个公仔送2个钥匙扣，买一个挎包送1个钥匙扣，全部售完后，商家的利润率为 　12.5%　．
【分析】设购买挎包的数量为a个，冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩敦公仔的进价每个分别为x元，y元，z元，列方程组，解关于x，y，z的方程组，然后分别求出总售价和总进价，得出利润率．
【解答】解：设购买挎包的数量为a个，则冰墩墩公仔a个，冰墩墩钥匙扣a个，
设冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩敦公仔的进价每个分别为x元，y元，z元，（x＜y＜z），
根据三次抽签知，任意两个进价之和分别为：＝元，元，＝元，
结合x＜y＜z，则有，
解得．
故总售价为：80%（1+50%）a+（1+50%） a+（1+100%） （a﹣a﹣a）＝12000+9000+6000＝27000（元），
总进价为：a+ a+ a＝24000（元），
故利润率为：×100%＝12.5%．
故答案为：12.5%．
【点评】本题主要考查三元一次方程组的应用，解决问题的关键是找出满足题意的等量关系找出方程组，难点是根据x，y，z大小结合和的大小确定对应关系．
34．临近中考，某文具店推出“任重”，“道远”，“行稳”三种礼盒，每种礼盒均装有铅笔，笔记本，书签三种文具．其中，“任重”礼盒装有3支铅笔，3个笔记本，5张书签，“道远”礼盒装有4支铅笔，4个笔记本，3张书签，“行稳“礼盒装有若干支铅笔，4个笔记本，2张书签，且每种礼盒的售价等于其所装文具的售价之和．每个“任重”礼盒售价为55元，每个“道远”礼盒售价不低于50元，不高于60元，每个“行稳”礼盒售价为59元．已知每种文具的售价均为整数，且每支铅笔的售价高于1元，不超过6元，则每个“行稳“礼盒中装有铅笔 　7　支．
【分析】设每个“行稳”礼盒中铅笔有x支，1支铅笔的售价为a元，1个笔记本的售价为b元，1张书签的售价为c元，可得3a+3b+5c＝55①，50≤4a+4b+3c≤60②，xa+4b+2c＝59③，依此可得，再根据每种文具的售价均为整数，可得c＝10，依此将③变形得到（x﹣a）a＝9，再根据每铅笔的售价高于1元，不超过6元，x为正整数，可得a＝6，x＝9，从而求解．
【解答】解：设每个“行稳”礼盒中铅笔有x支，1支铅笔的售价为a元，1本笔记本的售价为b元，1张书签的售价为c元，
依题意有：
3a+3b+5c＝55①，
50≤4a+4b+3c≤60②，
xa+4b+2c＝59③，
①×4可得12a+12b+20c＝220，
②×3得150≤12a+12b+9c≤180，
则150≤220﹣11c≤180，
解得，，
∵每种文具的售价均为整数，
∴c＝4或5或6，
当c＝4时，3a+3b+20＝55，则a+b＝（不合题意舍去）；
当c＝5时，3a+3b+25＝55，则a+b＝10；
当c＝6时，3a+3b+30＝55，则a+b＝（不合题意舍去），
则③可变形为xa+4b+10＝59，即xa+4b＝49，
则xa+4（10﹣a）＝49，
（x﹣4）a＝9，
∵每铅笔的售价高于1元，不超过6元，
∴1＜a≤6，
∵x为正整数，
∴a＝3，x＝7．
故每个“行稳”礼盒中铅笔有7支．
故答案为：7．
【点评】本题考查了三元一次方程应用类问题，解决本题的关键是求出1张书签的售价．
35．如图，把三个大小相同的正方形甲，乙，丙放在边长为9的大正方形中，甲与丙的重叠部分面积记为S1，乙与丙的重叠部分面积记为S2，且均为正方形，正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为S3，若S1﹣S2＝2S3，且S3＝1，则图中阴影部分的面积为 　　．
【分析】设正方形甲，乙，丙的边长为a，由正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为S3，且S3＝1，大正方形边长为9，推出2a+1＝9，解得a＝4，设正方形S1，S2的边长为x，y，从而得到x+y+1＝4，即x+y＝3①，再由S1﹣S2＝2S3，得x2﹣y2＝2，利用平方差公式可求得x﹣y＝②，再利用完全平方公式得x2+2xy+y2＝9，x2﹣2xy+y2＝，则4xy＝，即得xy＝，最后根据阴影部分正方形的面积（x+1）（y+1）﹣S3＝xy+x+y+1﹣1，代入数据计算即可求解．
【解答】解：设正方形甲，乙，丙的边长为a，
∵正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为S3，且S3＝1，大正方形边长为9，
∴2a+1＝9，
解得a＝4．
设正方形S1，S2的边长为x，y，
∴x+y+1＝4，即x+y＝3①，
又∵S1﹣S2＝2S3，
∴x2﹣y2＝2，即（x+y）（x﹣y）＝2，
∴x﹣y＝②，
由①得：x2+2xy+y2＝9，
由②得：x2﹣2xy+y2＝，
∴4xy＝，
∴xy＝，
∴S阴影＝（x+1）（y+1）﹣S3＝xy+x+y+1﹣1＝+3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，正方形的性质，完全平方公式，关键是能结合图形列出方程．
三．解答题（共25小题）
36．解下列方程（组）：
（1）2（x﹣1）2﹣18＝0；
（2）（用代入法）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可得出答案；
（2）利用代入法求解即可；
（3）利用加减消元法求解即可；
（4）利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）2（x﹣1）2﹣18＝0，
（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2），
由①得：y＝x﹣4③，
将③代入②得：4x+2（x﹣4）＝﹣1，
解得：x＝，
把x＝代入③得：y＝﹣，
∴方程组的解为；
（3）方程组整理得，
②﹣①得5（x﹣y）＝15，即x﹣y＝3③，
①+②×4得15（x+y）＝15，即x+y＝1④，
③+④得2x＝4，即x＝2，
把x＝2代入④得y＝﹣1，
∴方程组的解为；
（4），
②﹣①得：3x+3y＝3，即x+y＝1④，
③﹣①得：24x+6y＝60，即4x+y＝10⑤，
⑤﹣④得：3x＝9，即x＝3，
把x＝3代入④得y＝﹣2，
把x＝3，y＝﹣2代入①得z＝﹣5，
