浙教版数学七年级下册3.7整式的除法基础检测
一、单选题
1．若a=（﹣2013）0，b=（﹣0.5）﹣1，c=（﹣）﹣2，则a、b、c的大小为（ ）
A．a＞c＞b
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c
D．a＞b＞c
【答案】A
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】∵a=（﹣2013）0=1，b=（﹣0.5）﹣1=﹣2，c=（﹣）﹣2=，又∵ 1＞＞﹣2，∴a＞c＞b．故选A．
【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂的意义分别化简a、b、c的值，再根据实数大小比较的法则即可求解．
2．若a=0.32，b=﹣3﹣2，c=（﹣）﹣2，d=（﹣）0，则（ ）
A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b
【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】a=0.32=0.09；b=﹣3﹣2=﹣（）2=﹣；c=（﹣）﹣2=（﹣3）2=9；d=（﹣）0=1；∵﹣＜0.09＜1＜9，∴b＜a＜d＜c，故选：B．
【分析】分别根据零指数幂，负指数幂、乘方的运算法则计算，然后再比较大小．
3．如果（m﹣3）m=1，那么m应取（ ）.
A．m≥3 B．m=0 C．m=3 D．m=0，4或2
【答案】D
【知识点】零指数幂
【解析】根据任何非零数的0次幂为1和±1的偶次幂为1进行解答即可．
【解答】∵（0﹣3）0=1，∴m=0，
∵（2﹣3）2=1，∴m=2，
∵（4﹣3）4=1，∴m=4，
故选：D．
4．若8×2x=5y+6，那么当y=﹣6时，x应等于（ ）
A．-4 B．-3 C．0 D．4
【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】当y=﹣6时，5y+6=1，8×2x=1，23×2x=1，23+x=1，则3+x=0，解得：x=﹣3，故选：B．
【分析】首先把y=﹣6代入5y+6可得结果为1，进而可得8×2x=1，然后化成同底数幂的乘法23×2x=1，进而可得23+x=1，故3+x=0，再解即可．
5．（2x+1）x+2=1，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣2或0 D．﹣2、0、﹣1
【答案】C
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】由题意得：① x+2=0，2x+1≠0，解得：x=﹣2；② 2x+1=1，解得：x=0；③ 2x+1=﹣1，x+2为偶数，无解．综上可得x的值为：﹣2或0．
故选C．
【分析】根据零指数幂可得x+2=0，2x+1≠0，根据有理数的乘方可得x﹣1=1；x﹣1=﹣1，x+2为偶数，再解即可．
6．等式（a+1）0=1的条件是（ ）
A．a≠﹣1 B．a≠0 C．a≠1 D．a=﹣1
【答案】A
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】（a+1）0=1的条件为：a≠﹣1．故选A．
【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）求解即可．
7．20130的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2013 D．﹣2013
【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】解：20130=1．
故选B．
【分析】根据零指数幂公式可得：20130=1．
8．计算：（π﹣3.14）0+（﹣0.125）2008×82008的结果是（ ）
A．π﹣3.14 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】零指数幂
【解析】解：原式=1+（﹣×8）2008=1+1=2．
故选D．
【分析】分别根据零指数幂及幂的乘方运算法则进行计算即可．
9．若a=﹣0.32，b=﹣32，，，则a、b、c、d从大到小依次排列的是（ ）
A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】解：a=﹣0.09，b=﹣9，c=9，d=1，
∴可得：b＜a＜d＜c．
故选：C．
【分析】依次计算出各数的值，然后比较大小即可．
10．（2017八上·路北期末）将边长分别为a+b和a﹣b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果是（ ）
A．a﹣b B．a+b C．2ab D．4ab
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2
=a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）
=4ab，
故选D．
【分析】根据图形得出阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，再求出即可．
11．下面是某同学在作业中的计算摘录：①a0=1；②a2 a3=a5；③2﹣2=﹣；④（﹣3x2y）3 （xy）3=﹣27x9y6；
⑤x2+x2=2x2；⑥（a2b）3=a2 b3；⑦（﹣bc）4÷（﹣bc）2=b2c2．其中计算正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．②③④⑥ D．②④⑤⑦
