专题3.21完全平方公式巩固篇专项练习（含解析）2023-2024学年七年级数学下册浙教版专项讲练

专题3.21 完全平方公式（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，那么x2+y2的值为（　　）
A．13 B．7 C．6 D．5
3．已知，，则代数式的值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
4．若的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的值是（ ）
A．－3 B．3 C．6 D．9
6．已知（x－2021）2 +（x－2023）2 ＝50，则（x－2022）2的值为（ ）
A．24 B．23 C．22 D．无法确定
7．若是完全平方式，且，则（ ）
A． B．或27 C．27或 D．或
8．如图，两个正方形边长分别为a，b，已知，，则阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
9．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )
A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b
10．观察下列各式及其展开式：请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
；
；
；
；
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： ．
12．已知，则=
13．若，，则 ．
14．若代数式可化为，则的值是 ．
15．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为=ad－bc.则二阶行列式的值为 .
16．若，，则的值为 ．
17．已知代数式 可以利用完全平方公式变形为 ，进而可知 的最小值是 ．依此方法，代数式 的最小值是 ．
18．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，则＋＝ ；当＋＝40时，则图3中阴影部分的面积 ．
三、解答题
19．已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9．求a2﹣6ab+b2．
20．用乘法公式简便计算：
(1)；
(2)．
21．运用乘法公式计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
22．已知，求的值．
23．乘法公式的探究及应用：数学活动课上罗老师准备了若干个如图1的三种纸片， 种纸片是边长为的正方形， 种纸片是边长为的正方形， 种纸片是长为、宽为的长方形．并用 种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)观察图2，请写出下列三个代数式： ， ， 之间的等量关系______．
(2)根据（1）中的数量关系，解决如下问题：
①已知 ， ，求 的值．
②类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且 ，求这个长方形的面积．
24．用等号或不等号填空，探究规律并解决问题：
(1)比较a2+b2与2ab的大小：
①当a＝3，b＝3时，a2+b2　 　2ab；
②当a＝2，b＝时，a2+b2　 　2ab；
③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2　 　ab．
(2)通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；
(3)如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG，设两个正方形的面积分别为S1，S2，若三角形BCG的面积为1，求S1+S2的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据乘法公式进行计算和判断．　　
【详解】解：A、(x+3y)(x 3y)=x2 9y2，故原选项错误；
B、(a b)2=a2 2ab+b2，故原选项错误；
C、(a+b)2=a2+2ab+b2，故原选项错误；
D、由A项解答可得a2 9b2=(a+3b)(a 3b)，故原选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查乘法公式的应用，熟练掌握乘法公式的展开形式及逆用是解题关键．
2．D
【分析】先把所求式子变形为完全平方式，再将题中已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式变形式求值，观察发现式子的变形前后的相等关系是解答本题的关键．
3．D
【分析】先求出m、n的值，然后代入计算，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵，，
∴，，
∴
=
=
=
=；
故选：D
【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．
4．B
【分析】把进行完全平方，展开计算的值即可.
【详解】∵=1，
∴=1，
∴-2=1，
∴=3，
∴=8，
故选B.
【点睛】本题考查了完全平方公式的展开计算，熟练运用完全平方公式是解题的关键.
5．D
【分析】把变形为，代入得到，根据非负数的性质求出a、b、c的值即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
把代入中得：
，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的构造和非负数的性质，准确地对式子变形构造完全平方公式是解题的关键．
6．A
【分析】先变形为[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，然后利用完全平方公式展开即可得到（x-2022）2的值．
【详解】解：∵（x-2021）2+（x-2023）2=50，
∴[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，
∴（x-2022）2+2（x-2022）+1+（x-2022）2-2（x-2022）+1=50，
∴（x-2022）2=24．
故选：A．
【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形．
7．D
【分析】根据完全平方式得出2（b 1）x＝±2 x 2，求出b值即可．
【详解】解：∵x2＋2（b 1）x＋4是完全平方式，
∴2（b 1）x＝±2 x 2，
解得：b＝3或 1，
当b=3时，，当b=-1时，，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2＋2ab＋b2或a2 2ab＋b2，也考查了负整数指数幂.
8．B
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为a的等腰直角三角形面积，再减去边长为和b的直角三角形面积，即可得，根据完全平方公式的变式应用可得，代入计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．
9．A
【分析】4张边长为a的正方形卡片的面积为4a2，4张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为4ab，1张边长为b的正方形卡片面积为b2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a2+4ab+b2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b．
【详解】设拼成后大正方形的边长为x，
∴4a2+4ab+b2=x2，
∴(2a+b)2=x2，
∴该正方形的边长为：2a+b.
故选A.
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长．
10．C
【分析】根据题意得出次幂展开项的系数规律，分别表示出的展开式，得到所求即可．
【详解】∵；
；
；
；
得到，
则的展开式第三项的系数是，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．
【分析】运用完全平方公式展开，即可完成解答.
