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初中数学浙教版七年级下册3.4 乘法公式-完全平方公式及其运用 同步训练
一、基础夯实
1．(-5x2 + 4 y2 )(5x2 - 4 y2 ) 运算的结果是（ ）
A．-25x4 -16 y4 B．-25x4 +40x2 y2 -16 y4
C．25x4 -16 y4 D．25x4 - 40x2 y2 +16 y4
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式=-（ 5x2 - 4 y2 ）2= -25x4 +40x2 y2 -16 y4.
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式进行计算，然后判断即可.
2．（2019七下·利辛期末）若a+b=7，ab=5，则(a-b)2=（ ）
A．25 B．29 C．69 D．75
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式=a2-2ab+b2=a2+2ab+b2-4ab
=（a+b）2-4ab
=72-4×5
=49-20
=29.
故答案为：B。
【分析】根据完全平方公式的变形进行求解即可。
3．（2020八上·昆明期末）已知 +m = 3，则 的值是（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ +m = 3，
∴( +m)2＝9，
∴，
∴＝7，
故答案为：B．
【分析】将已知等式平方后再展开，然后即可得到所求式子的结果．
4．若(x+y)2 = 9 ， (x - y)2 = 1，则 xy 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵(x+y)2 = 9 ，∴x2+2xy+y2=9①
∵(x - y)2 = 1，∴x2-2xy+y2=1②
①-②得4xy=8,
∴xy=2.
故选A.
【分析】利用完全平方公式将两式分别展开得x2+2xy+y2=9，①x2-2xy+y2=1②，将①-②即可求出结论.
5．已知 a-b=1，a2+b2=25，则 a+b 的值为（ ）
A．7 B．-7 C．±9 D．±7
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：解：∵a-b=1
∴（a-b）2=1即a2+b2-2ab=1
∵ a2+b2=25，
∴25-2ab=1
解之：2ab=24,
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25+24=49
∴a+b=±7.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件a-b=1可得到a2+b2-2ab=1，整体代入求出2ab的值，再求出（a+b）2的值，然后开方求出a+b的值。
6．（2019八上·武汉月考）若x＋y＝7，xy＝10，则x2－xy＋y2的值为（ ）
A．30 B．39 C．29 D．19
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】x2－xy＋y2= x2+2xy＋y2-3xy=(x+y) 2-3xy,
把x＋y＝7，xy＝10，代入原式=72-3×10=19.
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2之间的关系.进行变形计算即可.
7．（2019七下·和平月考）已知 成立，则k的值为（ ）
A．3 B．-3 C．-6 D．6
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 (a+3b)2
=a2+
=a2+6ab+9b2,
又因为a2+kab+9b2=(a+3b)2，
所以k=6.
故答案为：D.
【分析】根据分解因式与多项式乘法是互逆运算，把完全平方公式展开再利用对应项系数相等即可求解．
8．
如果正方形面积是9x2+6xy+y2（x＞0，y＞0），则这个正方形周长是 ．
【答案】12x+4y
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ 正方形面积是9x2+6xy+y2=（3x+y） 2，
∴这个正方形的边长为（3x+y）
∴正方形的周长为4（3x+y）=12x+4y.
故答案为：12x+4y.
【分析】利用完全平方公式将正方形的面积转化为（3x+y） 2，即可得到正方形的边长，然后求出此正方形的周长即可。
9．（2020·郑州模拟）若x= -1， 则x2+2x+1= .
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵x= -1，
∴x2+2x+1=(x+1)2=( -1+1)2=2，
故答案为：2.
【分析】先利用完全平方公式对所求式子进行变形，然后代入x的值进行计算即可.
10．（2019八上·凌源月考）若x+y＝3且xy＝1，那么代数式x2﹣2xy+ ＝ .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
=
=
将x+y＝3，xy＝1代入得：
原式=
=
故答案为：5
【分析】根据完全平方公式的变形计算即可.