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：①当a≠0时，a0=1，错误；②a2 a3=a5，正确；③2﹣2=，错误；④（﹣3x2y）3 （xy）3=﹣27x6y3 x3y3=﹣27x9y6，正确；⑤x2+x2=2x2，正确；⑥（a2b）3=a6 b3，错误；⑦（﹣bc）4÷（﹣bc）2=（﹣bc）2=b2c2，正确．
故选D．
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
12．小明同学在求1+51+52+53+54+55+56+57+58+59+510的值时，认真思考后发现，从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的5倍，于是他想到了下面的一种解题思路．
解：设S=1+51+52+53+54+55+56+57+58+59+510…①
在①式的两边同时都乘以5得：
5S=51+52+53+54+55+56+57+58+59+510+511…②
②﹣①得：5S﹣S=511﹣1，即4S=511﹣1，∴S=，得出答案后，爱动脑筋的小明想：如果把“5”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？则求出的答案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014①，
在①式的两边同时都乘以a得：aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015②，
②﹣①得：（a﹣1）S=a2015﹣1，
S=，
即1+a+a2+a3+a4+…+a2014=，
故选C．
【分析】设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014①，在①式的两边同时都乘以a得：aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015②，两式相减即可得出答案．
13．定义运算a□b=a（1﹣b），下面给出了关于这种运算的几个结论：
①2□（﹣2）=6；②a□b=b□a；③若a+b=0，则（a□a）+（b□b）=2ab；④若ab=0，则a=0，
其中正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：∵2□（﹣2）=6，
∴2×（1+2）=6，∴①正确；
∵a□b=a（1﹣b）=a﹣ab，b□a=b（1﹣a）=b﹣ab，∴②错误；
∵a+b=0，
∴（a□a）+（b□b）
=a（1﹣a）+b（1﹣b）
=a﹣a2+b﹣b2
=（a+b）﹣（a2+（﹣a）2
=﹣2a2
=﹣2a（﹣b）
=2ab，∴③正确；
∵a□b=0，
∴a（1﹣b）=0，
∴a=0或b=1，∴④错误；
故选B．
【分析】先认真审题，根据新运算展开，求出结果后，再判断即可．
14．计算1+2+22+23+…+22014的值为（ ）
A．22015﹣1 B．22015+1
C．（22015﹣1） D．（22015+1）
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：设S=1+2+22+23+24+…+22014 ①，
将等式两边同时乘以2得
2S=2+22+23+24+…+22014+22015 ②
将②﹣①得：S=22015﹣1，
即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1．
故选：A．
【分析】设S=1+2+22+23+24+…+22014，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值．
15．某工厂一种边长为m厘米的正方形地砖，材料的成本价为每平方厘米n元，如果将地砖的一边扩大5厘米，另一边缩短5厘米，改成生产长方形的地砖，这种长方形地砖与正方形的地砖相比，每块的材料成本价变化情况是（ ）
A．没有变化 B．减少了5n元
C．增加5n元 D．减少了25n元
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：根据题意得：nm2﹣（m+5）（m﹣5）n=nm2﹣nm2+25n=25n，
则减少了25n元．
故选D．
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可做出判断．
二、填空题
16．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时
【答案】4.8×102
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】3.84×105÷（8×102）
=0.48×103=4.8×102
答案为4.8×102
【分析】先根据时间=路程÷速度，算出时间为（3.84×105）÷（8×102），利用单项式除单项式的法则计算，然后再按照科学记数法的方法的形式表示
17．（2020七下·潍坊期中）若2m=，则m= ．
【答案】﹣6
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】解：==2﹣6，
∵，
∴m=﹣6．
故答案为：﹣6．
【分析】首先将变形为底数为2的幂的性质，然后即可确定出m的值．
18．（﹣2）2= ，2﹣2= ，（﹣2）﹣2= ．
【答案】4 ；；
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】解：（﹣2）2=4；
2﹣2=；
（﹣2）﹣2=．
故答案为：4；；．
【分析】根据有理数的乘法以及负整数指数幂的性质进行计算即可．
19．（）﹣2+（2015）0= ．
【答案】5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】解：（）﹣2+（2015）0=4+1=5，
故答案为：5．
【分析】根据负整数指数幂和零整数指数幂计算即可.
