初中数学浙教版七年级下册第五章 分式 强化提升训练
一、单选题
1．（2019七下·蔡甸期末）已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．关于分式 ，当x=-a时，（ ）
A．分式的值为零 B．当 时，分式的值为零
C．分式无意义 D．当a=时，分式无意义
3．（2020七上·长宁期末）下列分式中不是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019七上·杨浦月考）已知 ，则A的取值是（ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．6
5．（2019七下·南通月考）已知：a，b，c三个数满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知公式 （ ），则表示 的公式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020七上·茶陵期末）结论：
①若a + b + c = 0 ，且abc ≠ 0 ，则方程a + bx + c = 0 的解是 x = 1
②若a (x -1) = b(x -1) 有唯一的解，则a ≠b；
③若b = 2a ，则关于 x 的方程ax + b = 0(a ≠ 0)的解为 x = ；
④若a + b + c = 1，且a ≠0 ，则 x = 1一定是方程ax + b + c = 1的解．其中结论正确个数有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2019八上·重庆期中）若 是整数，则使分式 的值为整数的 值有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
10．（2019七上·浦东月考）学生参加植树造林，甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，求甲、乙两班每天各植树多少棵。下面列式错误的是（ ）
A．设甲班每天植树x棵，则
B．设乙班每天植树x棵，则
C．设甲班在x天植树80棵，则
D．设乙班在x天植树70棵，则
二、填空题
11．（2019七下·温州期末）如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点．现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE=DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，S3．若 ，则S3= ．
12．（2020七上·湖州期中）若 ，则 = .
13．（2019七下·虹口开学考）如果 对于自然数 成立，则 ， ．
14．（2020七上·杨浦期中）当k＝ 时，方程 会产生增根．
15．（2020九上·万州月考）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区.甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是 米.
16．（2019八上·新田期中）已知实数 满足 ，则 ．
三、综合题
17．（2019七上·徐汇月考）
（1）计算：
（2）
18．（2020八上·东丽期末）解分式方程
（1）
（2）
19．阅读材料：
关于x的方程： 的解是 ， ；
（即 ）的解是 ；
的解是 ， ；
的解是 ， ；……
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程 与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证。
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程： 。
20．（2020八下·重庆月考）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工.
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同.若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米.
（2）若甲工程队每天可以改造 米道路，乙工程队每天可以改造 米道路，（其中 ）.现在有两种施工改造方案：
方案一：前 米的道路由甲工程队改造，后 米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造.
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由.
21．（2020八上·丹江口期末）张康和李健两名运动爱好者周末相约到丹江环库绿道进行跑步锻炼.
（1）周日早上 点，张康和李健同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为 千米和 千米的绿道环库路入口汇合，结果同时到达，且张康每分钟比李健每分钟多行 米，求张康和李健的速度分别是多少米 分？
（2）两人到达绿道后约定先跑 千米再休息，李健的跑步速度是张康跑步速度的 倍，两人在同起点，同时出发，结果李健先到目的地 分钟.
①当 ， 时，求李健跑了多少分钟？
②求张康的跑步速度多少米 分？（直接用含 ， 的式子表示）
22．（2020九上·深圳期末）姐妹两人在50米的跑道上进行短路比赛，两人从出发点同时起跑，姐姐到达终点时，妹妹离终点还差3米，已知姐妹两人的平均速度分别为a米/秒、b米/秒．
（1）如果两人重新开始比赛，姐姐从起点向后退3米，姐妹同时起跑，两人能否同时到达终点 若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．
（2）如果两人想同时到达终点，应如何安排两人的起跑位置 请你设计两种方案．
23．（2019八上·玉田期中）周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”.（顺风速度 无风时骑车速度 风速，逆风速度 无风时骑车速度 风速）
（1）如果家到书店的路程是 ，无风时琪琪骑自行车的速度是 ，他逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的 倍，求风速是多少？
（2）如果设从家到书店的路程为 千米，无风时骑车速度为 千米/时，风速为 千米/时 ，求出有风往返一趟的时间，无风往返一趟的时间，请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.
