初中数学浙教版七年级下册3.3 多项式的乘法 同步训练
一、基础巩固
1．要使多项式(x2－px＋2)(x－q)不含x的二次项，则p与q的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为－1
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(x2－px＋2)(x－q)
=x3-qx2-px2+pqx+2x-2q
=x3-（p+q）x2+(pq+2)x-2q
∵ 多项式(x2－px＋2)(x－q)不含x的二次项，
∴-（p+q）=0
∴p+q=0
则p与q的关系为互为相反数.
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项，然后根据已知多项式不含x的二次项，就可得到-（p+q）=0，继而可得p与q的关系。
2．（2020八上·遂宁期末）如果二次三项式 可分解为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： =x2+（b-1）x-b，
∵二次三项式 可分解为 ，
∴a=b-1，-b=2，
∴a=-3，b=-2.
∴ =-5.
故答案为：B.
【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
3．（2020八上·遂宁期末）若 展开后不含 的一次项，则 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】 ＝x3 3x2 px2＋3px＋qx 3q＝x3＋（ p 3）x2＋（3p＋q）x 3q，
∵结果不含x的一次项，
∴q＋3p＝0．
故答案为：B．
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，令一次项系数为0求出p与q的关系式即可．
4．（2019八上·平潭期中）若 ，则a，b的值分别为（ ）
A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3
C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】 ，故a=2,b=-3，
故答案为：D
【分析】化简 得 ，即可判断.
5．（2019·台湾）计算（2x-3）（3x+4）的结果，与下列哪一个式子相同？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由多项式乘法运算法则得
（2x-3）（3x+4）=6x2+8x-9x-12=6x2-x-12.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化为最简形式即可判断。
6．（2019·武汉模拟）计算(x－1)(x－2)的结果为（ ）
A．x2＋2 B．x2－3x＋2 C．x2－3x－3 D．x2－2x＋2
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】(x－1)(x－2)
= x2－2x－x＋2
= x2－3x＋2.
故答案为：B.
【分析】由多项式乘以多项式法则“用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”计算即可求解。
7．（2019八上·道里期末）随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数 ，规定 ，并且新数 满足交换律、结合律和分配律，则 运算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】(1+i)(2-i)
=2-i+2i-i2
=2+i-(-1)
=3+i
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算，把i2=-1代入即可.
8．（2019八上·长春月考）已知三角形的底边是 cm，高是 cm，则这个三角形的面积是 cm ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】这个三角形的面积是 × × = （12ab-18a2+4b2-6ab）
=
故填：
【分析】根据三角形的面积公式列式计算即可。
9．（2019·下城模拟）若多项式A满足， ，则A= .
【答案】－（a+1）
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），A （﹣a+1）=A [﹣（a﹣1）]=﹣A （a﹣1）=a2﹣1，∴﹣A=a+1，∴A=﹣a﹣1.
故答案为：﹣a﹣1.
【分析】先将等式左边提取负号可得﹣A （a﹣1），然后将等式右边利用平方差公式分解，利用等式的性质可得-A=a+1，从而求出A.
10．（2019七下·宜兴期中）若化简（x+1）（2x+m）的结果中x的一次项系数是-5，则数m的值为 .
【答案】-7
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（x+1）（2x+m）=2x2+mx+2x+m=2x2+(m+2)x+m，
由结果中x的一次项系数是-5，得到m+2=-5，则m=-7。
故答案为：-7。
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，然后合并同类项化为最简形式；进而由结果中x的一次项系数是-5列出方程求解即可。
11．（2019八上·十堰期中）计算：
（1）（3x-1）（2x2+3x-4）
（2）（x+2y）（x2-2xy+4y2）.
【答案】（1）解：（3x-1）（2x2+3x-4）
=6x3+9x2-12x-2x2-3x+4
=6x3+7x2-15x+4
（2）解：（x+2y）（x2-2xy+4y2）
=x3-2x2y+4xy2+2x2y-4xy2+8y3
=x3+8y3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化为最简形式；
（2）用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化为最简形式.
