浙教版七年级数学下学期期末专项复习 专题02二元一次方程组（含解析）

专题02 二元一次方程组-七年级数学下学期期末专项复习（浙教版）
专题02 二元一次方程组
一、单选题（共30分）
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x，y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一组解是，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若与互为相反数，则，的值分别是（ ）
A． B． C． D．
4．关于、的方程组的解是，则的值是（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2
5．一个数在数轴上表示的点是，当点在数轴上向左平移了3个单位长度后到点，点与点表示的数恰好互为相反数，则数是（ ）
A．1.5 B．3 C． D．
6．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去，可以将 B．要消去，可以将
C．要消去，可以将 D．要消去，可以将
7．如图，把一个长为，宽为的长方形分成五块，其中两个大长方形和两个大正方形分别相同，则中间小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
8．春节将至，某超市准备用价格分别是36元和20元的两种糖果混合成的什锦糖出售，混合后什锦糖的价格是28元．若设需要36元的糖果，20元的糖果，则下列方程组中能刻画这一问题中数量关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若和的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．
10．若方程组的解是，则方程组的解是( )
A． B． C． D．
二、填空题（共21分）
11．在中，用y的代数式表示x，则 ．
12．若方程组是二元一次方程组，则a的值为 ．
13．已知关于x、y的方程组，则2x+3y的值是 ．
14．若、的值是方程组的解，则代数式的值为 ．
15．两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在木桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的总长度的，另一根露出水面的长度是它的总长度的，两根铁棒长度之和为，此时木桶中水的深度是 ．
16．若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，则整数 ．
17．已知关于，的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是 ．
三、解答题（共49分）
18．解方程组
19．（1）求二元一次方程的正整数解；
（2）已知m是正整数，且方程组有整数解（均为整数）求m的值．
20．某校开展校园艺术节系列活动，校学生会代表小亮到文体超市购买文具作为奖品．
（1）小亮第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小亮的对话图片，求小亮原计划购买文具袋多少个？
（2）小亮第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小亮购买了钢笔和签字笔各多少支？
21．甲、乙两人共同解方程组．解题时由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，
试计算：（1）a 与b的值；
（2）a2019+(b)2020的值．
22．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为，
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
23．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．
（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
参考答案：
1．A
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可以直接选出答案．
【详解】解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意；
B、中x的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C、不是整式方程，所以不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、只有一个未知数，所以不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2．D
【分析】把代入方程3x﹣ay＝1得出9﹣2a＝1，求出方程的解即可．
【详解】解：把代入方程3x﹣ay＝1
得：9﹣2a＝1，
解得：a＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，以及二元一次方程的解，解题的关键是理解二元一次方程的解．
3．C
【分析】利用互为相反数两数之和为0以及非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可确定出x与y的值．
【详解】解：根据题意得：
+=0，
∴，
①×3+②得：，
解得：x=3，代入②中，
解得：y=1，
∴方程组的解为：，
故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．B
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴，
解得，
所以，．
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出m、n的值是解题的关键．
5．A
【分析】根据题意得出a-3=b，a=-b，求出即可．
【详解】解：设B点表示的数是b，
根据题意得：a-3=b，a=-b，
解得：a=1.5，b=-1.5．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程a-3=b，a=-b．
6．D
【分析】利用加减消元法判断即可．
【详解】解：利用加减消元法解方程组，要消元y
可以将①×3+②×5
要消去x，可以将①×（-5）+②×2
故选：D．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．C
【分析】可以设大正方形的边长为xcm，设小正方形的边长为ycm，根据大长方形的长为26cm，宽为14cm可以得到一个方程组，解得y，即可得小正方形的边长．
【详解】解：设大正方形的边长为xcm，设小正方形的边长为ycm，根据题意得：
，
解得：，
故小正方形的边长为6cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
8．B
【分析】由题意得等量关系：两种糖果混合成的什锦糖；36元/kg的糖果的费用＋20元/kg的糖果的费用＝100kg×28，即可得出方程组．
【详解】解：设需要36元/kg的糖果，20元/kg的糖果，由题意得：
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9．C
【分析】由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又由∠A比∠B的2倍少30°，即可求得∠B的度数．
【详解】解：∵∠A和∠B的两边分别平行，
∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，
∵∠A比∠B的2倍少30°，
即∠A＝2∠B 30°，
∴∠B＝30°或∠B＝70°．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质与方程组的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，注意分类讨论思想的应用．
10．C
【分析】先将化简为，然后用“整体代换”法，求出方程组的解即可；
【详解】解：，
，
设，
，
方程组的解是，
方程组的解为，
，
解得：．
故选C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
11．9-5y
【分析】将y看做已知数，表示出x即可．
【详解】解：x+5y=9，
解得：x=9-5y，
故答案为：9-5y．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x（y）看做已知数，y（x）看做未知数．
12．-3
【分析】根据二元一次方程组的定义得到|a|-2=1且a-3≠0，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值．
【详解】解：∵方程组是二元一次方程组，
∴|a|-2=1且a-3≠0，
∴a=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
13．3
【分析】把第一个方程减去第二个方程，即可得到答案．
【详解】解：，
①-②得：(3x+y)-(x-2y)=5-2，
即：2x+3y=3，
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的加减消元法，通过观察，通过两个方程相减，直接得到答案，是关键．
14．21
【分析】方程组利用加减消元法求解，再将代数式去括号合并，代入计算即可．
【详解】解：，
①×3-②得：，代入①中，
解得：，
∴
=
=
=
=21
故答案为：21．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
15．80
【分析】设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为.根据两根铁棒之和为，两棒未露出水面的长度相等，列方程组求解即可
【详解】设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为.