24．（2020七下·慈溪期末）阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ 。在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， ，…这样的分式是假分式；如 与 …这样的分式是真分式。类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)的形式。
例如：将分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
方法1： = = =x-1-
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数)
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x +(a+3)x+(3a+b)
∴x +2x-5=x +(a+3)x+(3a+b)
对于任意x，上述等式均成立，
∴ ，解得
∴x +2x-5=(x+3)(x-1)-2
∴ = = =x-1-
这样，分式 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
【材料2】对于式子2+ ，由x2≥0知1+x 的最小值为1，所以 的最大值为3，
所以2+ 的最大值为5。
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式 是 分式(填“真”或“假”)。
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式：
① = + 。
② = + 。
（3）把分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数。
（4）当x的值变化时，求分式 的最大值。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：A、当x=-a=时，分式无意义，故本选项不符合题意；
B、当x+a=0且x≠时，即当时，分式的值为零，故本选项符合题意；
C、当x=﹣a≠时，分式 有意义，故本选项不符合题意；
D、当a=时，分式有意义，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】分式的值为0时，分子为0同时分母不为0，这两个条件必须同时满足.
3．【答案】C
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A. 分子分母没有公因式，不能约分，所以它是最简分式，故A选项不符合题意；
B. 是最简分式，故B选项不符合题意；
C. = = ,故C选项符合题意;
D. 是最简分式, 故D选项不符合题意.
故应选C.
【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】分式的通分；分式的加减法
【解析】【解答】 ，
，
得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11，
∴A+11=5，-2A-11=1，
∴A=-6.
故答案为：C.
【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则变形，利用多项式相等的条件即可求出a的值.
5．【答案】A
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：由已知可得， ， ， ，
则ac+bc＝3abc①，ab+ac＝4abc②，bc+ab＝5abc③，
①+②+③得，2（ab+bc+ca）＝12abc，
即 ＝ .
故答案为：A.
【分析】由已知可得， ， ， ，则ac+bc＝3abc，ab+ac＝4abc，bc+ab＝5abc，把三式相加，可得2（ab+bc+ca）＝12abc，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解 ：∵ ，∴,∴,∴,∴∴,∵ ，∴;
故答案为 ：D。
【分析】将方程的右边利用异分母分式的加法法则通分计算，然后根据两内项之积等于两外项之积去分母，再移项合并同类项，再根据等式的性质，方程的两边都除以(R2-R)即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：①当x=1时，代入方程a+bx+c=0即可得到a+b+c=0，成立，故符合题意；
②a（x-1）=b（x-1），去括号得：ax-a=bx-b，即（a-b）x=a-b，则x=1，故符合题意；
③方程ax+b=0，移项得：ax=-b，则x=- ，因为b=2a，所以- =2，则x=-2，故不符合题意；
④把x=1代入方程ax+b+c，得到a+b+c=1，则x=1一定是方程ax+b+c=1的解，故符合题意．
综上可得，符合题意共有3个．
故答案为：B．
【分析】根据方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，即可判断．
8．【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：
由题意可知， 是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个.
故答案为：C.
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可.
9．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
10．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设甲班每天植树x棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，可得方程： ，故A不符合题意；
设乙班每天植树x棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，可得方程： ，故B不符合题意；
设甲班在x天植树80棵，根据甲班每天比乙班多植5棵树，可得方程： ，故C不符合题意；
设乙班在x天植树70棵，根据甲班每天比乙班多植5棵树，可得方程： ，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】分别设甲班每天植树x棵、乙班每天植树x棵、甲班在x天植树80棵、乙班在x天植树70棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等以及甲班每天比乙班多植5棵树，列出方程即可判断，
11．【答案】
【知识点】列式表示数量关系；分式的约分
【解析】【解答】解：设DG=a, 则HD=a, GC=DC-DG=10-a,
AE=AB-BE=10-a, AH=AD-HD=13-a,
则S1=AH×AE=(13-a)(10-a),
S2=GC×GC=(10-a)(10-a),
，
(a≠10),
∴,
∴70-7a=39-3a,
∴4a=31,
∴,
∴GC=10-a=10-=,
∴重合部分的正方形边长是10-2×=,
∴
故答案为：.