∴方程组的解为．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程以及二元一次方程组、三元一次方程组，根据题目的结构特点选择适当的方法，进行降次解方程是本题的关键．
37．在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，求可购买绿萝和吊兰各多少盆．
【分析】设可购买绿萝x盆，吊兰y盆，由题意：计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆．采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设可购买绿萝x盆，吊兰y盆，
依题意得：，
解得：，
答：可购买绿萝38盆，吊兰8盆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
38．阅读探索
解方程组
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可变为
解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（2）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 　　．
【分析】（1）设＝x，＝y，可得出关于x、y的方程组，即可求出x、y的值，进而可求出a、b的值；
（2）设5（m+3）＝x，3（n﹣2）＝y，根据已知方程组的解确定出m、n的值即可．
【解答】解：（1）设＝x，＝y，
原方程组可变形为，
解得：，即，
解得：；
（2）设5（m+3）＝x，3（n﹣2）＝y，
原方程组可变形为：，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键．
39．张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 　5　张，长方形纸板 　10　张．
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
（3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且290＜a＜300．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．（直接写出答案）
【分析】（1）由一个竖式无盖纸盒需要1个正方形纸板、4个长方形纸板，一个横式无盖纸盒需要2个正方形纸板、3个长方形纸板，可求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，所需长方形及正方形纸板数量；
（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据共用162张正方形纸板及338张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，根据所用长方形纸板数＝4×竖式无盖纸盒数+3×横式无盖纸盒数，可得出a关于m的等式，结合a，m为正整数及290＜a＜300，可找出a的所有可能值．
【解答】解：（1）根据图中所给1个竖式无盖纸盒构成：4个长方形侧面和1个正方形底面可知，需要1个正方形纸板（底面）和4个长方形纸板（侧面）；
根据图中所给1个横式无盖纸盒构成：2个正方形侧面+2个长方形侧面+一个长方形底面可知，需要2个正方形纸板（侧面）和3个长方形纸板（侧面和底面）；
综上所述，做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板1+2×2＝5张，长方形纸板4+2×3＝10张，
故答案为：5，10；
（2）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，
根据题意得：，
解得：，
∴加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完，
答：加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，
由题意得：，
化简得：，
∵290＜a＜300，且a、m为整数，
∴，即18.8＜m＜22.8，
∴满足题意的m有19，20，21，22，
∴使为整数的m取值是：20，22，
∴a的所有可能值是：293，298．
【点评】本题考查实际应用题，涉及到立体图形的侧面展开、二元一次方程组应用和不等式组的应用，根据题意准确找到等量关系是解决问题的关键．
40．为了丰富同学们的课余生活、拓展同学们的视野，学校书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，已知甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：
甲 乙
进价/（元/本） x y
售价/（元/本） 20 13
（1）求x，y的值；
（2）第二次学校书店购进了1000本甲书刊和500本乙书刊，为了扩大销量，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润为8500元，求甲书刊打了几折？
【分析】（1）由题意：甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设甲书刊打了m折，由题意：全部售完后总利润为8500元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】（1）由题意得：，
解得：，
答：x＝10，y＝8；
（2）由题意得：两类书刊进价共为（1000×10+500×8）＝14000（元），
设甲书刊打了m折，
则两类书刊售价为：1000×20×0.1m+500×13＝2000m+6500（元），
由题意得：2000m+6500﹣14000＝8500，
解得：m＝8，
答：甲书刊打了8折．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
41．为丰富学生的课余生活，某中学计划购买若干篮球和足球．据了解，买6个篮球和10个足球需要1700元；买10个篮球和20个足球需要3100元．求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
