浙教版七年级下册 4.1 因式分解 教案（表格式）

《4.1 因式分解》微教案
内容和内容解析
内容：
因式分解的概念：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
因式分解的相关结论：因式分解为整式乘法的逆过程。
因式分解的原则：
分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式；
分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；
括号内的首项系数一般为正；
如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前，如(b+c)a要写成a(b+c)；
考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
（4）因式分解的应用：
化简分式，如多项式除以多项式；
一元高次多项式方程求根，如解一元二次方程；
解一元二次不等式；
内容解析：
（1）因数分解的本质：因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法联系十分密切。因式分解又是分式的化简、运算和解一元二次方程的重要基础，是学生进一步学习数学不可缺少的基础知识和基本技能。
（2）学习因式分解蕴含的数学思想和方法：
类比思想：从小学时学过的因数分解，类比为初中学习的因式分解；
引入中，将具体的数的变形（特殊）转化为代数式的变形（一般），最后的简便运算中，将代数式的变形（一般）转化为具体的数的变形（特殊）；
在范例中，因为因式分解和整式的乘法是一种互逆的代数式变形，所以可以用整式的乘法来检验因式分解
（3）因式分解的上下位关系：因式分解属于整式运算。其学习设置在整式的乘除之后。因式分解的下位知识的主要内容有因式分解的概念、方法（提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法）以及简单应用。
（4）因式分解的育人价值：培养学生的有关因式分解的运算能力。有关因式分解的运算能力主要是指根据法则和运算律的逆用进行正确运算的能力。能够通过因式分解的概念明晰因式分解的对象和意义，通过整式乘法和因式分解的互逆关系理解因式分解算法与算理之间的关系；能够理解简便运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展；有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：因式分解的概念。
二、目标和目标解析
1. 目标：
（1）了解因式分解的概念；
（2）了解因式分解与整式乘法的关系。
2. 目标解析：
（1）通过知道因式分解的概念，能从举例说明对象的有关因式分解特征，判断其是否为因式分解，明晰因式分解的对象，知道分解结果的特征，发展运算能力；
（2）经历同一运算律的不同转化类型的比较，初步认识因式分解与整式乘法的互逆关系，能用整式乘法检验因式分解的正确性，提高因式分解算法与算理之间的关系的理解。
三、教学问题诊断分析
学生熟悉整式的乘法运算与相关公式，而对于乘法公式的逆用，则缺乏相关思考。在学习了因式分解的概念后，仍是对于其算理不甚理解，主要是因为没能充分了解因式分解和整式乘法的互逆关系。
基于以上分析，确定本节课的教学难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题。
四、教学支持条件分析
用 PPT 中的动画功能帮助学生体验因式分解的知识生成。
五、教学过程设计
问题串 设计意图
师生活动 点出课题 直面主题，简单明了，明确目标，重点清晰。
【环节一】新旧交加，创新探索 问题1 想一想：怎样算才方便又快捷？ (1) 当m=87 , n=13时，m2+mn=_____; (2) 当a=16 , b=6 时， a2b2 =____; (3) 当a=101, b=99时， a2b2 =_____. 师生活动 小享的解法： (1) m2+mn=87×87+87×13= 87×(87+13)= 87×100= 8700 (2) a2b2 =16262=25636 = 220 (3) a2b2 =1012992=102019801 = 400 小优的解法： (3) a2b2 =1012992=(101+99)(10199) = 200×2=400 追问 对比两人的解法，谁的解法更简便呢？ 追问 是怎样的整式变化，简便了运算呢？ 