12．（2019八上·凌源月考）若(x2 +mx－8)(x2－3x+n)的展开式中不含 x2和 x3项，求 m和 n的值.
【答案】解：(x +mx－8)(x －3x+n)
=
=
∵展开式中不含 x 和 x 项
∴
解得：
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】利用多项式乘多项式法则将(x +mx－8)(x －3x+n)展开，再令x 和 x 项的系数为0即可.
二、提高训练
13．（2019八上·孝南月考）小思同学用如图所示的A，B，C三类卡片若干张，拼出了一个长为2a＋b、宽为a＋b的长方形图形.请你通过计算求出小思同学拼这个长方形所用A，B，C三类卡片各（ ）张.
A．2张，1张，2张 B．3张，2张，1张
C．2张，1张，1张 D．3张，1张，2张
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】根据题意得：（2a+b）（a+b）=2a2+2ab+ab+b2=2a2+3ab+b2；
∵A、B、C三类卡片的面积分别为ab、b2、a2，∴所以A、B、C三类卡片分别为3张，1张，2张.
故答案为：D.
【分析】根据长方形的面积公式求出拼接后的长方形的面积，再利用多项式的乘法运算法则进行计算，然后根据系数即可得解.
14．（2019七下·蜀山期中）若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b为整数，则ab的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3
＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）
＝2x3﹣ax2﹣5x+5，
∴a﹣2b＝﹣a，
ab+1＝5，
b+3＝5，
∴b＝2，a＝2，
∴ab＝4；
故答案为：C．
【分析】将（2x2+ax-1）（x-b）+3进行多项式乘以多项式展开得到2x3+（a-2b）x2-（ab+1）x+（b+3）=2x3-ax2-5x+5，对比系数即可求解.
15．（2019七下·南海期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A． ， B． ，4 C．3， D．3，4
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】根据题意得，a，b的值只要满足 即可，
A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；
B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；
C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；
D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.
故答案选A.
【分析】根据题意可得规律为 ，再逐一判断即可.
16．（2018七上·虹口期中）如果一个一次二项式与(x2-2x-1)的积所得的多项式中不含一次项，那么这个一次二项式可以是 （只要写出一个符合条件的多项式）．
【答案】2x-1（答案不唯一）
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】设这个一次二项式是ax+b，
则（ax+b）（x2-2x-1）=ax3-2ax2-ax+bx2-2bx-b=ax3+（b-2a）x2+（-a-2b）x-b，
∵所得的积中不含一次项，
∴-a-2b=0，
令a=2，则b=-1，
由于a的值有无数，故答案不唯一．
故答案为：（2x-1）（答案不唯一）．
【分析】利用多项式乘多项式设未知数，构建方程，解这个方程，得到的值根据条件进行化简
17．先阅读再解答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，
例如：
(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②写出一个等式： ；
（2）已知等式：(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．
【答案】（1）(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2
（2）解：如图．(所画图形不唯一)
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据图形，由长方形的面积公式写出等式即可.
（2）根据等式，由长方形的面积公式画出图形即可.
18．（2019八上·北京期中）阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算 所得多项式的一次项系数.
小明想通过计算 所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找 所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
也就是说，只需用 中的一次项系数1乘以 中的常数项3，再用 中的常数项2乘以 中的一次项系数2，两个积相加 ，即可得到一次项系数.
延续上面的方法，求计算 所得多项式的一次项系数，可以先用 的一次项系数1， 的常数项3， 的常数项4，相乘得到12；再用 的一次项系数2， 的常数项2， 的常数项4，相乘得到16；然后用 的一次项系数3， 的常数项2 的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算 所得多项式的一次项系数为 .
（2）计算 所得多项式的一次项系数为 .
（3）若 是 的一个因式，求 、 的值.