【分析】设每个篮球的价格是x元，每个足球的价格是y元，由题意：买6个篮球和10个足球需要1700元；买10个篮球和20个足球需要3100元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设每个篮球的价格是x元，每个足球的价格是y元，
由题意得：，
解得：，
答：每个篮球的价格是150元，每个足球的价格是80元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
42．甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍．
（1）求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？
（2）现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？
旅行社 团体优惠条件
A A成人全价购票，儿童可免费
B B成人8折购票，小孩半价购票
【分析】解：（1）设甲家庭的人数有x人，乙家庭的人数有y人，由题意：甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设两个家庭共有m名儿童，则两个家庭共有（20﹣m）名成人，求出A旅行社的费用为200（20﹣m）元，B旅行社的费用为（3200﹣100m）元，再分情况讨论即可．
【解答】解：（1）设甲家庭的人数有x人，乙家庭的人数有y人，
由题意得：，
解得：，
答：甲家庭的人数有12人，乙家庭的人数有8人；
（2）由（1）可知，x+y＝20，设两个家庭共有m名儿童，则两个家庭共有（20﹣m）名成人，
由题意可知，A旅行社的费用为：200（20﹣m）元，B旅行社的费用为：0.8×200（20﹣m）+0.5×120m＝（3200﹣100m）元，
当200（20﹣m）＞3200﹣100m时，m＜8；
当200（20﹣m）＝3200﹣100m时，m＝8；
当200（20﹣m）＜3200﹣100m时，m＞8；
综上所述，儿童少于8人时，选择B旅行社支付旅游费用较少；儿童为8人时，选择A旅行社和B旅行社支付旅游费用相同；儿童多于8人时，选择A旅行社支付旅游费用较少．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
43．某中学为了改造劳动实践基地，需要2m和3m两种规格的钢管．从建材市场购回一根长17m的钢管，将其截成2m长x段，3m长y段．
（1）列出关于x，y的二元一次方程；
（2）应该怎么样截这一根钢管更好？
【分析】（1）根据2m长和3m长的钢管的总长度等于17m，即可求解；
（2）根据x，y都是正整数，分别把x＝1，2，3，4，5，6，7代入（1）中方程，即可求解．
【解答】解：（1）2m长x段，3m长y段，根据题意得：2x+3y＝17；
（2）∵x，y都是正整数，
当x＝1时，y＝5，符合题意；
当x＝2时，，不符合题意；
当x＝3时，，不符合题意；
当x＝4时，y＝3，符合题意；
当x＝5时，，不符合题意；
当x＝6时，，不符合题意；
当x＝7时，y＝1，符合题意；
∴符合条件的解为：，，．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．
44．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1*1＝1，3 2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝5求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，
解得：；
（2）依题意得，
解得：，
∵x+y＝5，
∴m+1+3m+2＝5，
解得：m＝；
（3）由题意得：的解为，
由方程组得：，
即，
解得：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
45．已知，关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解：
（2）求（2a+b）2023的值．
【分析】（1）根据题意联立，求出x，y的值；
（2）把代入中进行计算，求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
①+②得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4+5y＝﹣26，
解得：y＝﹣6，
原方程组的解为：，
∴这两个方程组的解为：；
（2）把代入中可得：，
化简得：，
①×3得：3a+9b＝﹣6③，
②+③得：10b＝﹣10，
解得：b＝﹣1，
把b＝﹣1代入②得：﹣1﹣3a＝﹣4，
解得：a＝1，
∴（2a+b）2023
＝（2﹣1）2023
＝12023
＝1，
∴（2a+b）2023的值为1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握同解方程组是解题的关键．
46．如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨100元的原料运回工厂，制成每吨800元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），且这两次运输共支出公路运输费1500元，铁路运输费9720元．求：
（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【分析】（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，利用题中两个等量关系，列出关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解，得到x与y的值，即可得到该工厂从A地购买原料的吨数以及制成运往B地的产品的吨数．
（2）根据（1）的结论，列式进行计算即可求解．
【解答】解：（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，
依题意得：，
∴方程组的解为：．
答：工厂从A地购买了40吨原料，制成运往B地的产品30吨．
（2）依题意得：30×800﹣40×100﹣1500﹣9720＝8780（元），
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多8780元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