师生活动 特征归纳： （1）m2+mn=m(m+n) ——逆用乘法分配律 ——多项式→整式的“积”； a2b2 =(a+b)(ab) ——逆用平法差公式 ——多项式→整式的“积”。 教师：类似这样的代数式变形，就属于因式分解。 本环节从学生熟悉的分配律逆用和用字母表示数入手，从数字的变形引向字母的变形，从特殊到一般。 （1）是小学常见的分配律逆用达成的简便运算。完成从和式到积式的转化。 （2）（3）的整式部分一致，但（2）的计算量更小，可按运算顺序计算，（3）的计算量更大，若按（2）中方法计算，具有一定难度，且易算错，出现了“问题”——如何计算（3）才能更便捷——迫使学生开动脑筋去探索新方法，以突破问题。而代数式的表述方式—— a2b2 ——在一定程度上提示了学生第三章学过的“平方差公式”。 小享的答案分享，则设置了一个已知结果的背景。学生可借鉴小优的解法，进行一些大胆的尝试，通过答案对比，验证其方法的合理性。 这不仅是个导入环节，也给予了学生更多的探索空间，有助于学生形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神。既使“因式分解”的学习更具意义，又培养了学生的创新意识。 让学生自主地发现一个新的等式变形，即新知识——因式分解。帮助学生理解新知. 习题设计基于简便运算，展现因式分解的意义，激发学生学习的兴趣。 讲述因式分解的概念遵循了从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律。 最后通过对数量和数量关系的抽象，得到因式分解的两个正例，引出新知，培养学生的抽象能力。
【环节二】概念了解，辨析强化 师生活动 介绍概念： 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。 问题2 刚我们接触的整式转化过程，就属于因式分解。它们满足哪些特征呢？ 师生活动 （1）m2+mn=m(m+n) ——多项式→单项式×多项式； a2-b2 =(a+b)(ab) ——多项式→多项式×多项式。 （1）（2）都属于因式分解。 教师强调概念特征，再次朗读概念： 所以，把一个“多项式”化成几个“整式的积”的形式，叫做因式分解， 因式分解的运算能力主要是指根据法则和运算律的逆用进行正确运算的能力。要完成因式分解运算，首先要通过因式分解的概念，明晰因式分解的对象和意义。 第一遍概念介绍，平铺直述，不多赘言。 联系上文，举例说明什么是因式分解，将因式分解的概念进行正向强化。 第二遍概念朗读，抑扬顿挫。结合实例与老师语气，强调因式分解的特征，有的放矢。
问题3 辨一辨：下列代数式变形中，属于因式分解的有__________. ① a23a=a(a3) ② a22a+3=(a+1)2+2 ③ 1=( +1)( 1) ④ 6a2b3=2ab·3ab2 ⑤ m (a+b+c)=ma + mb+mc 师生活动 答案：① 分析理由： ① 符合因式分解的特征； ② 转化的结果，不是整式的积，而是整式的和； ③ 不属于整式范畴； ④ 因式分解中分解的对象不是是多项式； ⑤ 是整式乘法。 通过正例与反例的辨析，强调了“因式分解”的特征，明白： 因式分解的结果，是整式的积的形式； 因式分解是整式范畴内的概念，在代数式变形中有许多拓广应用，如③，但不能称之为因式分解； 单项式无法被因式分解； 因式分解与整式乘法完全不同。 同时，通过⑤引出因式分解与整式乘法的关系。
【环节三】溯源算理，了解算法 问题4 下列代数式变形中，哪些是整式乘法？哪些是因式分解？ (1) (a+b)(ab)=a2b2; (2) (a+b)2=a2+2ab+b2; (3) a2b2=(a+b)(ab)； (4) a2+2ab+b2=(a+b)2; (5)（x+2）(x3)=x2x6; (6) x2x6=（x+2）(x3) 整式乘法：（1）（2）（5） 因式分解：（3）（4）（6） 追问：将这些等式根据分类，重新排序。 观察左右两边等式变形，整式乘法与因式分解之间有什么关系？ 师生活动 (1)(3)是平方差公式的运用与逆用； (2)(4)是完全平方公式的运用与逆用； (5)(6)是整式乘法及其逆运算。 通过对比发现： 因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此可以用整式的乘法运算，来检验因式分解。 完成“因式分解”运算，最重要的是能理解算法与算理之间的关系。 练习既是概念辨析，又为因式分解的算理——因式分解与整式乘法之间的关系是代数式的一种互逆变形——作下铺垫。 本题改编自教材中的新知导入部分。从已学过的乘法公式入手，借由识别变形类别、重新分类、对照比较，认识到因式分解与整式乘法之间的关系是代数式的一种互逆变形（或者说，互逆运算）。有了这种认识，学生就会自觉运用已经掌握的整式乘法的一系列法则和公式来解决因式分解的问题。