20．计算；（﹣+1）0﹣（﹣）﹣2= ．
【答案】﹣3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】解：．
故答案为：﹣3．
【分析】首先根据负指数和0次幂的意义求得两式的结果，再根据有理数的加法法则计算即可．
三、解答题
21．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是4a（cm），宽是3a（cm），这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
（1）请用a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；
（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为（cm2），则油漆这个铁盒需要多少钱（用a的代数式表示）？
（3）铁盒的底面积是全面积的几分之几（用a的代数式表示）？若铁盒的底面积是全面积的，求a的值；
（4）是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个a，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）原铁皮的面积是（4a+60）（3a+60）=12a2+420a+3600；
（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2+2×30×4a+2×30×3a=12a2+420a，
则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2+420a）÷=（12a2+420a）×=600a+21000（元）；
（3）铁盒的底面积是全面积的=；
根据题意得：=，
解得a=105；
（4）铁盒的全面积是4a×3a+4a×30×2+3a×30×2=12a2+420a，
底面积是12a2，
假设存在正整数n，使12a2+420a=n（12a2）
则（n﹣1）a=35，
由题意可知a＞＞10，
则a只能为35，n=2．
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a=35．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；
（3）用铁盒的底面积除以全面积即可得出底面积是全面积的几分之几，再根据铁盒的底面积是全面积的，求出a的值即可；
（4）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．
22．先阅读小亮解答的问题（1），再仿照他的方法解答问题（2）
问题（1）：计算3.1468×7.1468﹣0.14682
小亮的解答如下：
解：设0.1468=a，则3.1468=a+3，7.1468=a+7
原式=（a+3）（a+7）﹣a2
=a2+10a+21﹣a2
=10a+21
把a=0.1468代入
原式=10×0.1468+21=22，468
∴3.1468×7.1468﹣0.14682=22.468
问题（2）：计算：67897×67898﹣67896×67899．
【答案】解：设67897=a，则67898=a+1，67896=a﹣1，67899=a+2，
则67897×67898﹣67896×67899
=a（a+1）﹣（a﹣1）（a+2）
=（a2+a）﹣（a2+a﹣2）
=a2+a﹣a2﹣a+2
=2．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】首先设67897=a，则67898=a+1，67896=a﹣1，67899=a+2，则67897×67898﹣67896×67899=a（a+1）﹣（a﹣1）（a+2），然后按照整式的混合运算顺序解答即可．
23．用两种不同的方法化简：（﹣3m﹣n）（3m+n）+n（3m+n）
【答案】解：方法1：
原式=﹣9m2﹣6mn﹣n2+3mn+n2
=﹣9m2﹣3mn；
方法2：
原式=（3m+n）（﹣3m﹣n+n）
=（3m+n）（﹣3m）
=﹣9m2﹣3mn．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用整式的乘法的计算方法计算，进一步合并得出答案即可；
先利用提取公因式法因式分解，再进一步利用整式的乘法的计算方法计算即可．
24．如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 24 ．
（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．
（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为 976 （直接写出结果）．
【答案】解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；
故答案为：24；
（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；
证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），
十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，
故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，
根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2015，
解得：a=976．