【分析】设DG为a, 把HD、AE、CG和AE用含a的代数式表示出来，列出S1和S2的表达式， 根据 ，求出a值，则GC可求，S3的边长可求，则面积也可求。
12．【答案】3，-1
【知识点】分式的混合运算；绝对值的非负性
【解析】【解答】解： 故分类
当 时，三个为正，或者一正两负
故 =3,或者-1
当 时，三个为负，或者一负两正
=3或者-1
综上，答案为3或者-1
【分析】分情况讨论， 两种情况
13．【答案】；
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
由题意可知：
∴ ， ，
故答案为： , ．
【分析】根据分式的加减运算，即可通分计算.
14．【答案】6或-4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：2（x-1）+3（x+1）＝k，
由分式方程有增根，得到x＝1或x＝-1，
把x＝1代入整式方程得：k＝6；
把x＝-1代入整式方程得：k＝-4，
综上，k的值为6或-4时，方程 会产生增根，
故答案为：6或-4．
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，由分式方程有增根，可得增根为x＝1或x＝-1，然后将x值分别代入整式方程求出k值即可.
15．【答案】1500
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），
由题意可得，
解得，a＝500，
设乙的速度为b（m/min），由甲乙相遇知，
∴b＝1000，
∴甲乙相遇时乙距公司的路程为：（9﹣ ）×1000＝3000，
甲到达小区的时间为： ＝12（min），
∴甲到小区时，乙距公司的路程为：3000﹣1000× ×（12﹣9）＝1500（m），
故答案为：1500.
【分析】设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），根据“ 刚好在事先预计的时间到达该小区 ”结合图象列出方程，可分别求出甲乙的速度和到达公司的时间，故可得甲进小区时，乙距公司的路程.
16．【答案】
【知识点】代数式求值；分式的加减法
【解析】【解答】∵ ，
∴a2-3a-1
=a2-3a-abc=a(bc+a-3)
=a(bc+4-b-c-3)
=a(bc-b-c+1)
=a(b-1)(c-1)，
同理：b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵a+b+c=4，
∴ ，
∴abc-ab-ac-bc+a+b+c= ，
∵a+b+c=4，abc=-1，
∴ab+ac+bc= ，
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴16= a2+b2+c2+2×（ ），
解得：a2+b2+c2= ，
故答案为：
【分析】把abc=-1，a+b+c=4代入a2-3a-1可得a2-3a-1=a(b-1)(c-1)，同理可得b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，代入 可得 = ，展开即可得ac+ab+bc= ，利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，代入a+b+c=4，ac+ab+bc= 即可得答案．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，然后通分计算异分母分式的加法即可；
（2）先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，约分化为最简形式即可.
18．【答案】（1）解：去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解；
（2）解：去分母得：﹣3（x+2）＝3（x+2）﹣6+x，
去括号得：﹣3x﹣6＝3x+6﹣6+x，
移项合并得：7x＝﹣6，
解得：x＝﹣ ，
经检验x＝﹣ 是分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）两边同时乘以x-2化为整式方程，解得x=2后检验即可；（2）先去分母化为一元一次方程，解方程得到x=- ，再检验即可.