问题5 检验下列因式分解是否正确: x yxy2=xy (xy) 2x 1=(2x+1)(2x1) x +3x+2=(x+1)(x+2) 追问1 想一想，我们应该从这个等式的哪一边入手呢？左 边？右边？ 师生活动 答案: (1)∵右边=xy(xy)= xy·xxy·y= x2yxy2 ∴因式分解 x yxy=xy (xy) 正确。 (2) ∵ 右边= (2x + 1)(2x1)= 4x21即 右边 ≠ 左边 ∴因式分解 2x 1=(2x+1)(2x1) 不正确。 检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等。 追问2 你能自己试一试吗？ (3) x +3x+2=(x+1)(x+2) 师生活动 答案: ∵右边=(x + 1)(x + 2) = x2 +2x + x + 2 = x +3x+2=左边 ∴因式分解 x +3x+2=(x+1)(x+2) 正确。 突出这样一种思想方法：因为因式分解与整式乘法是一种互逆的代数式变形，所以可以用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。 其中(1)(2)两题对后续学习提取公因式法和公式法有铺垫和暗示的作用。 (3)的自主当堂练习，帮助学生及时巩固新知。
问题6 把左、右两边相等的代数式用线连起来，并在线上作恰当说明。 2a22a (2a)(2+a) a2+6a+9 2a(a1) 4a2 (a+3)2 3a2+12a 3a(a+4) 师生活动 教师示例 追问1 老师已经连好一个了，你觉得老师连的，是正确的吗？怎么检验呢？ 师生活动 运用整式乘法进行等式连线。连线后进行因式分解表述： a2+6a+9可以因式分解为(a+3)2 追问2 剩下的几组你会连吗？并仿照老师在线上作恰当说明。 师生活动 答案： 分析： 2a(a1) = 2a22a 运用分配律的整式乘法 2a22a=2a(a1) 逆用分配律的因式分解 (a+3)2 = a2+6a+9 运用完全平方公式的整式乘法 a2+6a+9=(a+3)2 运用完全平方公式的因式分解 (2-a)(2+a) = 4a2 运用平方差公式的整式乘法 4a2=(2-a)(2+a) 逆用平方差公式的因式分解 3a(a+4) = 3a2+12a 运用分配律的整式乘法 3a2+12a=3a(a+4) 逆用分配律的因式分解 通过变式训练体会分配律、平方差、完全平方的逆用，进一步认识运用整式乘法与因式分解之间的互逆变形关系，进一步加强因式分解的算理掌握，帮助学生发展有关因式分解的运算能力，为后续因式分解的方法的学习作铺垫。
【环节三】溯源尝试，分解应用 问题7 导入题中的（2），能应用因式分解，进行简便运算吗？ 通过因式分解的应用，深化知识。 同时，将导入时缺少的一题简便运算补全。加深学生对于因式分解意义的感知。
【课堂小结】 因式分解的概念： 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（有时我们也把这一过程叫做分解因式）。 因式分解的正确性检验： （1）分解因式与整式乘法是互逆过程； （2）可以用整式的乘法运算，来检验因式分解。 因式分解的应用： 简便运算、分式的运算、解一元二次方程…… 通过对本节课所学知识的整理和分享，帮助学生内化新知识，培养学生及时归纳整理学习收获的好习惯，提升学生总结提炼的能力.
【作业布置】 《（省编）作业本②》第23、24页 通过配套练习，及时巩固所学。 作业本最后一题，体现了因式分解的几何意义。
六、目标检测设计
1. 检验下列因式分解是否正确:
(1) m +nm=m (m+n) ; (2) a -b2=(a+b)(ab) ; (3) x -x-2=(x+2)(x1) ;
2. 用简便方法计算下列各题，并说明你的算法.
(1) 24 +24; (2) (7) ()2; (3) 972+2×97×3+9; (4) 512－2×51+1
《4.1 因式分解》微习题
【课前练习】
1. 想一想：怎样算才方便又快捷？
(1) 当m=87 , n=13时，m2+mn=____________;
(2) 当a=16 , b=6 时， a2b2 =____________;
(3) 当a=101, b=99时， a2b2 =____________.
因式分解的概念：______________________________________.
【课内练习】
1. 辨一辨：下列代数式变形中，属于因式分解的有__________.