故答案为：976．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由为：设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据相应的“十字差”为2015求出a的值即可．
25．计算：
（1）（+1）0﹣（﹣）2+2﹣2
（2）（﹣3x2y2）2 2xy+（xy）3
（3）（2a+1）（2a﹣1）﹣（a﹣2）2﹣3a（a+1）
【答案】解：（1）原式=1﹣+
=1；
（2）原式=9x4y4 2xy+x3y3
=18x5y5+x3y3；
（3）原式=4a2﹣1﹣a2+4a﹣4﹣3a2﹣3a
=a﹣5．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先算乘方，再算加减即可；
（2）先算乘方，再算乘法即可；
（3）先算乘方，再合并同类项即可．
26．解下列方程（组）
（1）
（2）﹣=．
【答案】解：（1）
由①得4x+6y=5③
联立②③解得
（2）去分母，得3（3x﹣1）﹣2=5
解得9x﹣3﹣2=5
所以x=
经检验，x=是原方程的解
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算；
（2）利用解分式方程的步骤进行解答即可．
27．（1）计算：（3x﹣y）2﹣（2x+y）2+5x（y﹣x）
（2）解方程：．
【答案】解：（1）原式=9x2﹣6xy+y2﹣4x2﹣4xy﹣y2+5xy﹣5x2
=（9x2﹣4x2﹣5x2）+（﹣6xy﹣4xy+5xy）+（y2﹣y2）
=﹣5xy；
（2），
去分母得：x（x+2）﹣x2+4=8，
去括号得：x2+2x﹣x2+4=8，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
【知识点】整式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）把要求的式子先去掉括号，再合并同类项即可得出答案；
（2）先把分式方程化成整式方程，求出x的值，再进行检验即可得出答案．
28．计算：
（1）（﹣）×（﹣）2×（﹣）3；
（2）（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）．
【答案】解：（1）原式=（﹣）1+2+3=（﹣）6=；
（2）原式=y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5=﹣4y+1．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）原式利用同德数幂的乘法法则计算，化简即可得到结果；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
1 / 1浙教版数学七年级下册3.7整式的除法基础检测
一、单选题
1．若a=（﹣2013）0，b=（﹣0.5）﹣1，c=（﹣）﹣2，则a、b、c的大小为（ ）
A．a＞c＞b
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c
D．a＞b＞c
2．若a=0.32，b=﹣3﹣2，c=（﹣）﹣2，d=（﹣）0，则（ ）
A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b
3．如果（m﹣3）m=1，那么m应取（ ）.
A．m≥3 B．m=0 C．m=3 D．m=0，4或2
4．若8×2x=5y+6，那么当y=﹣6时，x应等于（ ）
A．-4 B．-3 C．0 D．4
5．（2x+1）x+2=1，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣2或0 D．﹣2、0、﹣1
6．等式（a+1）0=1的条件是（ ）
A．a≠﹣1 B．a≠0 C．a≠1 D．a=﹣1
7．20130的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2013 D．﹣2013
8．计算：（π﹣3.14）0+（﹣0.125）2008×82008的结果是（ ）
A．π﹣3.14 B．0 C．1 D．2
9．若a=﹣0.32，b=﹣32，，，则a、b、c、d从大到小依次排列的是（ ）
A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
10．（2017八上·路北期末）将边长分别为a+b和a﹣b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果是（ ）
A．a﹣b B．a+b C．2ab D．4ab
11．下面是某同学在作业中的计算摘录：①a0=1；②a2 a3=a5；③2﹣2=﹣；④（﹣3x2y）3 （xy）3=﹣27x9y6；
⑤x2+x2=2x2；⑥（a2b）3=a2 b3；⑦（﹣bc）4÷（﹣bc）2=b2c2．其中计算正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．②③④⑥ D．②④⑤⑦
12．小明同学在求1+51+52+53+54+55+56+57+58+59+510的值时，认真思考后发现，从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的5倍，于是他想到了下面的一种解题思路．
解：设S=1+51+52+53+54+55+56+57+58+59+510…①
在①式的两边同时都乘以5得：
5S=51+52+53+54+55+56+57+58+59+510+511…②
②﹣①得：5S﹣S=511﹣1，即4S=511﹣1，∴S=，得出答案后，爱动脑筋的小明想：如果把“5”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？则求出的答案是（ ）