11．已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：
（1）(x+2)(y+2)
（2）(x-y)2
【答案】（1）解：(x+2)(y+2)
=xy+2(x+y)+4
=4+12+4=20
（2）解：(x-y)2
=(x+y)2-4xy
=46-16
=20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用多项式与多项式相乘，将原式去括号、合并可得 xy+2(x+y)+4 ，然后整体代入计算即可;
（2）利用配方将原式变形为(x+y)2-4xy，然后整体代入计算即可.
二、提高训练
12．（2020八上·张掖期末）已知a＝2 002x＋2 003，b＝2 002x＋2 004，c＝2 002x＋2 005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，
∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ca= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca），
= [（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]，
= [（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，
= ×（1+1+4），
=3．
故答案为：D．
【分析】先求出（a-b）、（b-c）、（a-c）的值，再把所给式子整理为含（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，代入求值即可．
13．若代数式x2-6x+b可化为(x-a)2-1，则b-a的值是（ ）
A．5 B．－5 C．11 D．－11
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】由x2-6x+b=x2-6x+9+(b-9)=(x-3)2+(b-9)=(x-a)2-1，
所以a=3，b-9=-1，即a=3，b=8，
故b-a=5．
故选A．
【分析】利用配方法可得x2-6x+b=(x-3)2+(b-9)，从而可得(x-3)2+(b-9)=(x-a)2-1，继而得出a=3，b-9=-1，求出a、b的值并代入计算即可.
14．（2019·绍兴模拟）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】根据完全平方公式可得 ， ，再把两式相加即可求得结果.
由题意得 ，
把两式相加可得 ，则
故答案为：C.
【分析】由题意将两个等式用完全平方公式展开，并把展开后的两个等式相加整理即可求解。
15．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2 * ab + 9b2 ，则中间一项的系数是 ．
【答案】±12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（2a3b）2= 4a212ab + 9b2 ,
∴染黑的部分为.
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式(a b)2=a2 2ab+b2进行判断即可.
16．（2019八上·孝南月考）已知a－b＝7，ab＝－10.求：
（1）a2＋b2的值；
（2）(a＋b)2＋2(a－b)2的值.
【答案】（1）解：∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49.
∵ab=﹣10，∴a2﹣2×（﹣10）+b2=49，∴a2+b2=29
（2）解：∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49，∴a2+2ab+b2﹣4ab=49，∴（a+b）2﹣4ab=49，∴（a+b）2=49+4ab.
∵ab=﹣10，∴（a+b）2=9，∴（a+b）2+2（a﹣b）2
=9+2×49
=9+98
=107
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据a﹣b=7，ab=﹣10，通过变形可以求得a2+b2的值；（2）根据a﹣b=7，ab=﹣10，可以求得）（a+b）2和（a﹣b）2的值，从而可以解答本题.
17．（2019八上·湛江期中）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论。
【答案】解：证明：△ABC是等边三角形，证明如下：
∵2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0
a=b，a=c，b=c
即可a=b=c
∴△ABC是等边三角形
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】通过”拆项法“将原式利用完全平方公式分组因式分解，然后利用非负数的性质得到三边关系，从而可判定该三角形形状。
18．（2020八上·滨州期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系是 ；
（3）若x+y=-6，xy=2.75，求x-y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
【答案】（1）(m-n)2(或（m+n）2-4mn)
（2）（m+n）2= (m-n)2 +4mn
（3）解：由（2）可知
（x+y）2=(x-y)2-4xy
∵x+y=-6，xy=2.75，
∴36==(x-y)2+4×2.75
∴(x-y)2=25
∴x-y=±5
（4）解：(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先求出图中阴影部分所表示的正方形的边长，然后利用正方形的面积公式即可得解；
（2）由大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个全等的小长方形的面积即可得解；