【答案】（1）19
（2）1
（3）解：由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，则（x2-3x+1）（x2+mx+2）=x4+ax2+bx+2，
解得：
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，
故答案为：19；（2） 所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，
故答案为：1；
【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a、一次项系数为b列出方程组求出a、b的值，可得答案．
1 / 1初中数学浙教版七年级下册3.3 多项式的乘法 同步训练
一、基础巩固
1．要使多项式(x2－px＋2)(x－q)不含x的二次项，则p与q的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为－1
2．（2020八上·遂宁期末）如果二次三项式 可分解为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
3．（2020八上·遂宁期末）若 展开后不含 的一次项，则 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八上·平潭期中）若 ，则a，b的值分别为（ ）
A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3
C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3
5．（2019·台湾）计算（2x-3）（3x+4）的结果，与下列哪一个式子相同？（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·武汉模拟）计算(x－1)(x－2)的结果为（ ）
A．x2＋2 B．x2－3x＋2 C．x2－3x－3 D．x2－2x＋2
7．（2019八上·道里期末）随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数 ，规定 ，并且新数 满足交换律、结合律和分配律，则 运算结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019八上·长春月考）已知三角形的底边是 cm，高是 cm，则这个三角形的面积是 cm ．
9．（2019·下城模拟）若多项式A满足， ，则A= .
10．（2019七下·宜兴期中）若化简（x+1）（2x+m）的结果中x的一次项系数是-5，则数m的值为 .
11．（2019八上·十堰期中）计算：
（1）（3x-1）（2x2+3x-4）
（2）（x+2y）（x2-2xy+4y2）.
12．（2019八上·凌源月考）若(x2 +mx－8)(x2－3x+n)的展开式中不含 x2和 x3项，求 m和 n的值.
二、提高训练
13．（2019八上·孝南月考）小思同学用如图所示的A，B，C三类卡片若干张，拼出了一个长为2a＋b、宽为a＋b的长方形图形.请你通过计算求出小思同学拼这个长方形所用A，B，C三类卡片各（ ）张.
A．2张，1张，2张 B．3张，2张，1张
C．2张，1张，1张 D．3张，1张，2张
14．（2019七下·蜀山期中）若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b为整数，则ab的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
15．（2019七下·南海期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A． ， B． ，4 C．3， D．3，4
16．（2018七上·虹口期中）如果一个一次二项式与(x2-2x-1)的积所得的多项式中不含一次项，那么这个一次二项式可以是 （只要写出一个符合条件的多项式）．
17．先阅读再解答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，
例如：
(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②写出一个等式： ；
（2）已知等式：(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．
18．（2019八上·北京期中）阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算 所得多项式的一次项系数.
小明想通过计算 所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找 所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
也就是说，只需用 中的一次项系数1乘以 中的常数项3，再用 中的常数项2乘以 中的一次项系数2，两个积相加 ，即可得到一次项系数.
延续上面的方法，求计算 所得多项式的一次项系数，可以先用 的一次项系数1， 的常数项3， 的常数项4，相乘得到12；再用 的一次项系数2， 的常数项2， 的常数项4，相乘得到16；然后用 的一次项系数3， 的常数项2 的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算 所得多项式的一次项系数为 .
（2）计算 所得多项式的一次项系数为 .
（3）若 是 的一个因式，求 、 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(x2－px＋2)(x－q)
=x3-qx2-px2+pqx+2x-2q
=x3-（p+q）x2+(pq+2)x-2q
∵ 多项式(x2－px＋2)(x－q)不含x的二次项，
∴-（p+q）=0
∴p+q=0
则p与q的关系为互为相反数.
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项，然后根据已知多项式不含x的二次项，就可得到-（p+q）=0，继而可得p与q的关系。
2．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： =x2+（b-1）x-b，
∵二次三项式 可分解为 ，
∴a=b-1，-b=2，
∴a=-3，b=-2.
∴ =-5.
故答案为：B.
【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
3．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】 ＝x3 3x2 px2＋3px＋qx 3q＝x3＋（ p 3）x2＋（3p＋q）x 3q，
∵结果不含x的一次项，
∴q＋3p＝0．
故答案为：B．
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，令一次项系数为0求出p与q的关系式即可．
4．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】 ，故a=2,b=-3，
故答案为：D
【分析】化简 得 ，即可判断.
