初中数学浙教版七年级下册3.4 乘法公式-平方差公式及其运用 同步训练
一、基础夯实
1．（2020八上·张掖期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．(-a-b)(a+b) B．(-a-b)(a-b)
C．(-a+b-c)(-a+b-c) D．(-a+b)(a-b)
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A.（－a－b)(a+b)=－(a+b)(a+b)，不符合平方差公式，故本选项错误；
B.(－a－b)(a－b)=－(a+b)(a－b)=－(a2－b2)=b2－a2，符合平方差公式，故本选项正确；
C.(－a+b－c)(－a+b－c)=(a－b+c)(a－b+c)=(a－b+c)2，不符合平方差公式，故本选项错误；
D.(－a+b)(a－b)=－(a－b)(a－b)，不符合平方差公式，故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】两个多项式相乘如果满足：①两个多项式的项数一样，②两个多项式中有一些项完全相同，剩下的项只有符号不同，那么这样的两个多项式相乘即可使用平方差公式.
2．（2019七下·梅江月考）下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A. 原式=( 3y+4x)( 3y 4x)，可以运用平方差公式，故本选项不符合题意；
B. 符合两个数的和与这两个数差的积的形式，可以运用平方差公式，故本选项不符合题意；
C. 可以把 c+a看做一个整体，故原式=( c+a+b)( c+a b)，可以运用平方差公式，故本选项不符合题意；
D. 不能整理为两个数的和与这两个数差的积的形式，所以不可以运用平方差公式，故本选项符合题意。
故答案为：D.
【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于证两个数平方差，即（a+b）(a-b)=a2-b2，据此逐一判断即可.
3．（2019八上·海安期中）下列两个多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ）
A．(-5a+2b)(5a+2b) B．(-5a+2b)(-5a-2b)
C．(-5a-2b)(5a-2b) D．(5a+2b)(-5a-2b)
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. (-5a+2b)(5a+2b) ，2b和2b相同，-5a和5a互为相反数，故可以；
B. (-5a+2b)(-5a-2b) ，-5a和-5a相同，2b和-2b互为相反数，故可以；
C. (-5a-2b)(5a-2b) ，-5a和5a互为相反数，-2b和-2b相同，故可以；
D. (5a+2b)(-5a-2b) ，-5a和5a互为相反数，2b和-2b互为相反数，故不可以；
故答案为D.
【分析】根据（a+b）(a-b)=a2-b2进行判断即可.
4．（2019七下·蜀山期中）下列运算正确是（ ）
A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2
B．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2
C．（﹣x+3y）（x﹣3y）＝﹣x2﹣9y2
D．（﹣x﹣3y）（x+3y）＝x2﹣9y2
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2，不符合题意；
C、（﹣x+3y）（x﹣3y）＝﹣x2﹣9y2+6xy，不符合题意；
D、（﹣x﹣3y）（x+3y）＝﹣x2﹣9y2﹣6xy，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的结构即可作出判断．
5．（2019八上·偃师期中）已知 则 的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵a+b=2，
∴a2-b2+4b=（a-b）（a+b）+4b，
=2（a-b）+4b，
=2a-2b+4b，
=2（a+b），
=2×2，
=4.
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式分解因式，可将代数式转化为2（a-b）+4b，再代入可转化为2（a+b），然后代入求值。
6．（2020八上·德城期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）,把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2 b2；
拼成的长方形的面积为：（a＋b）（a b），
所以验证的等式为：a2 b2＝（a＋b）（a b），
故答案为：A．
【分析】已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2 b2；因为拼成的长方形的长为（a＋b），宽为（a b），则面积为（a＋b）（a b），根据面积相等，进而得出结论．
7．（2019八上·椒江期中）如果 表示的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】对 因式分解，可得
，
∵ ，
即 ，
∴m表示的式子为 .
故选A.
【分析】根据平方差公式可得 ，再结合已知条件即可求解.
8．（2019七下·新吴期中）如图，在边长为 a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形( a > b )，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是 （ ）
A．a2 - b2 = (a + b)(a - b) B．(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C．(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 D．a2 - ab = a(a - b)
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）.
故答案为：A.
【分析】利用割补法可知第一个图形阴影部分的面积为a2-b2；第二个梯形的上底是2b，下底是2a，高是（a-b），根据梯形的面积计算公式得出（a+b）（a-b），根据两个图形的阴影部分的面积相等即可得出a2-b2=（a+b）（a-b）。
9．（2019八上·偃师期中）若（―x ―4y )·A＝16y4―x4,则A＝ .
【答案】-4y +x
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
∴A=-（ ）=-4y +x
故答案为：-4y +x .
【分析】将等式的右边利用平方差公式分解因式，然后两边同时除以（x2+4y2），即可得到A的值。
10．（2019八上·宽城月考）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是 .
【答案】a2-b2=（a+b）（a-b）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】根据题意得：
图1中阴影部分的面积为：a2-b2；
图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b）．
∵两图形阴影面积相等，
∴可以得到的结论是：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【分析】分别求出图1和图2阴影部分的面积，由两图形阴影面积相等即得结论.