（3）利用（2）所得的等式代入求值即可；
（4）先表示出大长方形的长和宽，然后利用大长方形的面积等于图中三个正方形和三个长方形的面积的和即可得解。
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初中数学浙教版七年级下册3.4 乘法公式-完全平方公式及其运用 同步训练
一、基础夯实
1．(-5x2 + 4 y2 )(5x2 - 4 y2 ) 运算的结果是（ ）
A．-25x4 -16 y4 B．-25x4 +40x2 y2 -16 y4
C．25x4 -16 y4 D．25x4 - 40x2 y2 +16 y4
2．（2019七下·利辛期末）若a+b=7，ab=5，则(a-b)2=（ ）
A．25 B．29 C．69 D．75
3．（2020八上·昆明期末）已知 +m = 3，则 的值是（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
4．若(x+y)2 = 9 ， (x - y)2 = 1，则 xy 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知 a-b=1，a2+b2=25，则 a+b 的值为（ ）
A．7 B．-7 C．±9 D．±7
6．（2019八上·武汉月考）若x＋y＝7，xy＝10，则x2－xy＋y2的值为（ ）
A．30 B．39 C．29 D．19
7．（2019七下·和平月考）已知 成立，则k的值为（ ）
A．3 B．-3 C．-6 D．6
8．
如果正方形面积是9x2+6xy+y2（x＞0，y＞0），则这个正方形周长是 ．
9．（2020·郑州模拟）若x= -1， 则x2+2x+1= .
10．（2019八上·凌源月考）若x+y＝3且xy＝1，那么代数式x2﹣2xy+ ＝ .
11．已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：
（1）(x+2)(y+2)
（2）(x-y)2
二、提高训练
12．（2020八上·张掖期末）已知a＝2 002x＋2 003，b＝2 002x＋2 004，c＝2 002x＋2 005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．若代数式x2-6x+b可化为(x-a)2-1，则b-a的值是（ ）
A．5 B．－5 C．11 D．－11
14．（2019·绍兴模拟）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
15．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2 * ab + 9b2 ，则中间一项的系数是 ．
16．（2019八上·孝南月考）已知a－b＝7，ab＝－10.求：
（1）a2＋b2的值；
（2）(a＋b)2＋2(a－b)2的值.
17．（2019八上·湛江期中）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论。
18．（2020八上·滨州期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系是 ；
（3）若x+y=-6，xy=2.75，求x-y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式=-（ 5x2 - 4 y2 ）2= -25x4 +40x2 y2 -16 y4.
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式进行计算，然后判断即可.
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式=a2-2ab+b2=a2+2ab+b2-4ab
=（a+b）2-4ab
=72-4×5
=49-20
=29.
故答案为：B。
【分析】根据完全平方公式的变形进行求解即可。
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ +m = 3，
∴( +m)2＝9，
∴，
∴＝7，
故答案为：B．
【分析】将已知等式平方后再展开，然后即可得到所求式子的结果．
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵(x+y)2 = 9 ，∴x2+2xy+y2=9①
∵(x - y)2 = 1，∴x2-2xy+y2=1②
①-②得4xy=8,
∴xy=2.
故选A.
【分析】利用完全平方公式将两式分别展开得x2+2xy+y2=9，①x2-2xy+y2=1②，将①-②即可求出结论.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：解：∵a-b=1
∴（a-b）2=1即a2+b2-2ab=1
∵ a2+b2=25，
∴25-2ab=1
解之：2ab=24,
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25+24=49
∴a+b=±7.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件a-b=1可得到a2+b2-2ab=1，整体代入求出2ab的值，再求出（a+b）2的值，然后开方求出a+b的值。
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】x2－xy＋y2= x2+2xy＋y2-3xy=(x+y) 2-3xy,
把x＋y＝7，xy＝10，代入原式=72-3×10=19.
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2之间的关系.进行变形计算即可.
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 (a+3b)2
=a2+
=a2+6ab+9b2,
又因为a2+kab+9b2=(a+3b)2，
所以k=6.
故答案为：D.