① a23a=a(a3)
② a22a+3=(a+1)2+2
③ 1=( +1)( 1)
④ 6a2b3=2ab·3ab2
⑤ m (a+b+c)=ma + mb+mc
2. 下列代数式变形中，哪些是整式乘法？哪些是因式分解？
(1) (a+b)(ab)=a2b2; (2) (a+b)2=a2+2ab+b2; (3) a2b2=(a+b)(ab)；
(4) a2+2ab+b2=(a+b)2; (5)（x+2）(x3)=x2x6; (6) x2x6=(x+2)(x3)
【例1】检验下列因式分解是否正确:
x yxy2=xy (xy); (2) 2x 1=(2x+1)(2x1) ; (3) x +3x+2=(x+1)(x+2)
把左、右两边相等的代数式用线连起来，并在线上作恰当说明。
2a22a (2a)(2+a)
a2+6a+9 2a(a1)
4a2 (a+3)2
3a2+12a 3a(a+4)
【课后练习】
1. 根据图形信息写出一个因式分解的式子
根据图1信息，可写出因式分解的式子：_________________________;
根据图2信息，可写出因式分解的式子：_________________________;
根据图3信息，可写出因式分解的式子：________________________ .
图1 图2 图3
2. 检验下列因式分解是否正确:
(1) m +nm=m (m+n) ; (2) a -b2=(a+b)(ab) ; (3) x x2=(x+2)(x1) ;
3. 用简便方法计算下列各题，并说明你的算法.
(1) 24 +24; (2) (7) ()2; (3) 972+2×97×3+9; (4) 512－2×51+1
4. 如果2x +mx2可分解因式为(2x+1)(x2),求m的值.
5. 99399 能被100整除吗？判断并说明理由.
《4.1 因式分解》微习题答案
【课前练习】
1. (1) m2+mn=87×87+87×13= 87×(87+13)= 87×100= 8700；
(2) a2-b2 =162-62=(16+6)(16-6) = 22×10=220；
(3) a2-b2 =(a+b)(a-b)= (101+99)(101-99) = 200×2 = 400
2. 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
【课内练习】
1. ①
2. 整式乘法：（1）（2）（5） 因式分解：（3）（4）（6）
【例1】
(1)∵右边=xy(x -y)= xy·x - xy·y= x2y -xy2
∴因式分解 x y-xy=xy (x-y) 正确。
(2) ∵ 右边= (2x + 1)(2x - 1)= 4x2 - 1即 右边 ≠ 左边
∴因式分解 2x -1=(2x+1)(2x-1) 不正确。
(3) ∵右边=(x + 1)(x + 2) = x2 +2x + x + 2 = x +3x+2=左边
∴因式分解 x +3x+2=(x+1)(x+2) 正确。
3.
【课后练习】
1.(1) a2+ab=a(a+b) ; (2) a2+2ab+b2=(a+b)2 ; (3) a2-b2=(a+b)(a-b)
2. (1)∵右边=m (m+n)=m +nm=左边∴因式分解 x y-xy=xy (x-y) 正确。
(2)∵右边= (a+b)(a-b)= a -b2=左边∴因式分解 a -b2=(a+b)(a-b) 正确。
(3)∵右边=(x + 2)(x - 1) = x2 +2x - x - 2 = x +x-2≠x -x-2，
即 右边 ≠ 左边 ∴因式分解 x -x-2=(x+2)(x-1) 不正确。
3. (1) 24 +24= 24×(24+1) = 24×25= 6×(4×25) = 600
(2) (7) -()2= (7+)(7 - )= 8×7= 56
(3) 972+2×97×3+9= 972+2×97×3+32= (97+3)2= 1002= 10000
(4) 512－2×51+1= 512－2×51×1+12 = (51-1)2= 502= 2500
4. ∵(2x+1)(x-2)=2x -3x-2
2x +mx-2= (2x+1)(x-2)
∴ 2x +mx-2=2x -3x-2
∴对应项的系数相等，则 m= -3
∵993 - 99 = 99×992 - 99×1= 99×(992 - 1)= 99×(99 + 1)(99 - 1)
= 99×100×98 ∴993 - 99 能被100整除