(共20张PPT)
浙教版七(下)第六章因式分解
《因式分解总复习》
回顾 & 思考
1.什么叫做因式分解？
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.
整式的积
多项式
整式乘法
因式分解
2.我们学了哪些常用的因式分解的方法？
（1）提公因式法 （2）套用公式法
（3）十字相乘法 （4）分组分解法
提公因式法：
ma+mb+mc
=m(a+b+c)
应用平方差公式:
a -b
=(a+b)(a-b)
应用完全平方公式:
a ±2ab+b
=(a±b)
因式分解的一般方法：
因式分解的一般步骤：
第一步：先看多项式各项有无公因式，
如有公因式则要先提取公因式；
第二步：再看有几项，
如两项，则考虑用平方差公式；
如三项，则考虑用完全平方公式；
第三步：最后看各因式能否再分解，
如能分解，应分解到不能再分解为止。
⑴ X(X-1)=X -X； ( )
⑵ 3a(a+b)=3a +3ab ( )
⑶ X +2X=X(X+2)； ( )
⑷ y -4=(y+2)(y-2)； ( )
1.下列从左边到右边的变形
哪些是属于因式分解？
√
√
X
X
X
X
⑸ X +2X+1=X(X+2)+1 ( )
⑹ a +1=a(a+ ). ( )
下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？
判一判！
做一做：
A层练习：
(1) a -ab；
(2) m -n ；
(3) x +2xy+y
(4) 12am -3an ；
(5) 3x +6x y+3xy
2、将下列各式分解因式：
做一做：
B层练习：
⑴ x y+xy ；
⑵ 9a -4b ；
⑶ x y -4xy+4；
(4) 18a c-8b c；
(5) m4-81n4 ；
(6) x -4x(x-y)+ 4(x-y) ；
3、将下列各式分解因式：
做一做：
C层练习：
⑴ x y-xy ；
⑵ m4-n4；
⑶ (x+y) -10(x+y)+25;
(4)(2a+b) –(a–b) ；
(5) 4a –3b(4a–3b)；
4、将下列各式分解因式：
5.把下列多项式因式分解:
(1) a-b+ax-bx (2)a2(a-3)-a+3
(3)-a2-b2+2ab+4 (4) 3x3-12x2y+12xy2
D层练习：
6.例题教学：
将下列各式进行因式分解：
⑴ -8a +8a b -2ab
⑵ 72-2(13x-7)
你能用简便方法计算下列题目吗？
9999 +19999
一、首项有负常提负
二、各项有公先提公
三、某项提出莫漏1
四、括号里面分到“底”。
因式分解的“四个注意”
因式分解的一般步骤：
“ 先看有无公因式，再看能否套公式，
十字相乘试一试，分组分解要合适 ”
说一说
知识拓展
1. 用简便方法计算：
2. 运用本节所学的知识，把9991分 解成两个整数的积
3. 被45整除，请说明你的理由.
应用练习计算
(1) (2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)
(2) [（3x-7)2-(x+5)2] ÷(4x-24)
⑵ 9x =(x-7)
解方程：
⑴ x -9x=0
(3) (2x-1) =(x+3)
若AB=0
则A=0或
B=0
方法：
左边为0，
右边进行因
式分解。
今天这节课，复习归纳了哪些知识？
你有哪些收获与感受？
说出来大家分享。(共21张PPT)
浙教版七(下)第六章因式分解
《6.3 用乘法公式分解因式(1)》
用平方差公式分解因式
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
13.5cm
6.5cm
π.13.5
2
π.6.5
2
π
13.5
2
.
π
.