19．【答案】（1） 猜想该方程的解是x1=c，x2=；
验证：当x1=c时，方程的左边= ， 方程的右边= ，左边等于右边
，∴x1=c是该方程的解；
当x2=时，方程的左边= ， 方程的右边= ，左边等于右边，
∴x2=是该方程的解；
（2） 将方程 变形为 ，
∴x-1=a-1或x-1=，
解得x1=a，x2=
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）认真阅读题干提供的解题方法，抓住题目中的隐含条件，利用规律即可解决问题；
（2）首先将方程变形为，然后利用（1）中的规律即可解决问题。
20．【答案】（1）解：设乙工程队每天道路的长度为 米，则甲工程队每天道路的长度为 米，
根据题意，得： ，
解得： ，
检验，当 时， ，
∴原分式方程的解为： ，
，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米
（2）解：设方案一所用时间为： ，
方案二所用时间为 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴方案二所用的时间少.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论.
21．【答案】（1）解：设李康的速度为 米 分，则张健的速度为 米 分，
根据题意得：
解得： ，
经检验， 是原方程的根，且符合题意，
.
答：李康的速度为 米 分，张健的速度为 米 分
（2）解：① ， ，
（分钟）.
故李健跑了 分钟；
②李健跑了的时间： 分钟，
张康跑了的时间： 分钟，
张康的跑步速度为： 米 分.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设李康的速度为 米 分，则张健的速度为 米 分，根据两人所用的时间相等列出方程求解即可得出答案；（2）①李健跑的时间= ，将 ， 代入计算即可得解；②先用含有a,b的代数式表示出张康的跑步时间，再用路程除以时间即可得到他的速度.
22．【答案】（1）解：∵姐姐到达终点是，妹妹距终点还有3米
∴姐姐跑50米和妹妹跑47米的时间相同，设这个时间为：
即：
∴a=50k，b=47k
则再次比赛，姐姐的时间为： = 秒
妹妹的时间为： 秒
∵ ，
∴ ＜ ，即姐姐用时短，姐姐先到达终点
（2）解：情况一：姐姐退后x米，两人同时到达终点
则： = ，解得：x=
情况二：妹妹向前y米，两人同时到达终点
则： = ，解得：y=3
综上得：姐姐退后 米或妹妹前进3米，两人同时到达终点
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）先求出姐姐和妹妹的速度关系，然后求出再次比赛时两人用的时间，从而得出结论；（2）2种方案，姐姐退后或者妹妹向前，要想同时到达终点，则比赛用时相等，根据这个关系列写等量关系式并求解．
23．【答案】（1）解：设当天的风速为 ．根据题意，得
.
解这个方程，得
经检验， 是所列方程的解．
答：当天的风速为 ．
（2）解：有风往返一趟的时间为 小时，
无风往返一趟的时间为 小时．
，
又 ，
，即 ．
有风往返一趟的时间 无风往返一趟的时间，即亮亮说得对。
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设当天的风速为x km/h，根据逆风去教育局所用时间是顺风回学校所用时间的 倍列出方程并解答；
（2）分别求得有风和无风两种情况下所需要的时间，然后比较大小即可．
24．【答案】（1）真
（2）2；；x；
（3）解： = = =x+5+
若原分式的值为整数，则x-3=±1或x-3=±2
①若x-3=1，则x=4；
②若x-3=-1，则x=2；
③若x-3=2，则x=5；
④若x-3=-2，则x=1。
∴当x=4或2或5或1时，原分式的值为整数．
（4）解： = =2+ =2+
∵(x-1) ≥0，
∴(x-1) +1有最小值1
∴ 有最大值4，
∴2+ 有最大值6，
∴当x的值变化时，原分式的最大值是6
【知识点】分式的值；分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）原式=
∴是真分式.
故答案为：真.
【分析】（1）将原式转化为，再转化，可作出判断。
（2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案。
（3）根据分母为（x-3），空降原方式转化为x+5+ ，再根据原分式的值为整数，可得到x-3=±1或x-3=±2，分别求出x的值即可。
（4）先将分式转化为2+ ，根据分母可知分母的最小值为1，由此可得到的最大值为4，由此可得到原分式的最大值为6.
