浙教版七年级下册第3章 3.4乘法公式 同步练习
一、单选题
1．（2016七下·砚山期中）下列乘法算式中，不能用平方差公式进行运算的是（ ）
A．（m+n）（﹣m﹣n） B．（﹣m+n）（﹣m﹣n）
C．（﹣m﹣n）（m﹣n） D．（m+n）（﹣m+n）
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（m+n）（﹣m﹣n）=﹣（m+n）（m+n）不能用平方差公式，故本选项正确；
B、（﹣m+n）（﹣m﹣n）=（﹣m）2﹣n2，能用平方差公式，故本选项错误；
C、（﹣m﹣n）（m﹣n）=（﹣n）2﹣m2，能用平方差公式，故本选项错误；
D、（m+n）（﹣m+n）=n2﹣m2，能用平方差公式，故本选项错误；
故选A．
【分析】根据平方差公式的特点逐个判断即可．
2．（2016七下·桐城期中）已知9x2﹣30x+m是一个完全平方式，则m的值等于（ ）
A．5 B．10 C．20 D．25
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵30x=2×5×3x，
∴这两个数是3x、5，
∴m=52=25．
故选D．
【分析】根据乘积项先确定出这两个数是3x和5，再根据完全平方公式的结构特点求出5的平方即可．
3．（2015七上·海南期末）如图，把边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为2，则长方形的面积是（ ）
A．2（2a+2） B．2a+4 C．4a+8 D．2（a+4）
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可得，
拼成的长方形一边长为2，它的另一边长为：a+2+a=2a+2，
则拼成的长方形的面积是：（2a+2）×2=2（2a+2），
故选A．
【分析】根据图形可以求得拼成的长方形的另一边长，从而可以求得拼成的长方形的面积．
4．（2015七下·杭州期中）如图，有甲、乙、丙三种地砖，其中甲、乙是正方形，边长分别为a、b，丙是长方形，长为a，宽为b（其中a＞b），如果要用它们拼成若干个边长为（3a+b）的正方形，那么应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是（ ）
A．无法确定 B．2：1：2 C．3：1：2 D．9：1：6
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据公式（3a+b）2=9a2+6ab+b2，可知应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是9：1：6．
故选D．
【分析】拼成一个边长为（3a+b）的正方形所需的甲、乙、丙三种地砖的块数之比即为所求．利用拼图或者公式（3a+b）2=9a2+6ab+b2都可以得出问题的答案．
5．（2015七下·海盐期中）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A．（2a2+5a）cm2 B．（6a+15）cm2
C．（6a+9）cm2 D．（3a+15）cm2
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2
=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）
=3（2a+5）
=6a+15（cm2）．
故选B．
【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．
6．（2015七下·衢州期中）计算下列各式，其结果是4y2﹣1的是（ ）
A．（2y﹣1）2 B．（2y+1）（2y﹣1）
C．（﹣2y+1）（﹣2y+1） D．（﹣2y﹣1）（2y+1）
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、结果是4y2﹣4y+1，故本选项错误；
B、结果是4y2﹣1，故本选项正确；
C、结果是4y2﹣4y+1，故本选项错误；
D、结果是﹣4y2﹣4y﹣1，故本选项错误；
故选B．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．
7．（2015七下·萧山期中）已知：x﹣y=5，（x+y）2=49，则x2+y2的值等于（ ）
A．37 B．27 C．25 D．44
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：将x﹣y=5两边平方得：（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=25①，
再由（x+y）2=x2+y2+2xy=49②，
①+②得：2（x2+y2）=74，
则x2+y2=37．
故选A
【分析】将x﹣y=5两边平方，利用完全平方公式展开，再将第二个等式左边利用完全平方公式展开，两式左右两边相加即可确定出所求式子的值．
8．（2015七下·绍兴期中）设（2a+3b）2=（2a﹣3b）2+A，则A=（ ）
A．6ab B．12ab C．0 D．24ab
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（2a+3b）2=（2a﹣3b）2+4×2a×3b=（2a﹣3b）2+12ab，（2a+3b）2=（2a﹣3b）2+A，
∴A=12ab．
故选：B．
【分析】由完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，得到（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，据此可以作出判断．
9．（2015七下·瑞昌期中）下列计算中正确的是（ ）
A．（x+y）（y﹣x）=x2﹣y2 B．（﹣3x﹣2y）2=9x2+12xy+4y2
C．（3x﹣2）2=9x2﹣4 D．（3x﹣y）（3x+y）=3x2﹣y2
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x+y）（y﹣x）=y2﹣x2，故此选项错误；
B、（﹣3x﹣2y）2=（3x+2y）2=9x2+12xy+4y2，故此选项正确；
C、（3x﹣2）2=9x2﹣12x+4，故此选项错误；
D、（3x﹣y）（3x+y）=9x2﹣y2，故此选项错误；
故选：B．