6.5
2
-
(若π取3）
3×13.5 - 3×6.5
2
2
你能不用计算器快速算出吗？
两者面积之差为（列出算式）：
=3×（13.52 － 6.52 ）
=3 ×20 ×7
=3 ×(13.5＋6.5) (13.5 － 6.5)
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
（１）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
▲
▲
▲
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
(1) m2 －1
(2)4m2 －9
(3)4m2+9
(4)x2 －25y 2
(5) －x2 －25y2
(6) －x2+25y2
= m2 －12
= (2m)2 －32
不能转化为平方差形式
＝ x2 －(5y)2
不能转化为平方差形式
= 25y2－x2 =(5y)2 －x2
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
（１）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，而且能写成
（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
▲
▲
▲
把上题中写成平方差形式的多项式，进行因式分解。
(1) m2 －1
(2)4m2 －9
(3)4m2+9
(4)x2 －25y 2
(5) －x2 －25y2
(6) －x2+25y2
= m2 －12
= (2m)2 －32
不能转化为平方差形式
＝ x2 －(5y)2
不能转化为平方差形式
= 25y2－x2 = (5y)2 －x2
=（m+1）(m－1)
=（2m+3）(2m －3)
= (x+5y)(x －5y)
= (5y+x)(5y － x)
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
=(4x+y) (4x －y)
=(2x + y) (2x － y)
3
1
3
1
=(2k+5mn) (2k －5mn)
把下列各式分解因式：
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
看谁快又对
= (a+8) (a －8)
（1）a2－82
1
（2）16x2 －y2
2
(3) － y2 + 4x2
9
1
3
(4) 4k2 －25m2n2
4
参照对象：
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
20062－20052 =
（2mn）2 - ( 3xy)2 =
(x+z)2 - (y+z)2 =
结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。
不信难不倒你！
用你学过的方法分解因式：
4x3 - 9xy2
结论：
多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式。
把多项式因式分解：
5 a2 - 20b2
我来做做
通过这节课的学习，你认为“用平方差公式分解因式”要注意什么？
a2 - b2=(a+b)(a - b)
一饼题
二饼题
三饼题
分解因式：
a2 －16
= (a＋4) (a －4)
= a2 －42
分解因式：
y2z2－121
= (yz ＋ 11) (yz － 11)
= (yz)2 －112
分解因式：
4x3 －x
= x ( 4x2 －1 )
= x (2x ＋ 1) (2x －1)
= x [(2x)2 －12](共15张PPT)
浙教版七(下)第六章因式分解
《6.4 因式分解的简单应用》
(1)提取公因式法:
(2)平方差公式法：
(3)完全平方公式法:
因式分解的方法:
将正式各式因式分解
（1）（a+b）2－10（a+b）+25
(2）－xy+2x2y+x3y
（3）2 a2b－8a2b
（4）4x2－9
运用因式分解解简单方程．
解简单方程
运用因式分解进行多项式除法；
多项式除法
一、运用因式分解进行多项式除法：
例1 计算:
步骤：1．对被除式进行因式分解；
2．约去除式．
思路：运用多项式的因式分解和换元的思想，
把两个多项式相除，转化为单项式的除法．
练一练
计算：
(4)
先请同学们思考、讨论以下问题：
1．如果 A×5 ＝0，那么A的值 ．
2．如果 A×0 ＝0，那么A的值 ．
3．如果A · B＝0，下列结论中哪个正确（ ）
① A、B同时都为零，即A＝0，且B＝0；
② A、B中至少有一个为零，即A＝0，或B＝0；
你能运用上面第3题的结论
解方程 吗？
任意数都可以
4．写出方程的解．
例1 解下列方程:
用因式分解解方程的一般步骤：
1．移项，把方程右边化为零；
2．把方程左边因式分解；
3．将原方程转化为（一般为两个）一元一次方程；
例2．解下列方程：
解方程时，切忌两边同时除以公因式！！！
解方程：1、(x2+4)2-16x2=0
(x+2)2(x-2)2=0
解：将原方程左边分解因式，得 (x2+4)2-(4x)2=0
(x2+4+4x)(x2+4-4x)=0
(x2+4x+4)(x2-4x+4)=0
接着继续解方程，
2、已知 a、b、c为三角形的三边，试判断
a2 -2ab+b2-c2大于零？小于零？等于零？
解: a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
因此 a2 -2ab+b2-c2小于零。
即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∵ a、b、c为三角形的三边
=(a-b+c)(a-b-c)
已知：x=2004,求∣4x2 -4x+3 ∣
-4 ∣ x2 +2x+2 ∣ +13x+6的值。
解: ∵4x2 - 4x+3= (4x2 - 4x+1)+2 = (2x-1)2 +2 ＞0
x2 +2x+2 = (x2 +2x+1)+1 = (x+1)2 +1＞0
∴ ∣4x2 -4x+3 ∣-4 ∣ x2 +2x+2 ∣ +13x+6
= 4x2 - 4x+3 -4x2 -8x -8+13x+6
= x+1
即：原式= x+1=2004+1=2005
= 4x2 - 4x+3 -4(x2 +2x+2 ) +13x+6
（１）运用因式分解进行多项式除法
（２）运用因式分解解简单的方程
因式分解的两种应用：
1、作业本6.4
2、课本P163作业题(选做)(共20张PPT)
浙教版七(下)第六章因式分解
《6.3 用乘法公式因式分解 (2)》
完全平方公式因式分解
知识回顾
=（3x+4y+x-2y)(3x+4y-x+2y)
= (4x+2y)(2x+6y)
=5a3(x2-y2)
=5a3(x+y)(x-y)
由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.