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一、单选题
1．（2019七下·蔡甸期末）已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
2．关于分式 ，当x=-a时，（ ）
A．分式的值为零 B．当 时，分式的值为零
C．分式无意义 D．当a=时，分式无意义
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：A、当x=-a=时，分式无意义，故本选项不符合题意；
B、当x+a=0且x≠时，即当时，分式的值为零，故本选项符合题意；
C、当x=﹣a≠时，分式 有意义，故本选项不符合题意；
D、当a=时，分式有意义，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】分式的值为0时，分子为0同时分母不为0，这两个条件必须同时满足.
3．（2020七上·长宁期末）下列分式中不是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A. 分子分母没有公因式，不能约分，所以它是最简分式，故A选项不符合题意；
B. 是最简分式，故B选项不符合题意；
C. = = ,故C选项符合题意;
D. 是最简分式, 故D选项不符合题意.
故应选C.
【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可.
4．（2019七上·杨浦月考）已知 ，则A的取值是（ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．6
【答案】C
【知识点】分式的通分；分式的加减法
【解析】【解答】 ，
，
得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11，
∴A+11=5，-2A-11=1，
∴A=-6.
故答案为：C.
【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则变形，利用多项式相等的条件即可求出a的值.
5．（2019七下·南通月考）已知：a，b，c三个数满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：由已知可得， ， ， ，
则ac+bc＝3abc①，ab+ac＝4abc②，bc+ab＝5abc③，
①+②+③得，2（ab+bc+ca）＝12abc，
即 ＝ .
故答案为：A.
【分析】由已知可得， ， ， ，则ac+bc＝3abc，ab+ac＝4abc，bc+ab＝5abc，把三式相加，可得2（ab+bc+ca）＝12abc，即可求解.
6．已知公式 （ ），则表示 的公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解 ：∵ ，∴,∴,∴,∴∴,∵ ，∴;
故答案为 ：D。
【分析】将方程的右边利用异分母分式的加法法则通分计算，然后根据两内项之积等于两外项之积去分母，再移项合并同类项，再根据等式的性质，方程的两边都除以(R2-R)即可得出答案。
7．（2020七上·茶陵期末）结论：
①若a + b + c = 0 ，且abc ≠ 0 ，则方程a + bx + c = 0 的解是 x = 1
②若a (x -1) = b(x -1) 有唯一的解，则a ≠b；
③若b = 2a ，则关于 x 的方程ax + b = 0(a ≠ 0)的解为 x = ；
④若a + b + c = 1，且a ≠0 ，则 x = 1一定是方程ax + b + c = 1的解．其中结论正确个数有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：①当x=1时，代入方程a+bx+c=0即可得到a+b+c=0，成立，故符合题意；
②a（x-1）=b（x-1），去括号得：ax-a=bx-b，即（a-b）x=a-b，则x=1，故符合题意；
③方程ax+b=0，移项得：ax=-b，则x=- ，因为b=2a，所以- =2，则x=-2，故不符合题意；
④把x=1代入方程ax+b+c，得到a+b+c=1，则x=1一定是方程ax+b+c=1的解，故符合题意．
综上可得，符合题意共有3个．
故答案为：B．
【分析】根据方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，即可判断．
8．（2019八上·重庆期中）若 是整数，则使分式 的值为整数的 值有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：
由题意可知， 是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个.
故答案为：C.
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可.