【分析】根据分解因式与多项式乘法是互逆运算，把完全平方公式展开再利用对应项系数相等即可求解．
8．【答案】12x+4y
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ 正方形面积是9x2+6xy+y2=（3x+y） 2，
∴这个正方形的边长为（3x+y）
∴正方形的周长为4（3x+y）=12x+4y.
故答案为：12x+4y.
【分析】利用完全平方公式将正方形的面积转化为（3x+y） 2，即可得到正方形的边长，然后求出此正方形的周长即可。
9．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵x= -1，
∴x2+2x+1=(x+1)2=( -1+1)2=2，
故答案为：2.
【分析】先利用完全平方公式对所求式子进行变形，然后代入x的值进行计算即可.
10．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
=
=
将x+y＝3，xy＝1代入得：
原式=
=
故答案为：5
【分析】根据完全平方公式的变形计算即可.
11．【答案】（1）解：(x+2)(y+2)
=xy+2(x+y)+4
=4+12+4=20
（2）解：(x-y)2
=(x+y)2-4xy
=46-16
=20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用多项式与多项式相乘，将原式去括号、合并可得 xy+2(x+y)+4 ，然后整体代入计算即可;
（2）利用配方将原式变形为(x+y)2-4xy，然后整体代入计算即可.
12．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，
∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ca= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca），
= [（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]，
= [（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，
= ×（1+1+4），
=3．
故答案为：D．
【分析】先求出（a-b）、（b-c）、（a-c）的值，再把所给式子整理为含（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，代入求值即可．
13．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】由x2-6x+b=x2-6x+9+(b-9)=(x-3)2+(b-9)=(x-a)2-1，
所以a=3，b-9=-1，即a=3，b=8，
故b-a=5．
故选A．
【分析】利用配方法可得x2-6x+b=(x-3)2+(b-9)，从而可得(x-3)2+(b-9)=(x-a)2-1，继而得出a=3，b-9=-1，求出a、b的值并代入计算即可.
14．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】根据完全平方公式可得 ， ，再把两式相加即可求得结果.
由题意得 ，
把两式相加可得 ，则
故答案为：C.
【分析】由题意将两个等式用完全平方公式展开，并把展开后的两个等式相加整理即可求解。
15．【答案】±12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（2a3b）2= 4a212ab + 9b2 ,
∴染黑的部分为.
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式(a b)2=a2 2ab+b2进行判断即可.
16．【答案】（1）解：∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49.
∵ab=﹣10，∴a2﹣2×（﹣10）+b2=49，∴a2+b2=29
（2）解：∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49，∴a2+2ab+b2﹣4ab=49，∴（a+b）2﹣4ab=49，∴（a+b）2=49+4ab.
∵ab=﹣10，∴（a+b）2=9，∴（a+b）2+2（a﹣b）2
=9+2×49
=9+98
=107
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据a﹣b=7，ab=﹣10，通过变形可以求得a2+b2的值；（2）根据a﹣b=7，ab=﹣10，可以求得）（a+b）2和（a﹣b）2的值，从而可以解答本题.
17．【答案】解：证明：△ABC是等边三角形，证明如下：
∵2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0
a=b，a=c，b=c
即可a=b=c
∴△ABC是等边三角形
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】通过”拆项法“将原式利用完全平方公式分组因式分解，然后利用非负数的性质得到三边关系，从而可判定该三角形形状。
18．【答案】（1）(m-n)2(或（m+n）2-4mn)
（2）（m+n）2= (m-n)2 +4mn
（3）解：由（2）可知
（x+y）2=(x-y)2-4xy
∵x+y=-6，xy=2.75，
∴36==(x-y)2+4×2.75
∴(x-y)2=25
∴x-y=±5
（4）解：(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先求出图中阴影部分所表示的正方形的边长，然后利用正方形的面积公式即可得解；
（2）由大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个全等的小长方形的面积即可得解；
（3）利用（2）所得的等式代入求值即可；
（4）先表示出大长方形的长和宽，然后利用大长方形的面积等于图中三个正方形和三个长方形的面积的和即可得解。
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