【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
10．（2015七下·成华期中）若关于x的二次三项式x2﹣ax+36是一个完全平方式，那么a的值是（ ）
A．12 B．±12 C．6 D．±6
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2﹣ax+36是一个完全平方式，
∴a=±12，
故选B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值．
11．（2015七下·南山期中）若a2﹣b2= ，a﹣b= ，则a+b的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a﹣b= ，
∴a+b= ，
故选B
【分析】已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出a+b的值．
12．（2017八上·梁子湖期末）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景；平行四边形的性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2﹣b2，乙的面积=（a+b）（a﹣b）．
即：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
所以验证成立的公式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．
二、填空题
13．（2018七下·桂平期末）若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是 ．
【答案】±20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵4x2+mx+25是完全平方式，
∴这两个数是2x和5，
∴mx=±2×5×2x，
解得m=±20．
【分析】先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．利用乘积二倍项列式求解即可．
14．（2015七下·泗阳期中）已知正方形的边长为a，如果它的边长增加3，那么它的面积增加了 ．
【答案】6a+9
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得其面积增加的是（a+3）2﹣a2=6a+9．
故答案是：6a+9．
【分析】首先表示正方形增加后的边长是a+3，根据正方形面积公式分得到：增加后的面积为：（a+3）2减去原来的面积即可．
15．（2015七下·锡山期中）已知m＞0，如果x2+2（m﹣1）x+16是一个完全平方式，那么m的值为 ．
【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵m＞0，如果x2+2（m﹣1）x+16是一个完全平方式，
∴m﹣1=4，即m=5．
故答案为：5．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
16．（2015七下·深圳期中）已知x+y=﹣5，xy=6，则x2+y2= ．
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x+y=﹣5，
∴（x+y）2=25，
∴x2+2xy+y2=25，
∵xy=6，
∴x2+y2=25﹣2xy=25﹣12=13．
故答案为：13．
【分析】把x+y=﹣5两边平方，根据完全平方公式和已知条件即可求出x2+y2的值．
17．（2015七下·深圳期中）已知（x﹣a）（x+a）=x2﹣9，那么a= ．
【答案】±3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据平方差公式，
（x﹣a）（x+a）=x2﹣a2，
由已知可得，a2=9，
所以，a=± =±3．
故答案为：±3．
【分析】可先将式子（x﹣a）（x+a）变形为x2﹣a2，然后，再根据a2与9的相等关系，来解答出a的值即可．
18．（2017七上·孝南期中）如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则这个长方形的周长是 ．
【答案】4m+12
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由面积的和差，得
长形的面积为（m+3）2﹣m2=（m+3+m）（m+3﹣m）=3（2m+3）．
由长方形的宽为3，可可得长方形的长是（2m+3）．
长方形的周长是2[（2m+3）+3]=4m+12，
故答案为：4m+12．
【分析】根据面积的和差，可得长方形的面积，根据长方形的面积公式，可得长方形的长，根据长方形的周长公式，可得答案．
三、计算题
19．（2017七上·闵行期末）计算：（2x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）．
【答案】解：（2x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）
=4x2﹣4x+1﹣2x2+9
=2x2﹣4x+10．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，再根据合并同类项法则合并即可．
20．（2015七下·成华期中）已知：|3﹣xy|+（x+y﹣2）2=0，求x2+y2+4xy的值．
【答案】解：∵|3﹣xy|+（x+y﹣2）2=0，
∴3﹣xy=0，x+y﹣2=0，
∴xy=3，x+y=2，
∴x2+y2+4xy=（x+y）2+2xy=22+2×3=10
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先根据非负数的性质求得xy=3，x+y=2，再根据完全平方公式，即可解答．
四、综合题
21．（2016七下·会宁期中）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）．
【答案】（1）a2﹣b2
（2）a﹣b；a+b；（a﹣b）（a+b）
（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
22．（2015七下·杭州期中）按要求完成下列各题：