9．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
10．（2019七上·浦东月考）学生参加植树造林，甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，求甲、乙两班每天各植树多少棵。下面列式错误的是（ ）
A．设甲班每天植树x棵，则
B．设乙班每天植树x棵，则
C．设甲班在x天植树80棵，则
D．设乙班在x天植树70棵，则
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设甲班每天植树x棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，可得方程： ，故A不符合题意；
设乙班每天植树x棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，可得方程： ，故B不符合题意；
设甲班在x天植树80棵，根据甲班每天比乙班多植5棵树，可得方程： ，故C不符合题意；
设乙班在x天植树70棵，根据甲班每天比乙班多植5棵树，可得方程： ，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】分别设甲班每天植树x棵、乙班每天植树x棵、甲班在x天植树80棵、乙班在x天植树70棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等以及甲班每天比乙班多植5棵树，列出方程即可判断，
二、填空题
11．（2019七下·温州期末）如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点．现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE=DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，S3．若 ，则S3= ．
【答案】
【知识点】列式表示数量关系；分式的约分
【解析】【解答】解：设DG=a, 则HD=a, GC=DC-DG=10-a,
AE=AB-BE=10-a, AH=AD-HD=13-a,
则S1=AH×AE=(13-a)(10-a),
S2=GC×GC=(10-a)(10-a),
，
(a≠10),
∴,
∴70-7a=39-3a,
∴4a=31,
∴,
∴GC=10-a=10-=,
∴重合部分的正方形边长是10-2×=,
∴
故答案为：.
【分析】设DG为a, 把HD、AE、CG和AE用含a的代数式表示出来，列出S1和S2的表达式， 根据 ，求出a值，则GC可求，S3的边长可求，则面积也可求。
12．（2020七上·湖州期中）若 ，则 = .
【答案】3，-1
【知识点】分式的混合运算；绝对值的非负性
【解析】【解答】解： 故分类
当 时，三个为正，或者一正两负
故 =3,或者-1
当 时，三个为负，或者一负两正
=3或者-1
综上，答案为3或者-1
【分析】分情况讨论， 两种情况
13．（2019七下·虹口开学考）如果 对于自然数 成立，则 ， ．
【答案】；
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
由题意可知：
∴ ， ，
故答案为： , ．
【分析】根据分式的加减运算，即可通分计算.
14．（2020七上·杨浦期中）当k＝ 时，方程 会产生增根．
【答案】6或-4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：2（x-1）+3（x+1）＝k，
由分式方程有增根，得到x＝1或x＝-1，
把x＝1代入整式方程得：k＝6；
把x＝-1代入整式方程得：k＝-4，
综上，k的值为6或-4时，方程 会产生增根，
故答案为：6或-4．
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，由分式方程有增根，可得增根为x＝1或x＝-1，然后将x值分别代入整式方程求出k值即可.
15．（2020九上·万州月考）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区.甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是 米.
【答案】1500
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），
由题意可得，
解得，a＝500，
设乙的速度为b（m/min），由甲乙相遇知，
∴b＝1000，
∴甲乙相遇时乙距公司的路程为：（9﹣ ）×1000＝3000，
甲到达小区的时间为： ＝12（min），
∴甲到小区时，乙距公司的路程为：3000﹣1000× ×（12﹣9）＝1500（m），
故答案为：1500.
【分析】设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），根据“ 刚好在事先预计的时间到达该小区 ”结合图象列出方程，可分别求出甲乙的速度和到达公司的时间，故可得甲进小区时，乙距公司的路程.
16．（2019八上·新田期中）已知实数 满足 ，则 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；分式的加减法
【解析】【解答】∵ ，
∴a2-3a-1
=a2-3a-abc=a(bc+a-3)
=a(bc+4-b-c-3)
=a(bc-b-c+1)
=a(b-1)(c-1)，
同理：b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵a+b+c=4，
∴ ，
∴abc-ab-ac-bc+a+b+c= ，
∵a+b+c=4，abc=-1，
∴ab+ac+bc= ，
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴16= a2+b2+c2+2×（ ），
解得：a2+b2+c2= ，
故答案为：
【分析】把abc=-1，a+b+c=4代入a2-3a-1可得a2-3a-1=a(b-1)(c-1)，同理可得b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，代入 可得 = ，展开即可得ac+ab+bc= ，利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，代入a+b+c=4，ac+ab+bc= 即可得答案．
三、综合题
17．（2019七上·徐汇月考）
（1）计算：
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，然后通分计算异分母分式的加法即可；
（2）先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，约分化为最简形式即可.
