2022-2023学年 浙教版数学 七年级下册4.3 用乘法公式分解因式(第2课时）同步练习 （含解析）

4.3《用乘法公式分解因式》同步练习(第2课时）
一．选择题（共7小题）
1．若a+b＝3，x+y＝1，则代数式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2009的值是（　　）
A．2017 B．2014 C．2015 D．2016
2．已知a、b、c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
3．已知a，b，c为△ABC的三条边长，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角
4．由图得到的等式中正确的有（　　）
①a2+b2+2ab＝（a+b）2；
②a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2；
③b2+c2+2bc＝（b+c）2；
④b2+c2+ab+bc+ac＝（a+b+c）（b+c）；
⑤（a+b+c）2﹣（b+c）2＝a2+2ab+2ac；
⑥（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+ab+bc+ac；
⑦a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2．
A．①②④⑤ B．①③④⑤⑦ C．①③⑤⑦ D．①②③⑥⑦
5．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2+2ab+b2＝c2+24，a+b﹣c＝4，则△ABC的周长是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
6．已知m2＝2﹣n，n2＝m+2（m+n≠0），则m3+2mn﹣n3＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
7．对于代数式ax2+bx+c（a≠0），下列说法正确的是（　　）
①存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
②若存在实数p、q（p≠q）有ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）；
③若ac＞0，则存在实数m、n，且m＞n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c；
④若ab＞0，则一定存在实数p、q（p≠q）有ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则p+q＜0．
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②③
二．填空题（共5小题）
8．已知a2+ab＝5，ab+b2＝4，则a﹣b＝　 　．
9．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a4+2a2b2＝c4﹣b4，则△ABC的形状是 　 　三角形．
10．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．仔细阅读以上内容，解决问题：
已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，则△ABC的周长为 　 　．
11．有4个不同的整数m、n、p、q满足（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝　 　．
12．已知x2﹣3x+1＝0，则﹣2x2+6x＝　 　；x3﹣2x2﹣2x+9＝　 　．
三．解答题（共3小题）
13．把图1中的三个小长方形与图2中的正方形拼成一个较大的长方形（在图2中画出）．根据拼图，写出一个多项式的因式分解．
14．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日、手机号等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920，172019，191720，192017等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以得到数字密码 　 　，　 　（只需写出二个）；
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的数字密码；
（3）若二次三项式x2+（m﹣3n）x﹣7n因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个数字密码为2434，求m，n的值．
15．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　 　；
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果；
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
4.3《用乘法公式分解因式》同步练习(第2课时）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【分析】将代数式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2009变形为（a+b）2﹣（x+y）+2009，再代入计算．
【解答】解∵a2+2ab+b2﹣x﹣y+2009
＝（a+b）2﹣（x+y）+2009，
∴当a+b＝3，x+y＝1时，
原式＝32﹣1+2009＝2017，
故选：A．
2．【分析】利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两加数分别为0得到a，b及c相等，进而确定出三角形ABC为等边三角形．
【解答】解：a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，即a＝b＝c，
则△ABC为等边三角形，
故选：B．
3．【分析】已知等式整理后，分解因式得到结果，即可作出判断．
【解答】解：已知等式整理得：b2﹣c2+2ab﹣2ac＝0，
分解因式得：（b﹣c）（b+c+2a）＝0，
可得b﹣c＝0或b+c+2a＝0（不符合题意，舍去），
∴b＝c，
∴△ABC为等腰三角形，
故选：B．
4．【分析】通过等面积法验证恒等式．
【解答】解：由图知：两个边长分别是a，b的正方形，两个长为a，宽是b的长方形拼成一个边长为（a+b）的长方形．
∴a2+b2+2ab＝（a+b）2．
故可以得到①．
∵图中没有边长为（a﹣b）的长方形或正方形．
∴不能得到②．
由图知：两个边长分别是b，c的正方形，两个长为b，宽是c的长方形拼成一个边长为（b+c）的长方形．
∴b2+c2+2bc＝（b+c）2．
故可以得到③．