（1）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=9，求a2+b2﹣ab的值；
（2）已知（2015﹣a）（2016﹣a）=2047，试求（a﹣2015）2+（2016﹣a）2的值．
【答案】（1）解：∵（a+b）2=1，（a﹣b）2=9，
∴a2+b2+2ab=1，a2+b2﹣2ab=9．
∴4ab=﹣8，ab=﹣2，
∴a2+b2﹣ab=（a﹣b）2+ab=9+（﹣2）=7
（2）解：（a﹣2015）2+（2016﹣a）2
=（a﹣2015+2016﹣a）2+2（2015﹣a）（2016﹣a）
=1+2×2047
=4095
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式（a+b）2和ab的形式，即可求值；（2）根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，整体代入计算即可．
23．（2016七下·毕节期中）阅读下文，寻找规律：
已知x≠1时，（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4…
（1）（1﹣x）（ ）=1﹣x8
（2）观察上式，并猜想：①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）= ．
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）= ．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）= ．
②1+2+22+23+24+…+22007= ．
【答案】（1）1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7
（2）1﹣xn+1；x11﹣1
（3）﹣63；22008﹣1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）=1﹣x8；（2）观察上式，并猜想：①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1；②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）=x11﹣1；（3）根据你的猜想，计算：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=1﹣26=﹣63；②1+2+22+23+24+…+22007=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+22007）=22008﹣1．
故答案为：（1）1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7；（2）①1﹣xn+1；②x11﹣1；（3）①﹣63；②22008﹣1．
【分析】（1）仿照已知等式得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简两式即可；（3）利用得出的规律化简两式即可．
24．（2015七下·衢州期中）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）
方法1：
方法2：
（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式之间的等量关系；代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=8，ab=7，求a﹣b和a2﹣b2的值．
【答案】（1）（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn
（2）（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
（3）解：∵a+b=8，ab=7，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=82﹣4×7=36，
∴a﹣b=±6，
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=±6×8=±48
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）阴影部分是正方形，正方形的边长是m﹣n，即阴影部分的面积是（m﹣n）2，
又∵阴影部分的面积S=（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn．（2）（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．
【分析】（1）方法一、求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可；
方法二、根据大正方形面积减去4个矩形面积，即可得出答案；（2）根据都表示阴影部分的面积，即可得出等式；（3）根据等式（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab和平方差公式求出即可．
25．（2015七下·邳州期中）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2．
（1）如图2，请用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？
（2）请说明这个等式成立；
（3）已知（2m+n）2=13，（2m﹣n）2=5，请利用上述等式求mn．
【答案】（1）解：阴影部分的面积为：4ab或（a+b）2﹣（a﹣b）2，
得到等式：4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2
（2）解：右边=a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2=4ab=左边，即等式成立
（3）解：（2m+n）2﹣（2m﹣n）2=4×2mn，
13﹣5=8mn，
mn=1
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积，利用完全平方公式，即可解答；（2）根据完全平方公式解答；（3）根据平方差公式解答．
1 / 1浙教版七年级下册第3章 3.4乘法公式 同步练习