11．（2019八上·永登期末）计算：（ ）2015（ ）2016＝ ．
【答案】2-
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
＝
＝
＝2-
故答案是：2－ ．
【分析】根据平方差公式:可求解。
12．（2019七下·岑溪期末）利用乘法公式计算：598×602
【答案】解：原式＝（600﹣2）（600+2），
＝6002﹣22，
＝360000﹣4，
＝359996
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】把598变为600减2,602变为600+2，利用平方差公式继续计算，再进行平方运算，相减即可得出结果。
13．当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除吗？说明理由．
【答案】解：(n+7)2-(n-5)2=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]=24n，当n为自然数时，24n就是24的倍数．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】 原式利用平方差公式进行因式分解，然后整理得出结果为24n，据此判断即可.
二、提高训练
14．（2018八上·许昌期末）在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表.用这些简单的平方表，他们很快算出两数的乘积.例如：对于95×103，美索不达米亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2=99；第二步：（103-95）÷2=4；第三步：查平方表，知99的平方是9801；第四步：查平方表，知4的平方是16；第五步：9801-16=9785=95×103. 请结合以上实例，设两因数分别为a和 b,写出蕴含其中道理的整式运算（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据题目中所给出的式子，整合计算，即可得出公式.
15．两个连续奇数的平方差是（ ）
A．16的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．6的倍数
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设这两个连续奇数分别为2n-1，2n+1（n为整数），则
（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数。
故答案为：B.
【分析】先表示出这两个连续奇数，再计算出它们的平方差，即可发现所求结果。
16．（2019七下·桂平期末）观察下面的解题过程，然后化简：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝ ．
【答案】 （316﹣1）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（34-1）（34+1）（38+1）
=（38-1）（38+1）
=（316-1）
故答案为：（316-1）
【分析】将原式恒等变形，使第一项和第二项能用平方差公式计算，平方差的结果正好和后一项又能运用平方差公式继续计算，这样反复计算，一直到最后一项即可。
17．（2019八下·顺德月考）
（1）计算下列各式，并寻找规律：
① =（_+_）（_-_）=
② =（_+_）（_-_）=_；
（2）运用（1）中所发现的规，计算： ;
（3）猜想 的结果，并写出推理过程.
【答案】（1）解：① ；
② ；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 .
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可；（2）先根据平方差公式化简，再进行约分计算即可；（3）根据（2）解题思路，先根据平方差公式化简，再进行约分计算即可.
1 / 1初中数学浙教版七年级下册3.4 乘法公式-平方差公式及其运用 同步训练
一、基础夯实
1．（2020八上·张掖期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．(-a-b)(a+b) B．(-a-b)(a-b)
C．(-a+b-c)(-a+b-c) D．(-a+b)(a-b)
2．（2019七下·梅江月考）下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019八上·海安期中）下列两个多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ）
A．(-5a+2b)(5a+2b) B．(-5a+2b)(-5a-2b)
C．(-5a-2b)(5a-2b) D．(5a+2b)(-5a-2b)
4．（2019七下·蜀山期中）下列运算正确是（ ）
A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2
B．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2
C．（﹣x+3y）（x﹣3y）＝﹣x2﹣9y2
D．（﹣x﹣3y）（x+3y）＝x2﹣9y2
5．（2019八上·偃师期中）已知 则 的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2020八上·德城期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）,把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）
7．（2019八上·椒江期中）如果 表示的式子为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019七下·新吴期中）如图，在边长为 a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形( a > b )，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是 （ ）
A．a2 - b2 = (a + b)(a - b) B．(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C．(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 D．a2 - ab = a(a - b)
9．（2019八上·偃师期中）若（―x ―4y )·A＝16y4―x4,则A＝ .
10．（2019八上·宽城月考）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是 .
11．（2019八上·永登期末）计算：（ ）2015（ ）2016＝ ．
12．（2019七下·岑溪期末）利用乘法公式计算：598×602
13．当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除吗？说明理由．
二、提高训练
14．（2018八上·许昌期末）在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表.用这些简单的平方表，他们很快算出两数的乘积.例如：对于95×103，美索不达米亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2=99；第二步：（103-95）÷2=4；第三步：查平方表，知99的平方是9801；第四步：查平方表，知4的平方是16；第五步：9801-16=9785=95×103. 请结合以上实例，设两因数分别为a和 b,写出蕴含其中道理的整式运算（ ）
A． B．
C． D．
15．两个连续奇数的平方差是（ ）
A．16的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．6的倍数
16．（2019七下·桂平期末）观察下面的解题过程，然后化简：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝ ．
17．（2019八下·顺德月考）
（1）计算下列各式，并寻找规律：
① =（_+_）（_-_）=
② =（_+_）（_-_）=_；
（2）运用（1）中所发现的规，计算： ;
（3）猜想 的结果，并写出推理过程.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A.（－a－b)(a+b)=－(a+b)(a+b)，不符合平方差公式，故本选项错误；
B.(－a－b)(a－b)=－(a+b)(a－b)=－(a2－b2)=b2－a2，符合平方差公式，故本选项正确；
C.(－a+b－c)(－a+b－c)=(a－b+c)(a－b+c)=(a－b+c)2，不符合平方差公式，故本选项错误；
D.(－a+b)(a－b)=－(a－b)(a－b)，不符合平方差公式，故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】两个多项式相乘如果满足：①两个多项式的项数一样，②两个多项式中有一些项完全相同，剩下的项只有符号不同，那么这样的两个多项式相乘即可使用平方差公式.