∵（a+b+c）（b+c）＝ab+ac+b2+bc+bc+c2＝b2+c2+ab+2bc+ac≠b2+c2+ab+bc+ac．
∴不能得到④．
综上可以排除A，B，D三个选项，
故选：C．
5．【分析】先因式分解已知等式，找到a，b，c的关系，再求周长．
【解答】解：∵a2+2ab+b2＝c2+24，
∴（a+b）2﹣c2＝24．
∴（a+b+c）（a+b﹣c）＝24．
∵a+b﹣c＝4．
∴a+b+c＝24÷4＝6．
故选：B．
6．【分析】由m2＝2﹣n，n2＝m+2及平方差公式可得m﹣n＝﹣1，由m3＝m m2＝m（2﹣n）＝2m﹣mn，n3＝n n2＝n（m+2）＝mn+2n可得原式＝2（m﹣n）＝﹣2．
【解答】解：∵m2＝2﹣n，n2＝m+2，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2﹣n﹣m﹣2＝﹣（m+n），
∴m﹣n＝﹣1，
∵m3＝m m2＝m（2﹣n）＝2m﹣mn，n3＝n n2＝n（m+2）＝mn+2n，
∴m3+2mn﹣n3＝2m﹣mn+2mn﹣mn﹣2n＝2（m﹣n）＝﹣2，
故选：D．
7．【分析】根据条件，因式分解后逐个判断．
【解答】解：am +bm+c﹣（an +bn+c）＝a（m ﹣n ）+b（m﹣n）＝a（m+n）（m﹣n）+b（m﹣n）＝（m﹣n）[a（m+n）+b]．
∵m≠n．
∴m﹣n≠0．
∴当a（m+n）+b＝0时，am +bm+c﹣（an +bn+c）＝0．
∴存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c．
故①正确．
如果ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q），则x＝p或x＝q时，ap +bp+c＝0，aq +bq+c＝0．
∵存在实数p、q（p≠q）有ap2+bp+c＝aq2+bq+c，ap +bp+c，aq +bq+c的值不一定等于0．
∴②错误．
∵ac＜0，
∴Δ＝b ﹣4ac＞0．
∴二次函数y＝ax +bx+c与x轴有两个不同的交点．
∴存在实数m、n，且m＞n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c．
∴③正确．
∵ap2+bp+c＝aq2+bq+c．
∴ap +bp+c﹣（aq +bq+c）＝0
∴a（p ﹣q ）+b（p﹣q）＝0．
∴（p﹣q）[a（p+q）+b]＝0．
∵p≠q．
∴p﹣q≠0．
∴a（p+q）+b＝0．
∴p+q＝﹣．
∵ab＞0．
∴p+q＜0．
故④正确．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
8．【分析】两式相加求出a+b＝±3，然后分两种情况分别计算，通过提公因式，整体代入，求出a，b的值，从而得到a﹣b的值．
【解答】解：两式相加得a2+2ab+b2＝5+4，
∴（a+b）2＝9，
∴a+b＝±3，
当a+b＝3时，
∵a2+ab＝a（a+b）＝5，
∴a＝，
∵ab+b2＝b（a+b）＝4，
∴b＝，
∴a﹣b＝；
当a+b＝﹣3时，
∵a2+ab＝a（a+b）＝5，
∴a＝﹣，
∵ab+b2＝b（a+b）＝4，
∴b＝﹣，
∴a﹣b＝﹣；
故答案为：±．
9．【分析】根据完全平方公式因式分解得到（a2+b2）2＝c4，从而a2+b2＝c2，即可得到△ABC是直角三角形．
【解答】解：∵a4+2a2b2＝c4﹣b4，
∴a4+2a2b2+b4＝c4，
∴（a2+b2）2＝c4，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
10．【分析】先利用完全平方公式对等式a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出a，b，c的值，然后求和即可得出答案．
【解答】解：∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，
∴a＝2，b＝2，c＝3，
∴a+b+c＝2+2+3＝7．
∴△ABC的周长为7．
故答案为：7．
11．【分析】因为m，n，p，q都是四个不同正整数，所以（5﹣m）、（5﹣n）、（5﹣p）、（5﹣q）都是不同的整数，四个不同的整数的积等于9，这四个整数为﹣1、﹣3、1、3，由此求得m，n，p，q的值，问题得解．
【解答】解：因为（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，
每一个因数都是整数且都不相同，
那么只可能是﹣1，1，﹣3，3，
由此得出m、n、p、q分别为6、4、8、2，所以，m+n+p+q＝20．
故答案为：20．
12．【分析】由x2﹣3x+1＝0，可得x2﹣3x＝﹣1，把﹣2x2+6x和x3﹣2x2﹣2x+9分解因式，使之出现x2﹣3x，整体代入即可求出结果．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴﹣2x2+6x
＝﹣2（x2﹣3x）
＝﹣2×（﹣1）
＝2，
x3﹣2x2﹣2x+9
＝x3﹣3x2+x2﹣3x+x+9
＝x（x2﹣3x）+（x2﹣3x）+x+9
＝﹣x+（﹣1）+x+9
＝8，
故答案为：2，8．
三．解答题（共3小题）
13．【分析】将图①中的三个长方形放进图②中可完成拼图，利用两种方法表示出这个图形的面积，列出等式即可．
【解答】解：拼图如图所示：
x2+4x+3＝（x+3）（x+1）．
14．【分析】（1）首先把x3﹣xy2分解因式，然后求出当x＝21，y＝7时，x﹣y、x+y的值各是多少，写出可以形成的三个数字密码即可．
（2）由题意得：，求出xy的值是多少，再根据x3y+xy3＝xy（x2+y2），求出可得的数字密码为多少即可．
（3）首先根据密码为2434，可得：当x＝27时，x2+（m﹣3n）x﹣7n＝（x﹣3）（x+7），据此求出m、n的值各是多少即可．
【解答】解：（1）x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y），
当x＝21，y＝7时，x﹣y＝14，x+y＝28，
可得数字密码是211428；也可以是212814，142128．
（2）由题意得：，
解得xy＝60，
而x3y+xy3＝xy（x2+y2），
∴可得数字密码为60169．
（3）∵密码为2434，
∴当x＝27时，
∴x2+（m﹣3n）x﹣7n＝（x﹣3）（x+7），
即：x2+（m﹣3n）x﹣7n＝x2+4x﹣21，
∴，
解得．．
15．【分析】（1）根据分解时所用公式判断．
（2）用完全平方差公式继续分解．
（3）先换元，再用公式分解．
【解答】解：（1）∵y2+8y+16＝（y+4）2，用的完全平方和公式，
故选C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底；原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；
∴答案为：（x﹣2）4．
（3）设x2﹣2x＝y，
原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．
故答案为：（x﹣1）4．