一、单选题
1．（2016七下·砚山期中）下列乘法算式中，不能用平方差公式进行运算的是（ ）
A．（m+n）（﹣m﹣n） B．（﹣m+n）（﹣m﹣n）
C．（﹣m﹣n）（m﹣n） D．（m+n）（﹣m+n）
2．（2016七下·桐城期中）已知9x2﹣30x+m是一个完全平方式，则m的值等于（ ）
A．5 B．10 C．20 D．25
3．（2015七上·海南期末）如图，把边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为2，则长方形的面积是（ ）
A．2（2a+2） B．2a+4 C．4a+8 D．2（a+4）
4．（2015七下·杭州期中）如图，有甲、乙、丙三种地砖，其中甲、乙是正方形，边长分别为a、b，丙是长方形，长为a，宽为b（其中a＞b），如果要用它们拼成若干个边长为（3a+b）的正方形，那么应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是（ ）
A．无法确定 B．2：1：2 C．3：1：2 D．9：1：6
5．（2015七下·海盐期中）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A．（2a2+5a）cm2 B．（6a+15）cm2
C．（6a+9）cm2 D．（3a+15）cm2
6．（2015七下·衢州期中）计算下列各式，其结果是4y2﹣1的是（ ）
A．（2y﹣1）2 B．（2y+1）（2y﹣1）
C．（﹣2y+1）（﹣2y+1） D．（﹣2y﹣1）（2y+1）
7．（2015七下·萧山期中）已知：x﹣y=5，（x+y）2=49，则x2+y2的值等于（ ）
A．37 B．27 C．25 D．44
8．（2015七下·绍兴期中）设（2a+3b）2=（2a﹣3b）2+A，则A=（ ）
A．6ab B．12ab C．0 D．24ab
9．（2015七下·瑞昌期中）下列计算中正确的是（ ）
A．（x+y）（y﹣x）=x2﹣y2 B．（﹣3x﹣2y）2=9x2+12xy+4y2
C．（3x﹣2）2=9x2﹣4 D．（3x﹣y）（3x+y）=3x2﹣y2
10．（2015七下·成华期中）若关于x的二次三项式x2﹣ax+36是一个完全平方式，那么a的值是（ ）
A．12 B．±12 C．6 D．±6
11．（2015七下·南山期中）若a2﹣b2= ，a﹣b= ，则a+b的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．2
12．（2017八上·梁子湖期末）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
二、填空题
13．（2018七下·桂平期末）若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是 ．
14．（2015七下·泗阳期中）已知正方形的边长为a，如果它的边长增加3，那么它的面积增加了 ．
15．（2015七下·锡山期中）已知m＞0，如果x2+2（m﹣1）x+16是一个完全平方式，那么m的值为 ．
16．（2015七下·深圳期中）已知x+y=﹣5，xy=6，则x2+y2= ．
17．（2015七下·深圳期中）已知（x﹣a）（x+a）=x2﹣9，那么a= ．
18．（2017七上·孝南期中）如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则这个长方形的周长是 ．
三、计算题
19．（2017七上·闵行期末）计算：（2x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）．
20．（2015七下·成华期中）已知：|3﹣xy|+（x+y﹣2）2=0，求x2+y2+4xy的值．
四、综合题
21．（2016七下·会宁期中）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）．
22．（2015七下·杭州期中）按要求完成下列各题：
（1）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=9，求a2+b2﹣ab的值；
（2）已知（2015﹣a）（2016﹣a）=2047，试求（a﹣2015）2+（2016﹣a）2的值．
23．（2016七下·毕节期中）阅读下文，寻找规律：
已知x≠1时，（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4…
（1）（1﹣x）（ ）=1﹣x8
（2）观察上式，并猜想：①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）= ．
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）= ．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）= ．
②1+2+22+23+24+…+22007= ．
24．（2015七下·衢州期中）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）
方法1：
方法2：
（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式之间的等量关系；代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=8，ab=7，求a﹣b和a2﹣b2的值．
25．（2015七下·邳州期中）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2．
（1）如图2，请用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？
（2）请说明这个等式成立；
（3）已知（2m+n）2=13，（2m﹣n）2=5，请利用上述等式求mn．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（m+n）（﹣m﹣n）=﹣（m+n）（m+n）不能用平方差公式，故本选项正确；
B、（﹣m+n）（﹣m﹣n）=（﹣m）2﹣n2，能用平方差公式，故本选项错误；
C、（﹣m﹣n）（m﹣n）=（﹣n）2﹣m2，能用平方差公式，故本选项错误；
D、（m+n）（﹣m+n）=n2﹣m2，能用平方差公式，故本选项错误；
