浙教版七年级下册 2.3 巧解二元一次方程的整数解 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
巧解二元一次方程的整数解
年 级：七年级
学 科：初中数学（浙教版）
温故知新，开启新课
答： y必须为0~9的整数， x必须为1~9的整数.
答：有，如：除y=2,x=9外，还有y=4,x=6.
无背景条件下二元一次方程有无数个解，二元一次
方程的非负整数解这样限定条件，解的个数就有限.
问题1设一个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，已知十位上的数的2倍
与个位上数的3倍的和为24,请你添加一个条件，使同学们能确切地得到这个
两位数的值；由题可得2x+3y=24 ，添加的x，y需满足什么条件？
问题1
追问： 上题中方程2x+3y=24有无其它满足要求的解？解的个数与无背景条件
下方程2x+3y=24的个数有何不同？
追问
温故知新，开启新课
如何得到 2x+3y=24的所有解（y必须为0~9的整数， x必须为1~9的整数）？
问题2
问题1：可以通过列举x的值来求相应y的值吗？
追问
y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 12 9 6 3 0
答： ∵y必须为0~9的整数， x= .
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 6 4 2
∵x必须为1~9的整数， ∴画圈的才满足要求 .
∵y必须为0~9的整数， ∴画圈的才满足要求 .
还有其它二元一次方程，如2x+3y=24的所有非负整数解的简便解法吗？
问题3
温故知新，开启新课
答：除列表枚举法外，还可以根据x,y的系数及常数项特征，选择对应的方法：利用奇偶性、利用整除性、转化讨论法等.
（观察x,y的系数及常数项的特征，并分析）
温故知新，开启新课
问题3：求2x+3y=24的所有非负整数解
解：∵x,y为非负整数，∴2x为偶数，3y=24-2x也为偶数，
则y必为偶数.
利用奇偶性
温故知新，开启新课
∵x= ,∴当y分别取0，2，4，6，8时，
x分别有12，9，6，3，0
当y取10及以上的偶数，x计算得负数，不满足题意.
∴ 2x+3y=24的所有非负整数解只有5个：
温故知新，开启新课
温故知新，开启新课
问题3：求7x+4y=100的所有非负整数解
利用整除性
解：∵x,y为非负整数，∴4y,100为4的倍数，7x=100-4y也为4的倍数，
则x必为4的倍数
∵y= ,∴当x分别取0，4，8，12，16时，
y分别有25，18，11，4，-3
当y取16及以上的4的倍数，y计算得负数，不满足题意.
∴ 7x+4y=100的所有非负整数解只有4个：
温故知新，开启新课
问题3：我国古代算术书《张丘建算经》中记载着著名的“百鸡问题”：
今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。
凡百钱买百鸡，翁、母、雏各几何？
转化
讨论法
温故知新，开启新课
这样就转化为求二元一次方程7x+4y=100的非负整数解问题，根据x,y,z的实际意义，
一样得x必为4的倍数.
解：设翁、母、雏各为x,y,z只.由题意得到： ， x,y,z为非负整数.
三元一次方程②×3-①化简得7x+4y=100
∵y= ,∴当x分别取0，4，8，12时，
z=100-x-y y分别有25，18，11，4，此时对应z分别为75，78，81，84
当y取16及以上的4的倍数，y计算得负数，不合题意.
答：翁、母、雏各为0，25,75只或4，18,78只或8，11,81只或12，4,84只.
温故知新，开启新课
问题1：求 ， x,y,z为非负整数，可从其他角度转化讨论吗？
问题4
（观察x,y的系数及常数项的特征，小组合作分析）
∴当z分别取75，78，81，84时，
x分别有0，4，8，12，此时对应y分别为25，18，11，4
答：翁、母、雏各为0，25,75只或4，18,78只或8，11,81只或12，4,84只.
解：设翁、母、雏各为x,y,z只.由题意得到： ， x,y,z为非负整数.
三元一次方程①×3-②化简得
∵x,100为整数，z必为3的倍数，
又由x,y,的实际意义得
温故知新，开启新课
追问：转化讨论法的缘由和核心是什么？
追问
答：因为三元一次方程组涉及的未知量多，或者其他方程形式比较复杂
所以必要转化为熟悉的二元一次方程或二元一次方程组.
因为二元一次方程解的不确定性，
所以必要根据x,y的系数及常数项的特征分类讨论.
或者针对要点，对二元一次方程解的所有可能情况分类讨论.
例题
（1）求方程的非负整数解：
（2）求方程的整数解：
借题发挥，合作探究
借题发挥，深化理解
例题
分析
由积为0，推断必有一个因式为0.