18．（2020八上·东丽期末）解分式方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解；
（2）解：去分母得：﹣3（x+2）＝3（x+2）﹣6+x，
去括号得：﹣3x﹣6＝3x+6﹣6+x，
移项合并得：7x＝﹣6，
解得：x＝﹣ ，
经检验x＝﹣ 是分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）两边同时乘以x-2化为整式方程，解得x=2后检验即可；（2）先去分母化为一元一次方程，解方程得到x=- ，再检验即可.
19．阅读材料：
关于x的方程： 的解是 ， ；
（即 ）的解是 ；
的解是 ， ；
的解是 ， ；……
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程 与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证。
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程： 。
【答案】（1） 猜想该方程的解是x1=c，x2=；
验证：当x1=c时，方程的左边= ， 方程的右边= ，左边等于右边
，∴x1=c是该方程的解；
当x2=时，方程的左边= ， 方程的右边= ，左边等于右边，
∴x2=是该方程的解；
（2） 将方程 变形为 ，
∴x-1=a-1或x-1=，
解得x1=a，x2=
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）认真阅读题干提供的解题方法，抓住题目中的隐含条件，利用规律即可解决问题；
（2）首先将方程变形为，然后利用（1）中的规律即可解决问题。
20．（2020八下·重庆月考）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工.
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同.若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米.
（2）若甲工程队每天可以改造 米道路，乙工程队每天可以改造 米道路，（其中 ）.现在有两种施工改造方案：
方案一：前 米的道路由甲工程队改造，后 米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造.
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由.
【答案】（1）解：设乙工程队每天道路的长度为 米，则甲工程队每天道路的长度为 米，
根据题意，得： ，
解得： ，
检验，当 时， ，
∴原分式方程的解为： ，
，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米
（2）解：设方案一所用时间为： ，
方案二所用时间为 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴方案二所用的时间少.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论.
21．（2020八上·丹江口期末）张康和李健两名运动爱好者周末相约到丹江环库绿道进行跑步锻炼.
（1）周日早上 点，张康和李健同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为 千米和 千米的绿道环库路入口汇合，结果同时到达，且张康每分钟比李健每分钟多行 米，求张康和李健的速度分别是多少米 分？
（2）两人到达绿道后约定先跑 千米再休息，李健的跑步速度是张康跑步速度的 倍，两人在同起点，同时出发，结果李健先到目的地 分钟.
①当 ， 时，求李健跑了多少分钟？
②求张康的跑步速度多少米 分？（直接用含 ， 的式子表示）
【答案】（1）解：设李康的速度为 米 分，则张健的速度为 米 分，
根据题意得：
解得： ，
经检验， 是原方程的根，且符合题意，
.
答：李康的速度为 米 分，张健的速度为 米 分
（2）解：① ， ，
（分钟）.
故李健跑了 分钟；
②李健跑了的时间： 分钟，
张康跑了的时间： 分钟，
张康的跑步速度为： 米 分.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设李康的速度为 米 分，则张健的速度为 米 分，根据两人所用的时间相等列出方程求解即可得出答案；（2）①李健跑的时间= ，将 ， 代入计算即可得解；②先用含有a,b的代数式表示出张康的跑步时间，再用路程除以时间即可得到他的速度.