故选A．
【分析】根据平方差公式的特点逐个判断即可．
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵30x=2×5×3x，
∴这两个数是3x、5，
∴m=52=25．
故选D．
【分析】根据乘积项先确定出这两个数是3x和5，再根据完全平方公式的结构特点求出5的平方即可．
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可得，
拼成的长方形一边长为2，它的另一边长为：a+2+a=2a+2，
则拼成的长方形的面积是：（2a+2）×2=2（2a+2），
故选A．
【分析】根据图形可以求得拼成的长方形的另一边长，从而可以求得拼成的长方形的面积．
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据公式（3a+b）2=9a2+6ab+b2，可知应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是9：1：6．
故选D．
【分析】拼成一个边长为（3a+b）的正方形所需的甲、乙、丙三种地砖的块数之比即为所求．利用拼图或者公式（3a+b）2=9a2+6ab+b2都可以得出问题的答案．
5．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2
=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）
=3（2a+5）
=6a+15（cm2）．
故选B．
【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、结果是4y2﹣4y+1，故本选项错误；
B、结果是4y2﹣1，故本选项正确；
C、结果是4y2﹣4y+1，故本选项错误；
D、结果是﹣4y2﹣4y﹣1，故本选项错误；
故选B．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：将x﹣y=5两边平方得：（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=25①，
再由（x+y）2=x2+y2+2xy=49②，
①+②得：2（x2+y2）=74，
则x2+y2=37．
故选A
【分析】将x﹣y=5两边平方，利用完全平方公式展开，再将第二个等式左边利用完全平方公式展开，两式左右两边相加即可确定出所求式子的值．
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（2a+3b）2=（2a﹣3b）2+4×2a×3b=（2a﹣3b）2+12ab，（2a+3b）2=（2a﹣3b）2+A，
∴A=12ab．
故选：B．
【分析】由完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，得到（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，据此可以作出判断．
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x+y）（y﹣x）=y2﹣x2，故此选项错误；
B、（﹣3x﹣2y）2=（3x+2y）2=9x2+12xy+4y2，故此选项正确；
C、（3x﹣2）2=9x2﹣12x+4，故此选项错误；
D、（3x﹣y）（3x+y）=9x2﹣y2，故此选项错误；
故选：B．
【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2﹣ax+36是一个完全平方式，
∴a=±12，
故选B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值．
11．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a﹣b= ，
∴a+b= ，
故选B
【分析】已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出a+b的值．
12．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景；平行四边形的性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2﹣b2，乙的面积=（a+b）（a﹣b）．
即：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
所以验证成立的公式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．
13．【答案】±20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵4x2+mx+25是完全平方式，
∴这两个数是2x和5，
∴mx=±2×5×2x，
解得m=±20．
【分析】先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．利用乘积二倍项列式求解即可．
14．【答案】6a+9
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得其面积增加的是（a+3）2﹣a2=6a+9．
故答案是：6a+9．
【分析】首先表示正方形增加后的边长是a+3，根据正方形面积公式分得到：增加后的面积为：（a+3）2减去原来的面积即可．
15．【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵m＞0，如果x2+2（m﹣1）x+16是一个完全平方式，
∴m﹣1=4，即m=5．
故答案为：5．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
16．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x+y=﹣5，
∴（x+y）2=25，
∴x2+2xy+y2=25，
∵xy=6，
∴x2+y2=25﹣2xy=25﹣12=13．
故答案为：13．
【分析】把x+y=﹣5两边平方，根据完全平方公式和已知条件即可求出x2+y2的值．
17．【答案】±3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据平方差公式，