47．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品5件与购进乙种商品6件的进价相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共80件，所用资金为9000元．甲种商品在进价的基础上提高50%后标价，又以8折优惠售出；乙商品售出后，每件可获利30元，则甲、乙两种商品全部售出后共可获利多少元？
【分析】（1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，由题意：甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品5件与购进乙种商品6件的进价相同．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）可设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品（80﹣m）件，根据所用资金恰好为9000元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数，即可解决问题．
【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种商品每件的进价是120元，乙种商品每件的进价是100元；
（2）设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品（80﹣m）件，
依题意得：120m+100（80﹣m）＝9000，
解得：m＝50，
则80﹣m＝80﹣50＝30，
∴120×（1+50%）×0.8×50﹣120×50+30×30＝2100（元），
答：甲、乙两种商品全部售出后共可获利2100元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
48．阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程：
解：①﹣②，2x+2y＝2即x+y＝1③
③×16，得16x﹣16y＝16④
②﹣④，得x＝﹣1．
把x＝﹣1，代入③，得﹣1+y＝1．解得y＝2．
所以原方程组的解为：．
（1）请仿照上面的方法解方程组：；
（2）请猜想关于x，y的方程组的解，并利用方程组的解加以验证．
【分析】（1）仿照题干的方法求解即可；
（2）根据题干和（1）中的结果直接猜测即可．
【解答】解：（1），
由①﹣②得：2x+2y＝2，即x+y＝1③，
③×2019得：2019x+2019y＝2019④，
②﹣④得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入③得：﹣1+y＝1，
解得：y＝2，
∴原方程组的解是．
（2）根据题干和（1）的结果，
猜测方程组：（a≠b）的解是，
验证：将代入方程（a+2）x+（a+1）y＝a，
左边＝a+（﹣2）+2a+2＝a，
所以左边＝右边，
将代入方程（b+2）x+（b+1）y＝b，
同理可得左边＝右边，
∴此方程组的解是：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组：利用代入法或加减消元法把二元一次方程转化为一元一次方程求解，类比运用题干的方法是解题的关键．
49．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 　．　．
（2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（3）如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．
【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解；
（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；
（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【解答】解：（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，
则，
故答案为：．
（2）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，
根据题意得，，
解得：，
∵，
∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．
（3）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，
根据题意得：，
解得：，
∴公司共需万元，乙公司共需万元，
∵4万元＜6万元，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
50．我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
（1）求甲、乙两人各带的钱数；
（2）若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
【分析】（1）设甲有钱x，乙有钱y，根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，列二元一次方程组，求解即可；
（2）分别求出单独购买和合起来购买的数量，进一步求解即可．
【解答】解：（1）设甲有钱x，乙有钱y，
根据题意，得，
解得，
答：甲有钱37.5，乙有钱25；
（2）37.5÷2.5+25÷2.5＝25（本），
（37.5+25）÷（2.5×0.8）＝31.25，取正整数31本，
31﹣25＝6（本），
答：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键．
51．某校组织科技知识竞赛，共有25道选择题，各题分值相同．每题必答，答对得分，答错倒扣分．如表记录了5个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 25 0 100
B 24 1 94
C 23 2 88
D 19 6 64