A． B． C． D．
13．定义运算a□b=a（1﹣b），下面给出了关于这种运算的几个结论：
①2□（﹣2）=6；②a□b=b□a；③若a+b=0，则（a□a）+（b□b）=2ab；④若ab=0，则a=0，
其中正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．计算1+2+22+23+…+22014的值为（ ）
A．22015﹣1 B．22015+1
C．（22015﹣1） D．（22015+1）
15．某工厂一种边长为m厘米的正方形地砖，材料的成本价为每平方厘米n元，如果将地砖的一边扩大5厘米，另一边缩短5厘米，改成生产长方形的地砖，这种长方形地砖与正方形的地砖相比，每块的材料成本价变化情况是（ ）
A．没有变化 B．减少了5n元
C．增加5n元 D．减少了25n元
二、填空题
16．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时
17．（2020七下·潍坊期中）若2m=，则m= ．
18．（﹣2）2= ，2﹣2= ，（﹣2）﹣2= ．
19．（）﹣2+（2015）0= ．
20．计算；（﹣+1）0﹣（﹣）﹣2= ．
三、解答题
21．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是4a（cm），宽是3a（cm），这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
（1）请用a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；
（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为（cm2），则油漆这个铁盒需要多少钱（用a的代数式表示）？
（3）铁盒的底面积是全面积的几分之几（用a的代数式表示）？若铁盒的底面积是全面积的，求a的值；
（4）是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个a，若不存在，请说明理由．
22．先阅读小亮解答的问题（1），再仿照他的方法解答问题（2）
问题（1）：计算3.1468×7.1468﹣0.14682
小亮的解答如下：
解：设0.1468=a，则3.1468=a+3，7.1468=a+7
原式=（a+3）（a+7）﹣a2
=a2+10a+21﹣a2
=10a+21
把a=0.1468代入
原式=10×0.1468+21=22，468
∴3.1468×7.1468﹣0.14682=22.468
问题（2）：计算：67897×67898﹣67896×67899．
23．用两种不同的方法化简：（﹣3m﹣n）（3m+n）+n（3m+n）
24．如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 24 ．
（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．
（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为 976 （直接写出结果）．
25．计算：
（1）（+1）0﹣（﹣）2+2﹣2
（2）（﹣3x2y2）2 2xy+（xy）3
（3）（2a+1）（2a﹣1）﹣（a﹣2）2﹣3a（a+1）
26．解下列方程（组）
（1）
（2）﹣=．
27．（1）计算：（3x﹣y）2﹣（2x+y）2+5x（y﹣x）
（2）解方程：．
28．计算：
（1）（﹣）×（﹣）2×（﹣）3；
（2）（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】∵a=（﹣2013）0=1，b=（﹣0.5）﹣1=﹣2，c=（﹣）﹣2=，又∵ 1＞＞﹣2，∴a＞c＞b．故选A．
【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂的意义分别化简a、b、c的值，再根据实数大小比较的法则即可求解．
2．【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】a=0.32=0.09；b=﹣3﹣2=﹣（）2=﹣；c=（﹣）﹣2=（﹣3）2=9；d=（﹣）0=1；∵﹣＜0.09＜1＜9，∴b＜a＜d＜c，故选：B．
【分析】分别根据零指数幂，负指数幂、乘方的运算法则计算，然后再比较大小．
3．【答案】D
【知识点】零指数幂
【解析】根据任何非零数的0次幂为1和±1的偶次幂为1进行解答即可．
【解答】∵（0﹣3）0=1，∴m=0，
∵（2﹣3）2=1，∴m=2，
∵（4﹣3）4=1，∴m=4，
故选：D．
4．【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】当y=﹣6时，5y+6=1，8×2x=1，23×2x=1，23+x=1，则3+x=0，解得：x=﹣3，故选：B．
【分析】首先把y=﹣6代入5y+6可得结果为1，进而可得8×2x=1，然后化成同底数幂的乘法23×2x=1，进而可得23+x=1，故3+x=0，再解即可．
5．【答案】C
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】由题意得：① x+2=0，2x+1≠0，解得：x=﹣2；② 2x+1=1，解得：x=0；③ 2x+1=﹣1，x+2为偶数，无解．综上可得x的值为：﹣2或0．
故选C．
【分析】根据零指数幂可得x+2=0，2x+1≠0，根据有理数的乘方可得x﹣1=1；x﹣1=﹣1，x+2为偶数，再解即可．
6．【答案】A