（x﹣a）（x+a）=x2﹣a2，
由已知可得，a2=9，
所以，a=± =±3．
故答案为：±3．
【分析】可先将式子（x﹣a）（x+a）变形为x2﹣a2，然后，再根据a2与9的相等关系，来解答出a的值即可．
18．【答案】4m+12
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由面积的和差，得
长形的面积为（m+3）2﹣m2=（m+3+m）（m+3﹣m）=3（2m+3）．
由长方形的宽为3，可可得长方形的长是（2m+3）．
长方形的周长是2[（2m+3）+3]=4m+12，
故答案为：4m+12．
【分析】根据面积的和差，可得长方形的面积，根据长方形的面积公式，可得长方形的长，根据长方形的周长公式，可得答案．
19．【答案】解：（2x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）
=4x2﹣4x+1﹣2x2+9
=2x2﹣4x+10．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，再根据合并同类项法则合并即可．
20．【答案】解：∵|3﹣xy|+（x+y﹣2）2=0，
∴3﹣xy=0，x+y﹣2=0，
∴xy=3，x+y=2，
∴x2+y2+4xy=（x+y）2+2xy=22+2×3=10
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先根据非负数的性质求得xy=3，x+y=2，再根据完全平方公式，即可解答．
21．【答案】（1）a2﹣b2
（2）a﹣b；a+b；（a﹣b）（a+b）
（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
22．【答案】（1）解：∵（a+b）2=1，（a﹣b）2=9，
∴a2+b2+2ab=1，a2+b2﹣2ab=9．
∴4ab=﹣8，ab=﹣2，
∴a2+b2﹣ab=（a﹣b）2+ab=9+（﹣2）=7
（2）解：（a﹣2015）2+（2016﹣a）2
=（a﹣2015+2016﹣a）2+2（2015﹣a）（2016﹣a）
=1+2×2047
=4095
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式（a+b）2和ab的形式，即可求值；（2）根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，整体代入计算即可．
23．【答案】（1）1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7
（2）1﹣xn+1；x11﹣1
（3）﹣63；22008﹣1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）=1﹣x8；（2）观察上式，并猜想：①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1；②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）=x11﹣1；（3）根据你的猜想，计算：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=1﹣26=﹣63；②1+2+22+23+24+…+22007=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+22007）=22008﹣1．
故答案为：（1）1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7；（2）①1﹣xn+1；②x11﹣1；（3）①﹣63；②22008﹣1．
【分析】（1）仿照已知等式得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简两式即可；（3）利用得出的规律化简两式即可．
24．【答案】（1）（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn
（2）（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
（3）解：∵a+b=8，ab=7，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=82﹣4×7=36，
∴a﹣b=±6，
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=±6×8=±48
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）阴影部分是正方形，正方形的边长是m﹣n，即阴影部分的面积是（m﹣n）2，
又∵阴影部分的面积S=（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn．（2）（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．
【分析】（1）方法一、求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可；
方法二、根据大正方形面积减去4个矩形面积，即可得出答案；（2）根据都表示阴影部分的面积，即可得出等式；（3）根据等式（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab和平方差公式求出即可．
25．【答案】（1）解：阴影部分的面积为：4ab或（a+b）2﹣（a﹣b）2，
得到等式：4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2
（2）解：右边=a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2=4ab=左边，即等式成立
（3）解：（2m+n）2﹣（2m﹣n）2=4×2mn，
13﹣5=8mn，
mn=1
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积，利用完全平方公式，即可解答；（2）根据完全平方公式解答；（3）根据平方差公式解答．
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