E 15 10 40
（1）填空：每答对一道题得 　4　分，每答错一道题扣 　2　分．
（2）参赛者F说他得76分，他答对了多少道题？
（3）参赛者G说他得80分，你认为可能吗？为什么？
【分析】（1）从参赛者A的得分可以求出答对一题的得分＝总分÷全答对的题数，再由B同学的成绩就可以得出答错一题的得分；
（2）设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝76分建立方程求出其解即可；
（3）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，根据答对的得分+答错的得分＝80分建立方程求出其解即可，注意y要为整数．
【解答】解：（1）由题意，得，
答对一题的得分是：100÷25＝4（分），
答错一题的扣分为：24×4﹣94＝2（分）．
故答案为：4，2；
（2）设参赛者答对了x道题，答错了（25﹣x）道题，由题意得：
4x﹣2（25﹣x）＝76，
∴4x﹣50+2x＝76，
∴x＝21．
答：参赛者得76分，他答对了21道题；
（3）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了（25﹣y）道题，
由题意得4y﹣2（25﹣y）＝80，
∴4y﹣50+2y＝80，
∴y＝，
∵y为整数，
∴参赛者说他得80分，是不可能的．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出等式是解题的关键．
52．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据“2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设招聘y名新工人，根据招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，即可得出关于y，n的二元一次方程，结合0＜n＜5且n，y均为正整数，即可得出各招聘方案；
【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，
由题意得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）设招聘y名新工人，
依题意得：12（2y+4n）＝288，
∴y＝12﹣2n．
∵0＜n＜5，且n，y均为正整数，
∴ 或或或，
∴工厂有4种新工人的招聘方案，方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；
方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；
方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；
方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的整数解，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；
53．某企业A，B，C三个部门计划在甲，乙商家购买一批口罩和消毒液，口罩30元/盒，消毒液10元/瓶．甲，乙商家的销售优惠方式如下：
①甲商家：口罩和消毒液都是按8折销售；
②乙商家：买一盒口罩可送一瓶消毒液．
（1）A部门有10人，计划每人配置1盒口罩和2瓶消毒液．若A部门选择甲商家购买，则需要花费 　400　元．
（2）B部门选择了乙商家，共花费500元，已知购买消毒液的数量是口罩数量的2倍多2．请问B部门购买了多少盒口罩．
（3）C部门要购买15盒口罩和消毒液若干（超过15瓶），如果你是该部门负责人，且只能在甲，乙商家选其中一家购买，应该选择哪家才会更加划算，请说明理由．
【分析】（1）10盒口罩10瓶消毒液的钱数乘以80%即可；
（2）设B部门买了x盒口罩，消毒液为（2x+2）瓶，列方程，解方程即可；
（3）分别表示出在两个商场中花费的钱数，借助不等式选择商场．
【解答】解：（1）（10×30+2×10×10）×80%
＝500×80%
＝400（元），
故答案为：400；
（2）设B部门买了x盒口罩，消毒液为（2x+2）瓶，
30x+10（2x+2﹣x）＝500，
解方程得：x＝12，
答：B部门购买了12盒口罩；
（3）设消毒液为y瓶，
甲商场：（30×15+10y）×80%，
乙商场：30×15+10（y﹣15），
当（30×15+10y）×80%＜30×15+10（y﹣15）时，选甲商场，
解不等式得：y＞30，
当30y+10（y﹣15）＜（30×15+10y）×80%时，选乙商场，
解不等式得：15＜y＜30，
当30y+10（y﹣15）＝（30×15+10y）×80%时，甲乙都可，
解方程得x＝30，
答：当15＜y＜30时，选乙；当y＝30时均可；当y＞30时，选甲．
【点评】本题考查的是三元一次方程组的应用，解题的关键是表示出在甲乙两个商场中花费的钱数．
54．2022年12月7日，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化落实新冠肺炎疫情防控措施的通知》，发布了优化落实疫情防控的新十条规定，疫情防控迎来新的转折点．为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个．医用口罩和N95口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系 　3a+1.5（200﹣a）+25b＝600　．
小明的妈妈一共有几种购买方案？
【分析】（1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，根据“若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）利用总价＝单价×数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出答案．
【解答】解：（1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：医用口罩的单价为1.5元，洗手液的单价为25元，；
（2）∵共花了600元，
∴3a+1.5（200﹣a）+25b＝600，即3a+50b＝600，
∵a、b均为正整数，