5．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由多项式乘法运算法则得
（2x-3）（3x+4）=6x2+8x-9x-12=6x2-x-12.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化为最简形式即可判断。
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】(x－1)(x－2)
= x2－2x－x＋2
= x2－3x＋2.
故答案为：B.
【分析】由多项式乘以多项式法则“用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”计算即可求解。
7．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】(1+i)(2-i)
=2-i+2i-i2
=2+i-(-1)
=3+i
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算，把i2=-1代入即可.
8．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】这个三角形的面积是 × × = （12ab-18a2+4b2-6ab）
=
故填：
【分析】根据三角形的面积公式列式计算即可。
9．【答案】－（a+1）
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），A （﹣a+1）=A [﹣（a﹣1）]=﹣A （a﹣1）=a2﹣1，∴﹣A=a+1，∴A=﹣a﹣1.
故答案为：﹣a﹣1.
【分析】先将等式左边提取负号可得﹣A （a﹣1），然后将等式右边利用平方差公式分解，利用等式的性质可得-A=a+1，从而求出A.
10．【答案】-7
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（x+1）（2x+m）=2x2+mx+2x+m=2x2+(m+2)x+m，
由结果中x的一次项系数是-5，得到m+2=-5，则m=-7。
故答案为：-7。
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，然后合并同类项化为最简形式；进而由结果中x的一次项系数是-5列出方程求解即可。
11．【答案】（1）解：（3x-1）（2x2+3x-4）
=6x3+9x2-12x-2x2-3x+4
=6x3+7x2-15x+4
（2）解：（x+2y）（x2-2xy+4y2）
=x3-2x2y+4xy2+2x2y-4xy2+8y3
=x3+8y3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化为最简形式；
（2）用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化为最简形式.
12．【答案】解：(x +mx－8)(x －3x+n)
=
=
∵展开式中不含 x 和 x 项
∴
解得：
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】利用多项式乘多项式法则将(x +mx－8)(x －3x+n)展开，再令x 和 x 项的系数为0即可.
13．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】根据题意得：（2a+b）（a+b）=2a2+2ab+ab+b2=2a2+3ab+b2；
∵A、B、C三类卡片的面积分别为ab、b2、a2，∴所以A、B、C三类卡片分别为3张，1张，2张.
故答案为：D.
【分析】根据长方形的面积公式求出拼接后的长方形的面积，再利用多项式的乘法运算法则进行计算，然后根据系数即可得解.
14．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3
＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）
＝2x3﹣ax2﹣5x+5，
∴a﹣2b＝﹣a，
ab+1＝5，
b+3＝5，
∴b＝2，a＝2，
∴ab＝4；
故答案为：C．
【分析】将（2x2+ax-1）（x-b）+3进行多项式乘以多项式展开得到2x3+（a-2b）x2-（ab+1）x+（b+3）=2x3-ax2-5x+5，对比系数即可求解.
15．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】根据题意得，a，b的值只要满足 即可，
A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；
B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；
C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；
D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.
故答案选A.
【分析】根据题意可得规律为 ，再逐一判断即可.
16．【答案】2x-1（答案不唯一）
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】设这个一次二项式是ax+b，
则（ax+b）（x2-2x-1）=ax3-2ax2-ax+bx2-2bx-b=ax3+（b-2a）x2+（-a-2b）x-b，
∵所得的积中不含一次项，
∴-a-2b=0，
令a=2，则b=-1，
由于a的值有无数，故答案不唯一．
故答案为：（2x-1）（答案不唯一）．
【分析】利用多项式乘多项式设未知数，构建方程，解这个方程，得到的值根据条件进行化简
17．【答案】（1）(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2
（2）解：如图．(所画图形不唯一)
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据图形，由长方形的面积公式写出等式即可.
（2）根据等式，由长方形的面积公式画出图形即可.
18．【答案】（1）19
（2）1
（3）解：由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，则（x2-3x+1）（x2+mx+2）=x4+ax2+bx+2，
解得：
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，
故答案为：19；（2） 所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，
故答案为：1；
【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a、一次项系数为b列出方程组求出a、b的值，可得答案．
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