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】（a+1）0=1的条件为：a≠﹣1．故选A．
【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）求解即可．
7．【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】解：20130=1．
故选B．
【分析】根据零指数幂公式可得：20130=1．
8．【答案】D
【知识点】零指数幂
【解析】解：原式=1+（﹣×8）2008=1+1=2．
故选D．
【分析】分别根据零指数幂及幂的乘方运算法则进行计算即可．
9．【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】解：a=﹣0.09，b=﹣9，c=9，d=1，
∴可得：b＜a＜d＜c．
故选：C．
【分析】依次计算出各数的值，然后比较大小即可．
10．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2
=a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）
=4ab，
故选D．
【分析】根据图形得出阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，再求出即可．
11．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：①当a≠0时，a0=1，错误；②a2 a3=a5，正确；③2﹣2=，错误；④（﹣3x2y）3 （xy）3=﹣27x6y3 x3y3=﹣27x9y6，正确；⑤x2+x2=2x2，正确；⑥（a2b）3=a6 b3，错误；⑦（﹣bc）4÷（﹣bc）2=（﹣bc）2=b2c2，正确．
故选D．
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
12．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014①，
在①式的两边同时都乘以a得：aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015②，
②﹣①得：（a﹣1）S=a2015﹣1，
S=，
即1+a+a2+a3+a4+…+a2014=，
故选C．
【分析】设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014①，在①式的两边同时都乘以a得：aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015②，两式相减即可得出答案．
13．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：∵2□（﹣2）=6，
∴2×（1+2）=6，∴①正确；
∵a□b=a（1﹣b）=a﹣ab，b□a=b（1﹣a）=b﹣ab，∴②错误；
∵a+b=0，
∴（a□a）+（b□b）
=a（1﹣a）+b（1﹣b）
=a﹣a2+b﹣b2
=（a+b）﹣（a2+（﹣a）2
=﹣2a2
=﹣2a（﹣b）
=2ab，∴③正确；
∵a□b=0，
∴a（1﹣b）=0，
∴a=0或b=1，∴④错误；
故选B．
【分析】先认真审题，根据新运算展开，求出结果后，再判断即可．
14．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：设S=1+2+22+23+24+…+22014 ①，
将等式两边同时乘以2得
2S=2+22+23+24+…+22014+22015 ②
将②﹣①得：S=22015﹣1，
即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1．
故选：A．
【分析】设S=1+2+22+23+24+…+22014，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值．
15．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：根据题意得：nm2﹣（m+5）（m﹣5）n=nm2﹣nm2+25n=25n，
则减少了25n元．
故选D．
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可做出判断．
16．【答案】4.8×102
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】3.84×105÷（8×102）
=0.48×103=4.8×102
答案为4.8×102
【分析】先根据时间=路程÷速度，算出时间为（3.84×105）÷（8×102），利用单项式除单项式的法则计算，然后再按照科学记数法的方法的形式表示
17．【答案】﹣6
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】解：==2﹣6，
∵，
∴m=﹣6．
故答案为：﹣6．
【分析】首先将变形为底数为2的幂的性质，然后即可确定出m的值．
18．【答案】4 ；；
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】解：（﹣2）2=4；
2﹣2=；
（﹣2）﹣2=．
故答案为：4；；．
【分析】根据有理数的乘法以及负整数指数幂的性质进行计算即可．
19．【答案】5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】解：（）﹣2+（2015）0=4+1=5，
故答案为：5．
【分析】根据负整数指数幂和零整数指数幂计算即可.