22．（2020九上·深圳期末）姐妹两人在50米的跑道上进行短路比赛，两人从出发点同时起跑，姐姐到达终点时，妹妹离终点还差3米，已知姐妹两人的平均速度分别为a米/秒、b米/秒．
（1）如果两人重新开始比赛，姐姐从起点向后退3米，姐妹同时起跑，两人能否同时到达终点 若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．
（2）如果两人想同时到达终点，应如何安排两人的起跑位置 请你设计两种方案．
【答案】（1）解：∵姐姐到达终点是，妹妹距终点还有3米
∴姐姐跑50米和妹妹跑47米的时间相同，设这个时间为：
即：
∴a=50k，b=47k
则再次比赛，姐姐的时间为： = 秒
妹妹的时间为： 秒
∵ ，
∴ ＜ ，即姐姐用时短，姐姐先到达终点
（2）解：情况一：姐姐退后x米，两人同时到达终点
则： = ，解得：x=
情况二：妹妹向前y米，两人同时到达终点
则： = ，解得：y=3
综上得：姐姐退后 米或妹妹前进3米，两人同时到达终点
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）先求出姐姐和妹妹的速度关系，然后求出再次比赛时两人用的时间，从而得出结论；（2）2种方案，姐姐退后或者妹妹向前，要想同时到达终点，则比赛用时相等，根据这个关系列写等量关系式并求解．
23．（2019八上·玉田期中）周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”.（顺风速度 无风时骑车速度 风速，逆风速度 无风时骑车速度 风速）
（1）如果家到书店的路程是 ，无风时琪琪骑自行车的速度是 ，他逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的 倍，求风速是多少？
（2）如果设从家到书店的路程为 千米，无风时骑车速度为 千米/时，风速为 千米/时 ，求出有风往返一趟的时间，无风往返一趟的时间，请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.
【答案】（1）解：设当天的风速为 ．根据题意，得
.
解这个方程，得
经检验， 是所列方程的解．
答：当天的风速为 ．
（2）解：有风往返一趟的时间为 小时，
无风往返一趟的时间为 小时．
，
又 ，
，即 ．
有风往返一趟的时间 无风往返一趟的时间，即亮亮说得对。
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设当天的风速为x km/h，根据逆风去教育局所用时间是顺风回学校所用时间的 倍列出方程并解答；
（2）分别求得有风和无风两种情况下所需要的时间，然后比较大小即可．
24．（2020七下·慈溪期末）阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ 。在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， ，…这样的分式是假分式；如 与 …这样的分式是真分式。类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)的形式。
例如：将分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
方法1： = = =x-1-
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数)
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x +(a+3)x+(3a+b)
∴x +2x-5=x +(a+3)x+(3a+b)
对于任意x，上述等式均成立，
∴ ，解得
∴x +2x-5=(x+3)(x-1)-2
∴ = = =x-1-
这样，分式 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
【材料2】对于式子2+ ，由x2≥0知1+x 的最小值为1，所以 的最大值为3，
所以2+ 的最大值为5。
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式 是 分式(填“真”或“假”)。
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式：
① = + 。
② = + 。
（3）把分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数。
（4）当x的值变化时，求分式 的最大值。
【答案】（1）真
（2）2；；x；
（3）解： = = =x+5+
若原分式的值为整数，则x-3=±1或x-3=±2
①若x-3=1，则x=4；
②若x-3=-1，则x=2；
③若x-3=2，则x=5；
④若x-3=-2，则x=1。
∴当x=4或2或5或1时，原分式的值为整数．
（4）解： = =2+ =2+
∵(x-1) ≥0，
∴(x-1) +1有最小值1
∴ 有最大值4，
∴2+ 有最大值6，
∴当x的值变化时，原分式的最大值是6
【知识点】分式的值；分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）原式=
∴是真分式.
故答案为：真.
【分析】（1）将原式转化为，再转化，可作出判断。
（2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案。
（3）根据分母为（x-3），空降原方式转化为x+5+ ，再根据原分式的值为整数，可得到x-3=±1或x-3=±2，分别求出x的值即可。
（4）先将分式转化为2+ ，根据分母可知分母的最小值为1，由此可得到的最大值为4，由此可得到原分式的最大值为6.
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