根据题意得：，
解得：，
∴木桶中水的深度为．
故答案为：80
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，选择适当的未知数，准确列出方程组是解题的关键．
16．0，3，4，5
【分析】先解方程组，用m表示出方程组的解，根据方程组有正整数解得出m的值．
【详解】解：
由②得：x＝3y ③，
把③代入①得：6y my＝6，
∴y＝，
∴x＝，
∵方程组的解是正整数，
∴6 m＞0，
∴m＜6，并且和是正整数，m是整数，
∴m的值为：0，3，4，5．
故答案是：0，3，4，5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
17．
【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，
因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，
所以，
解得：．
故答案为：．
【点睛】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．
18．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解：整理得：，
①×5-②得：2x=-2，
解得：x=-1，代入①中，
解得：y=-1，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．
19．（1），；（2）2
【分析】（1）把y看做已知数求出x，即可确定出正整数解；
（2）利用加减消元法易得x、y的值，由x、y均为整数可解得m的值．
【详解】解：（1）由已知得：，
要使x，y都是正整数，
当y=5时，x=1，
当y=4时，x=，不符合，
当y=3时，x=，不符合，
当y=2时，x=5，
当y=1时，x=，不符合，
则二元一次方程的正整数解为：，；
（2），
①+②得：（3+m）x=10，即x=，
代入②得：y=，
∵方程的解x、y均为整数，
∴3+m既能被10整除也能被15整除，即3+m=5，
解得m=2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程，解二元一次方程组有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
20．（1）13个；（2）小亮购买了钢笔30支，签字笔20支
【分析】（1）设小亮原计划购买文具袋个，根据题意列一元一次方程求解即可；
（2）设小亮购买了钢笔支，签字笔支，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：（1）设小亮原计划购买文具袋个，
依题意得：，
解得：．
答：小亮原计划购买文具袋13个．
（2）设小亮购买了钢笔支，签字笔支，
依题意得：，解得：．
答：小亮购买了钢笔30支，签字笔20支．
【点睛】本题考查一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，理解题意，找准等量关系建立方程或方程组是解题关键．
21．（1），；（2）0
【分析】（1）将代入方程②，求出b的值；将代入方程①，求出a的值；
（2）将所求的a、b的值代入计算即可．
【详解】（1）根据题意，将代入②，得：，即；
将代入①得：得：，即；
（2）a2019+(b)2020
=(-1)2019+（×10）2020
．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．也考查了代数式求值．
22．（1）；（2）x2+4y2=17，xy=2；（3）或
【分析】（1）把第2个方程变形为3（3x 2y）＋2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解；
（2）把第2个方程变形为，再与第1个方程相加，即可求解；
（3）在（2）的条件下可知x，y同号，进而即可求解．
【详解】解：（1），
把②变形为9x 6y＋2y＝19，即3（3x 2y）＋2y＝19③．
把①代入③，得3×5＋2y＝19，
∴y＝2．
把y＝2代入①，得3x 2×2＝5，
∴x＝3．
∴方程组的解为；
（2），
把②变形为：③，
由①+③得：，解得：x2+4y2=17，
把x2+4y2=17，代入②得：2×17+xy=36，解得：xy=2，
综上所述：x2+4y2=17，xy=2；
（3）在（2）的条件下：x，y同号，
∵x，y为整数，
∴或．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，掌握解方程组的方法和步骤是关键，注意整体思想的运用．
23．（1）1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨；（2）①共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车；②最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元
【分析】（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案；
②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨．
（2）①依题意，得：3m+2n＝21，
∴m＝7﹣n．
又∵m，n均为非负整数，
∴或或或．
答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车．
②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元），
方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元），
方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元），
方案4所需租车费为120×7＝840（元）．
∵1020＞960＞900＞840，
故答案为：最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元．
【点睛】本题主要考查列二元一次方程以及利用二元一次方程解决方案问题，正确理想二元一次方程组并运用二元一次方程解决方案问题是本题解题的关键．