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A. 原式=( 3y+4x)( 3y 4x)，可以运用平方差公式，故本选项不符合题意；
B. 符合两个数的和与这两个数差的积的形式，可以运用平方差公式，故本选项不符合题意；
C. 可以把 c+a看做一个整体，故原式=( c+a+b)( c+a b)，可以运用平方差公式，故本选项不符合题意；
D. 不能整理为两个数的和与这两个数差的积的形式，所以不可以运用平方差公式，故本选项符合题意。
故答案为：D.
【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于证两个数平方差，即（a+b）(a-b)=a2-b2，据此逐一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. (-5a+2b)(5a+2b) ，2b和2b相同，-5a和5a互为相反数，故可以；
B. (-5a+2b)(-5a-2b) ，-5a和-5a相同，2b和-2b互为相反数，故可以；
C. (-5a-2b)(5a-2b) ，-5a和5a互为相反数，-2b和-2b相同，故可以；
D. (5a+2b)(-5a-2b) ，-5a和5a互为相反数，2b和-2b互为相反数，故不可以；
故答案为D.
【分析】根据（a+b）(a-b)=a2-b2进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2，不符合题意；
C、（﹣x+3y）（x﹣3y）＝﹣x2﹣9y2+6xy，不符合题意；
D、（﹣x﹣3y）（x+3y）＝﹣x2﹣9y2﹣6xy，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的结构即可作出判断．
5．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵a+b=2，
∴a2-b2+4b=（a-b）（a+b）+4b，
=2（a-b）+4b，
=2a-2b+4b，
=2（a+b），
=2×2，
=4.
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式分解因式，可将代数式转化为2（a-b）+4b，再代入可转化为2（a+b），然后代入求值。
6．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2 b2；
拼成的长方形的面积为：（a＋b）（a b），
所以验证的等式为：a2 b2＝（a＋b）（a b），
故答案为：A．
【分析】已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2 b2；因为拼成的长方形的长为（a＋b），宽为（a b），则面积为（a＋b）（a b），根据面积相等，进而得出结论．
7．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】对 因式分解，可得
，
∵ ，
即 ，
∴m表示的式子为 .
故选A.
【分析】根据平方差公式可得 ，再结合已知条件即可求解.
8．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）.
故答案为：A.
【分析】利用割补法可知第一个图形阴影部分的面积为a2-b2；第二个梯形的上底是2b，下底是2a，高是（a-b），根据梯形的面积计算公式得出（a+b）（a-b），根据两个图形的阴影部分的面积相等即可得出a2-b2=（a+b）（a-b）。
9．【答案】-4y +x
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
∴A=-（ ）=-4y +x
故答案为：-4y +x .
【分析】将等式的右边利用平方差公式分解因式，然后两边同时除以（x2+4y2），即可得到A的值。
10．【答案】a2-b2=（a+b）（a-b）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】根据题意得：
图1中阴影部分的面积为：a2-b2；
图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b）．
∵两图形阴影面积相等，
∴可以得到的结论是：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【分析】分别求出图1和图2阴影部分的面积，由两图形阴影面积相等即得结论.
11．【答案】2-
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
＝
＝
＝2-
故答案是：2－ ．
【分析】根据平方差公式:可求解。
12．【答案】解：原式＝（600﹣2）（600+2），
＝6002﹣22，
＝360000﹣4，
＝359996
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】把598变为600减2,602变为600+2，利用平方差公式继续计算，再进行平方运算，相减即可得出结果。
13．【答案】解：(n+7)2-(n-5)2=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]=24n，当n为自然数时，24n就是24的倍数．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】 原式利用平方差公式进行因式分解，然后整理得出结果为24n，据此判断即可.
14．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据题目中所给出的式子，整合计算，即可得出公式.
15．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设这两个连续奇数分别为2n-1，2n+1（n为整数），则
（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数。
故答案为：B.
【分析】先表示出这两个连续奇数，再计算出它们的平方差，即可发现所求结果。
16．【答案】 （316﹣1）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（34-1）（34+1）（38+1）
=（38-1）（38+1）
=（316-1）
故答案为：（316-1）
【分析】将原式恒等变形，使第一项和第二项能用平方差公式计算，平方差的结果正好和后一项又能运用平方差公式继续计算，这样反复计算，一直到最后一项即可。
17．【答案】（1）解：① ；
② ；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 .
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可；（2）先根据平方差公式化简，再进行约分计算即可；（3）根据（2）解题思路，先根据平方差公式化简，再进行约分计算即可.
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