6.3 用乘法公式分解因式（1）平方差

课件26张PPT。 从前有一位张老汉向地主租了一块 “十字型”土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块相同面积的长方形土地。同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？ 数学故事平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积a2 - b2 = (a+b)(a-b)
因式分解整式乘法平方差公式：
(a+b)(a-b) = a2 - b2我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用整式乘法与因式分解的这种关系，可以得到因式分解的方法.如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.6.3用乘法公式
分解因式（1）显然，在以上两个多项式中，不能找到公因式，因此不能使用提公因式法进行分解。但是通过观察我们能够发现，两个多项式都能够写成平方差的形式，由此我们可以利用上一章刚学到的平方差公式进行分解。(1) x2 - 16
(2) 9m2 - 4n2能否将这两个多项式进行因式分解。 要用平方差公式把 x2 - 16 分解因式，只要 x2 - 16 具有平方差的形式。因为16 = 42，所以 x2 - 16=x2 - 42,它是 x 与 4 的平方差。既然 x2 - 16 确实具有平方差的形式，那么就能够运用平方差公式来分解 (1) x2 - 16分析：（1） x2 - 16x2 - 16 = x2 - 42 =( x + 4 ) ( x – 4 )a2 - b2 =( a + b ) ( a - b )利用平方差公式：(2) 9m2 - 4n2分析：因为9m2 = ( 3m )2,4n2 = ( 2n )2,所以9m2-4n2=(3m)2-(2n)2,而(3m)2-(2n)2是m与2n的平方差，那么它能够运用平方差公式来分解因式(2) 9m2 - 4n2化成平方差公式：9m2 - 4n2 =（3m )2 - ( 2n )2 =( 3m + 2n)(3m - 2n)a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )a2-b2=(a + b)(a - b)=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1)下列多项式能否用平方差公式分解因式？（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2
(5) a2-4 (6) a2+3能用平方差公式分解因式的多项式的特征：1、由两部分组成；2、两部分符号相反；3、每部分都能写成某个式子的平方。√√√学一学：下列各式可以分别看成哪两式的平方差：(1) 4－x2＝( )2－ ( )2
(2) a2b4－9c2＝( )2－ ( )2
(3) 1.21－81c2＝( )2－ ( )2
(4) 4(a＋b)2－(a＋c)2 ＝( )2－ ( )22xab23c1.19c2a＋2ba＋c⑴解：⑵解：例1：把下列各式分解因式：⑶解：原式=⑷解：原式=例1：把下列各式分解因式：注
意 当公式中的a、b表示多项式时，要把这两个多项式看成两个整体，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并。例2.把下列各式因式分解
( x + z )2- ( y + z )2
4( a + b)2 - 25(a - c)2
(x + y + z)2 - (x – y – z )2例3 分解因式:解:原式=依据什么?依据什么?注意：（1）如果多项式各项有公因式,那么先提公因式，再进一步分解 。（2）因式分解,必须进行到每个多项式因式不能分解为止.平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)例3.把下列各式分解因式
① x4 - 81y4 ② 2a3 - 8a
（3) 0.5a2- 21.解:原式= (x2+ 9y2) (x2- 9y2)
= (x2+ 9y2) (x+ 3y) (x- 3y)2.解:原式=2a(a2- 4)
=2a(a+2)(a-2)知识聚焦1.先提取公因式2.再应用平方差公式分解3.每个因式要化简，并且分解彻底对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？(1) 25x2-4 =(5x+2)(5x-2)(2) 4x3 -x=x(4x2-1)=x(2x+1)(2x-1)练一练：分解因式(3) a4 -81= (a2+9)(a2-9)= (a2+9)(a+3) (a-3)(4) 4x3y - 9xy3 = xy(4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y)(5) 4( a + b )2- 25( a -c )2=(7a+2b-5c)(2b -3a+5c)=[2(a+b)]2-[5(a-c)]2=[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b) - 5(a-c)](6) 4a2 - 16b2=4 (a2- 4b2)= 4 (a+ 2b) (a- 2b)例4、用平方差公式进行简便计算:
（1）382-372 （2）2132-872
（3）2292-1712 （4）91×89（6）把9991分解成两个整数的积。1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
4X2+y2 B.4 x- (-y)2 C.-4 X2-y3 D.- X2+ y2
-4a2 +1分解因式的结果应是（ ）
-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)
-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)DD选一选：3.x2-64因式分解为( ).
(x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32);
(C) (x+16)(x-4); (D) (x-8)(x+8).4. 64a8-b2因式分解为( ).
(A) (64a4-b)(a4+b); (B) (16a2-b)(4a2+b);
(C) (8a4-b)(8a4+b); (D) (8a2-b)(8a4+b).DC谈谈有何收获分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式）
(3)务必检查是否分解彻底了2、计算：25 × 2652－1352 × 25拓展提高：1、分解因式：3、求(2+1)(22+1)(24+1)……(232+1)+1的个位数字；4、若248-1能被60与70之间的两个整数整除,这两个整数分别是 与 ；5、已知,x+ y =7,x-y =5,求代数式 x 2- y2-2y+2x的值.6、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.拓展提高：7.英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？8、把一块纸板形状如图，请剪一个面积和这块纸板相等的长方形纸板，求出这个长方形纸板的长和宽，并画出图形。bab a2-b2=(a+b)(a-b)拓展提高：