如:完全平方公式
现在我们把这
个公式反过来
很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”
形如 的式子称为完全平方式.
下列各多项式是不是完全平方式 若是,请找出相应的a和b.
辨明真相
解:原式=x2+2.x.6+62
∴a=x,b=6
解:原式=x2-2xy+y2
∴a=x,b=y
∴不是完全平方是
解:原式=-x2-2xy+y2
下列各式是不是完全平方式
是
是
否
是
否
辨明是非
完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个“项”的平方
3、有这两“项”的2倍或-2倍
议一议
同学们,你能根据完全平方式的特点再写出几个完全平方式吗
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式
练一练吧
一般地,利用公式a2b2=(a+b)(a-b),
或(a2+2ab+b2)=(a+b)2
把一个多项式分解因式的方法,叫做公式法.公式中的a, b可以是数,也可以是整式.
知识链接
请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
例题
请同学们再自己写出一个完全平方式,然后分解因式
例题
分解因式:
(2x+y)2-6(2x+y)+9
解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32
=[(2x+y)-3]2
=(2x+y-3)2
注意:本例把2x+y看
作是一个整体,或者
说设2x+y=a,这种数
学思想称为换元思想.
1、把 分解因式得( )
A、 B、
2、把 分解因式得
（ ）
A、 B、
B
A
练一练
3、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
B
B
5、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
6、计算 的结果是（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-2
C
A
思考题:
1、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗
2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：
X4+4x2+( )
观察下表，你还能继续往下写吗？
1 1=12-02
3 3=22-12
5 5=32-22
7 7=42-32
…… ……
你发现了什么规律？能用因式分解来说明你发现的规律吗？
探究活动
小结：
1、是一个二次三项式
2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍
3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解
完全平方式具有：(共15张PPT)
浙教版七(下)第六章因式分解
《6.1因式分解》
你能用几种不同的方法计算10032－10022，哪种方法最简单？请与你的同伴交流。
10032－10022
=（1003+1002）（1003－1002）
=2005×1
=2005
a2-b2=(a+b)(a-b)
=(a+b)2
=m(a+b)
(a+b)(a-b)
(a+b)2
m(a+b)
=a2-b2
=a2+2ab+b2
=am+bm
整式乘法
因式分解
整式的积
多项式
多项式
整式的积
a2+2ab+b2
am+bm
你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？
一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
是
不是
不是
不是
不是
不是
不是
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解与整式乘法是互逆 过程
你能否先写出整式相乘的两个例子，你能由此得到相应的两个多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流。
做一做
（1）∵3a(a+4) =3a2+12a
∴ 3a2+12a = ( )( );
（2）∵ (a+3)2=a2+6a+9
∴a2+6a+9 = ( )( );
（3）∵(2－a)(2+a) = 4－a2
∴4－a2 = ( )( );
3a
a＋4
a＋3
a＋3
2－a
2＋a
（a＋3）2
例：检验下列因式分解是否正确：
（1）
（2）
（3）
（4）
(1)1012－992=
(2)872+87×13=
(3)512－2×51+1=
(4)502－1=
（1）
能分解成
则
某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪，他们的宽都是８㎝，长分别是５５．５㎝，２４．４㎝，２０．１㎝，那么这些绿化带的面积之和是__________
= ______,
= ______.
（2）
55.5
24.4
20.1
8
你知道因式分解的定义吗
你知道因式分解与整式的乘法的关系吗
你会判别哪些代数式的变形是因式分解吗
你会验证因式分解是否正确吗
你会利用因式分解快速解决某些问题吗
作业
(1) 作业本
(2) 课本P139(共13张PPT)
浙教版七(下)第六章因式分解
《 6.2 提取公因式法》
一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。
应提取的公因式为:________
议一议：
多项式 有公因式吗？是什么？
公因式的确定方法：
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。
练一练：
多项式 公因式
因式分解结果
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。
例1：确定下列多项式的公因式，并分解因式
提取公因式法的一般步骤：
（1）确定应提取的公因式
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式
练一练：分解因式
练一练：分解因式
例2：分解因式
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“—”号，括到括号里的各项都变号。
添括号法则：
说出你这节课的收获和体验让大家与你分享
１．提公因式法
１）．确定应提取的公因式
２）．用公因式去除这个多项式，所得的商作
为另一个因式（为什么？）
３）．把多项式写成这两个因式积的形式。
２．提取公因式的一般步骤：
当ｎ为奇数时
当ｎ为偶数时
３整体的思想
下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？