∴a＝150，b＝3或a＝100，b＝6或a＝50，b＝9．，
∴小明的妈妈一共有3种购买方案．
故答案为：3a+1.5（200﹣a）+25b＝600．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
55．某校全面复学后，为奖励疫情上网课期间表现优秀的同学，老师安排李明购买奖品，图①，图②是李明买回奖品后与老师的对话情境：
根据上面的信息解决问题：试计算两种笔记本各买了多少本？
【分析】设5元的笔记本买了x本，8元的笔记本买了y本，由图中信息列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设5元的笔记本买了x本，8元的笔记本买了y本，
由题意得：，
解得：，
答：5元的笔记本买了25本，8元的笔记本买了15本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
56．盲盒顾名思义就是盒子中放置不同的物品，消费者凭运气抽中商品，正是这种随机化的体验，让消费者产生消费欲望，成为当下最热门的营销方法之一．某葡萄酒酒庄为回馈新老客户，也推出了盲盒式营销．商家计划在每件盲盒中放入A，B两种类型的酒，共6瓶．销售人员先包装了甲、乙两种盲盒．甲盲盒中装了A种酒3瓶，B种酒3瓶；乙盲盒中装了A种酒1瓶，B种酒5瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件240元，乙盲盒的成本价为每件160元．
（1）A种酒和B种酒的成本价为每瓶多少元；
（2）商家为回馈新老客户，计划所有的盲盒售价都为每件299元，请你再直接写出一种盲盒装箱的方案（题中两种方案除外），使它的成本价不高于299元．
【分析】（1）设A种酒的成本价为每瓶x元，B种酒的成本价为每瓶y元，由题意：甲盲盒中装了A种酒3瓶，B种酒3瓶；乙盲盒中装了A种酒1瓶，B种酒5瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件240元，乙盲盒的成本价为每件160元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）举出成本价不高于299元的一种盲盒即可．
【解答】解：（1）设A种酒的成本价为每瓶x元，B种酒的成本价为每瓶y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种酒的成本价为每瓶60元，B种酒的成本价为每瓶20元；
（2）∵4×60+2×20＝280＜299，
∴盲盒中装A种酒4瓶，B种酒2瓶（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
57．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150＜a＜171，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合150＜a＜171即可求出a的值，此题得解．
【解答】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，
根据题意得：，
∴n＝64﹣．
∵n、a为正整数，
∴a为5的倍数，
又∵150＜a＜171，
∴满足条件的a为：155，160，165，170．
答：在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
58．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以，方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组．
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值．
【分析】（1）由②得出3（2x﹣3y）﹣2y＝9③，把①代入③得出15﹣2y＝9，求出y，把y＝3代入①求出x即可；
（2）由①求出x2+4y2＝③，把③代入②求出xy＝2，①﹣②得出x2﹣3xy+4y2＝11，即可求出答案．
【解答】解：（1），
由②得：3（2x﹣3y）﹣2y＝9③，
把①代入③得：15﹣2y＝9，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：2x﹣9＝5，
解得：x＝7，
所以原方程组的解为；
由①得：3（x2+4y2）﹣2xy＝47，
化简得：，
把③代入②得：，
解得：xy＝2，
把xy＝2代入③得x2+4y2＝17，
∴x2+4y2﹣xy＝15．
【点评】本题考查了解高次方程组、解二元一次方程组和二元一次方程组的解等知识点，能够整体代入是解此题的关键．
59．已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数的解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．
【分析】（1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可；
（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
【解答】解：（1）方程x+2y＝5，
解得：x＝﹣2y+5，
当y＝1时，x＝3；y＝2，x＝1；
即方程x+2y＝5的正整数的解为，；
（2）联立得，
解得，
代入得：﹣5﹣10﹣5m+9＝0，
解得m＝﹣；
（3）∵x﹣2y+mx+9＝0，即（1+m）x﹣2y+9＝0总有一个解，
∴方程的解与m无关，
∴mx＝0，x﹣2y+9＝0，
解得：x＝0，y＝，
则方程的公共解为；
（4），
①+②得：（m+2）x＝﹣4，
解得：x＝﹣，
把x＝﹣代入①得：y＝，
当m+2＝2，1，﹣2，﹣1，4，﹣4时，x为整数，此时m＝0．﹣1，﹣3，﹣4，2，﹣6，
当m＝﹣1时，y＝，不符合题意；
当m＝﹣3时，y＝，不符合题意；
当m＝2时，y＝3，符合题意；
当m＝﹣6时，y＝2，符合题意，
当m＝0时，y＝，不符合题意；
当m＝﹣4时，y＝，不符合题意，
综上所述，整数m的值为﹣6或2．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
60．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运