【详解】解：
【点睛】本题考查了平方差公式，即；灵活运用该公式是解答本题的关键.
12．14
【分析】首先观察题目的条件和所求的问题，可以发现利用完全平方公式就可以计算得出答案．
【详解】解：∵
∴
又∵
∴
∴
即
故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确运用公式是解题关键．这类题目比较特殊，通过观察所要求的答案和已知条件可以发现，是前后两项进行平方的结果，且采用完全平方来进行计算时，两项相乘可将未知项约去．
13．7
【分析】直接利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得到a+b的值，利用幂的乘方，底数不变指数相乘，得到ab的值，再将原式进行变形，代入数值后即可求解．
【详解】，
，
，
，
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了整式的同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、完全平方公式的变形等内容，解决本题的关键是牢记公式，并灵活运用即可．
14．5
【详解】，根据题意得，，解得=3，b=8,那么=5.
15．1
【详解】由题意可得：
=
=
=.
故答案为1.
16．
【分析】根据求出的值，再利用完全平方和公式求出2xy的值，根据、2xy求得的值，进一步求得．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
则，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，利用展开式求得2xy的值是解题的关键．
17．
【分析】由题目中提供的方法把前两项凑成一个完全平方式即可求得最小值．
【详解】
所以代数式 的最小值是1；
故答案为：1
【点睛】本题考查了完全平方公式，根据二次项与一次项凑成完全平方式是本题的关键．
18． 34 20
【分析】①分别用代数式表示出和，利用完全平方公式的变形化简，即可求得；
②利用两个正方形的面积减去2个三角形的面积即得,运用①中的结论，即可求得．
【详解】①，
＋＝
＋＝
②
＋＝=40
，
故答案为：34；20．
【点睛】本题考查了完全平方公式，几何图形的面积，整式的乘法，熟悉完全平方公式是解题的关键．
19．﹣7
【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可得a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab，（a﹣b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，据此计算即可．
【详解】解：因为（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，
所以（a﹣b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，
所以a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab＝9﹣16＝﹣7．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；
（2）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，理解和掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
21．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据平方差公式，可得答案；
（2）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案；
（3）根据完全平方公式，可得答案；
（4）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案．
【详解】解：（1）原式＝[（3x 5）＋（2x＋7）][（3x 5） （2x＋7）]
＝（3x 5＋2x＋7）（3x 5 2x 7）
＝（5x＋2）（x 12）
＝；
（2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y） 1]
＝ 1
＝；
（3）原式＝
＝ 6（2x y）＋9
＝；
（4）原式＝
＝．
【点睛】本题考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解题关键．
22．-22
【分析】首先根据，可得，据此求出a、b的值各是多少；然后去括号，合并同类项，将代数式[（2a＋b）2 （2a b）（a＋b） 2（a 2b）（a＋2b）]化为最简式，再把a、b的值代入即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
解得，
∴
．
【点睛】本题考查了配方法的应用，整式的混合运算 化简求值，要熟练掌握，解题关键是要明确：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
23．(1)
(2)①；②这个长方形的面积为
【分析】（1）由图形得出完全平方公式即可；
（2）①，根据完全平方公式计算出的值即可；②，利用①的结论即可．
【详解】（1）由图2可知，大正方形的边长为，即大正方形的面积为，因大正方形由1个边长为和1个边长为的正方形及2个长为、宽为的长方形构成，
由此可得：．
故答案为：；
（2）①：由可得：，将，代入得：，解得：；
②：令，，则，，仿照可得：
，
，即 ，
故这个长方形的面积为．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式并灵活运用、，之间的关系是解题的关键．
24．(1)①；②；③
(2)；理由见解析
(3)的最小值为4
【分析】（1）代入计算得出答案；
（2）根据（1）的结果，得出结论；
（3）由题意可知ab＝2，S1＋S2＝a2＋b2，而a2＋b2≥2ab，进而得出答案．
【详解】（1）解：①把a＝3，b＝3代入，a2＋b2＝9＋9＝18，2ab＝2×3×3＝18，
∴a2＋b2＝2ab；
故答案为：＝；
②把a＝2，b＝代入，a2＋b2＝4＋＝，2ab＝2×2×＝2，
∴a2＋b2＞2ab；
故答案为：＞；
③把a＝ 2，b＝3代入，a2＋b2＝4＋9＝13，2ab＝2×（ 2）×3＝ 12，
∴a2＋b2＞2ab，
故答案为：＞．
（2）由（1）可得，a2＋b2≥2ab，理由如下：
∵，
又∵，
∴a2＋b2≥2ab．
（3）由题意可知S1＝a2，S2＝b2，
∵△ACF的面积为1，即，
∴ab＝2，
∵S1＋S2＝a2＋b2≥2ab，
∴S1＋S2＝a2＋b2≥4，
因此S1＋S2的最小值为4．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，根据偶次幂的性质得出a2＋b2≥2ab是正确解答的关键．
答案第1页，共2页
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