对两个因式分别讨论：
借题发挥，合作探究
借题发挥，深化理解
（1）求方程的非负整数解：
例题
借题发挥，合作探究
借题发挥，深化理解
（1）求方程的非负整数解：
解：
当2x+3y-10=0时，∵x,y为整数，2x,10都是偶数，
∴y也是偶数，取0,2，4, …时，x= 分别为5,2，-1…
经检验， y取4及以上的偶数时，不符合题意.
当x-2y+4=0时，∵x,y为整数，2y,4都是偶数，
∴x也是偶数，取0,2，4, …时， y = 分别为2,3，4…
经检验， ，k为非负偶数 ，均符合题意.
∴原方程的解有： （ k为非负偶数 ），
例题
（2）求方程的整数解：
形式变化，需要学生对方程的结构进行分析，任意选取整数x,y尝试代入，或和同伴讨论。教师综合学生的思路进行教学.
借题发挥，合作探究
借题发挥，深化理解
∵x,y为整数，∴x+y+2，x-y也为整数
则分析-5由哪两个整数作为因数得到即可.
结构 分析 四种可能：方程组 整数解
（-1）×5
（2）求方程的整数解
借题发挥，合作探究
借题发挥，深化理解
1×（-5）
（-5）×1
5×（-1）
二元一次方程
列表枚举法利用奇偶性利用整除性转化讨论法
解决
方法
整数
解
例题小结：
借题发挥，合作探究
借题发挥，深化理解
系数特征：
偶数、倍数
方程结构：
单个方程、组合方程
求方程的整数解：
练习
解：∵x,y为整数，∴ y+2 ，x2，（y+2）2也为整数
且得到10的两个和数必须为整数的平方.
置换背景，巩固提升
小贴士：
平方项≥0，
唯有1+9=10，和数1,9都是整数的平方
置换背景，巩固提升
方程结构分析：5+5可以吗？
4+6呢？
∴
原方程的解有
解的条件
系数特征
常数特征
方程结构
积的组合
和的组合
分析
推导
有限个
列表枚举法
利用奇偶性
利用整除性
转化讨论法
梳理新知，小结新课
问题1： 2x+3y=24 ，添加一个条件，使能确切地得到这个两位数的值？
问题2：如何得到 2x+3y=24的所有解（y必须为0~9的整数， x必须为1~9的整数）？
问题3：还有其它二元一次方程，如2x+3y=24的
所有非负整数解的简便解法吗？
问题4：求二元一次方程的所有非负整数解可从其他
角度转化讨论吗 ？
转化
讨论
分层
单个二元一次方程的整数解
二元一次方程的组合形式
二元一次方程的解
添加确定值、方程组
限定条件：非负整数
借题发挥，合作探究
配套练习，助力提升
A1．求二元一次方程 的负整数解，叙述错误的是（ ）
2．求二元一次方程 的非负整数解，叙述正确的是（ ）
A．解有无限多个 B．解只有唯一一个
C．可用列表枚举法求解 D．当y=3时x=2;当y=2时x=3
3．已知方程组 有正整数解，求正整数m的值，方法错误的是（ ）
A．可把x+1=y 代入上式消元 B． x,m的关系式为x+m+xm=5
C．当y=2时x=1;当y=3时x=2 D．m=1
A．解有无限多个 B．3x=-8-y＜0,∴-8＜y＜0
C．∵ 3x=-8-y，∴-8-y为3的倍数 D．当y=-5时x=-1;当y=-5时x=-2
借题发挥，合作探究
配套练习，助力提升
B4．已知方程组 ，结论中错误的是（ ）
A．a:b:c=1:(-2):3 B．关于a,b的方程组没有正整数解
C．关于a,b的方程组的非负整数解为有限个 D．关于a,b的方程组没有负整数解
5． 3x+y=30(x>y)的正整数解，错误的叙述是（　 　）
A．有9个解 B．y为3的倍数 C．有2个解 D．如果是整数解，就有无限多个
6．求方程 的整数解，错误的叙述是（ ）
A．x，y,z具有轮换对称性 B．有4个解 C．有两个解 D．可分为三个-1之积和1个-1两个1之积讨论
借题发挥，合作探究
反思和评价
参考答案
1.∵方程限定了条件“负整数解”，∴解为有限个，而其它选项均正确，∴选A，
2. ∵用列表枚举法 ，当5x=5,10,15，只有10+9结构符合y为正整数的要求，∴选B，
3. 把x+1=y 代入上式展开得x+m+xm=5，∵x,m为正整数且具轮换对称性， m=1 或2∴选D，
4. 把c当做已知数，解关于a,b的方程组得a:b:c=1:(-2):3 ∵a,b不相等，且相反，∴选 C，
5. ∵y为3的倍数，x,y为正整数，y=3,6,9…27，对应x=9,8,7…1有9个解∵x>y∴剩2个解选A，
6. ∵左边结构可以是三个-1之积或1个-1、两个1之积，三个-1有1种可能，1个-1有3种可能∴选C．