20．【答案】﹣3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】解：．
故答案为：﹣3．
【分析】首先根据负指数和0次幂的意义求得两式的结果，再根据有理数的加法法则计算即可．
21．【答案】解：（1）原铁皮的面积是（4a+60）（3a+60）=12a2+420a+3600；
（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2+2×30×4a+2×30×3a=12a2+420a，
则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2+420a）÷=（12a2+420a）×=600a+21000（元）；
（3）铁盒的底面积是全面积的=；
根据题意得：=，
解得a=105；
（4）铁盒的全面积是4a×3a+4a×30×2+3a×30×2=12a2+420a，
底面积是12a2，
假设存在正整数n，使12a2+420a=n（12a2）
则（n﹣1）a=35，
由题意可知a＞＞10，
则a只能为35，n=2．
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a=35．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；
（3）用铁盒的底面积除以全面积即可得出底面积是全面积的几分之几，再根据铁盒的底面积是全面积的，求出a的值即可；
（4）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．
22．【答案】解：设67897=a，则67898=a+1，67896=a﹣1，67899=a+2，
则67897×67898﹣67896×67899
=a（a+1）﹣（a﹣1）（a+2）
=（a2+a）﹣（a2+a﹣2）
=a2+a﹣a2﹣a+2
=2．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】首先设67897=a，则67898=a+1，67896=a﹣1，67899=a+2，则67897×67898﹣67896×67899=a（a+1）﹣（a﹣1）（a+2），然后按照整式的混合运算顺序解答即可．
23．【答案】解：方法1：
原式=﹣9m2﹣6mn﹣n2+3mn+n2
=﹣9m2﹣3mn；
方法2：
原式=（3m+n）（﹣3m﹣n+n）
=（3m+n）（﹣3m）
=﹣9m2﹣3mn．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用整式的乘法的计算方法计算，进一步合并得出答案即可；
先利用提取公因式法因式分解，再进一步利用整式的乘法的计算方法计算即可．
24．【答案】解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；
故答案为：24；
（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；
证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），
十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，
故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，
根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2015，
解得：a=976．
故答案为：976．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由为：设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据相应的“十字差”为2015求出a的值即可．
25．【答案】解：（1）原式=1﹣+
=1；
（2）原式=9x4y4 2xy+x3y3
=18x5y5+x3y3；
（3）原式=4a2﹣1﹣a2+4a﹣4﹣3a2﹣3a
=a﹣5．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先算乘方，再算加减即可；
（2）先算乘方，再算乘法即可；
（3）先算乘方，再合并同类项即可．
26．【答案】解：（1）
由①得4x+6y=5③
联立②③解得
（2）去分母，得3（3x﹣1）﹣2=5
解得9x﹣3﹣2=5
所以x=
经检验，x=是原方程的解
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算；
（2）利用解分式方程的步骤进行解答即可．
27．【答案】解：（1）原式=9x2﹣6xy+y2﹣4x2﹣4xy﹣y2+5xy﹣5x2
=（9x2﹣4x2﹣5x2）+（﹣6xy﹣4xy+5xy）+（y2﹣y2）
=﹣5xy；
（2），
去分母得：x（x+2）﹣x2+4=8，
去括号得：x2+2x﹣x2+4=8，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
【知识点】整式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）把要求的式子先去掉括号，再合并同类项即可得出答案；
（2）先把分式方程化成整式方程，求出x的值，再进行检验即可得出答案．
28．【答案】解：（1）原式=（﹣）1+2+3=（﹣）6=；
（2）原式=y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5=﹣4y+1．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）原式利用同德数幂的乘法法则计算，化简即可得到结果；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
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