专题3.25整式的除法知识讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学下册浙教版专项讲练

专题3.25 整式的除法（知识讲解）
【学习目标】
1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．
2. 会进行单项式除以单项式的计算．
3. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算．
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式．
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质．
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式．
要点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
特别说明：底数不能为0，无意义．任何一个常数都可以看作与字母0次方的积．因此常数项也叫0次单项式．
要点三、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
特别说明：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式．
要点四、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．即
特别说明：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式．
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化．
【典型例题】
类型一、整式的除法 科学记数法
（2019秋·辽宁锦州·七年级统考期中）
1．生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（　　）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
举一反三：
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）
2．地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是 （用科学记数法表示，保留2位有效数字）
【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）
3．福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
(3)若P=4×1012，求的值（结果用科学记数法表示）．
类型二、整式的除法 单项式除以单项式 化简求值
2.（2021春·八年级课时练习）
4．计算：
（1）；
（2）．
举一反三：
【变式1】（2021春·八年级课时练习）
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【变式2】（2022春·福建福州·八年级校考阶段练习）
6．计算：．
类型三、整式的除法 多项式除以单项式 化简求值
（2021春·八年级课时练习）
7．计算：
（1）；
（2）．
举一反三：
【变式1】（2022春·八年级课时练习）
8．先化简，在求值，其中，．
【变式2】（2021春·八年级课时练习）
9．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
类型四、整式的除法 整式的混合运算 化简求值
（2022春·八年级课时练习）
10．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
举一反三：
【变式1】（2022春·八年级课时练习）
11．计算：
(1)
(2)（用乘法公式简算）
(3)
【变式2】（2022春·八年级课时练习）
12．（1）先化简，再求值．，其中，．
（2）先化简，再求值：，其中．
中考真题专练
（2022·江苏盐城·统考中考真题）
13．先化简，再求值：，其中．
（2022·江苏常州·统考中考真题）
14．计算：
(1)；
(2)．
（2022·江苏苏州·统考中考真题）
15．已知，求的值．
（2010·广西南宁·中考真题）
16．先化简，再求值：，其中，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2．7.1×10-7
【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．
【详解】∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，
∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．
故答案是：7.1×10-7．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由总付款=甲书进价×甲书数量+乙书进价×乙书数量，即可求得Q．
（2）将代入（1）式，计算化简后用科学记数法表示即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：将代入，得：
；
（3）解：．
【点睛】本题考查了用字母表示数，同底数幂的乘法，除法，科学记数法，在解题中要注意正确计算以及代数式的正确书写．
4．（1）；（2）
【分析】（1）直接利用单项式除以单项式的运算法则计算即可；
（2）将看做一个整体，利用单项式除以单项式的运算法则计算，再计算乘方即可．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据单项式除以单项式法则计算即可；
（2）根据单项式除以单项式法则计算即可；
（3）根据单项式除以单项式法则计算即可；
（4）把数字和幂分别相除，再将结果相乘．
【详解】解：（1）原式=
=；
（2）原式=
；
（3）原式=
=；
（4）原式=
=．
【点睛】本题考查单项式除以单项式法则，单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
6．
【分析】先算积的乘方，再算单项式÷单项式即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查单项式的除法．熟练掌握单项式除法的运算法则：把被除式与除式的系数和相同字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的字母的幂也作为商的因式，是解题的关键．
7．（1）；（2）．
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：（1）
（2）
．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．，．
【分析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式、多项式除以单项式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入，求解即可．
【详解】解：
，
当，时原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是能正确根据整式的运算法则进行化简，注意运算顺序．
9．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）先计算括号内的，逆用乘法分配律进行计算，根据整式的除法法则进行计算即可；
（2）先根据乘法公式计算括号内的，再根据多项式除以单项式的法则进行计算即可；
（3）先计算括号内的，再计算除法，最后计算减法；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，去括号，掌握整式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)
(4)－17－21m
【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
（3）原式利用单项式乘以多项式，以及整式的除法法则计算，即可得到结果；
（3）原式先利用完全平方公式及平方差公式计算，再去括号及合并同类项即可得到结果；
（4）原式先利用平方差公式及多项式乘多项式法则进行计算，再去括号及合并同类项即可得到结果．
【详解】（1）解：
＝
＝
（2）
（3）
＝
（4）（1－2m）（2m＋1）－（3＋4m）（6－m）．
＝
＝
＝－17－21m
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）先用第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，再把结果合并同类项即可；
（2）先把第二项变成平方差公式的形式，再根据平方差公式展开后去括号、合并同类项即可得解；
（3）先把整个式子变成平方差公式的形式求解，再把第二项利用完全平方公式展开后再去括号即可得解．
【详解】解：（1）

（2）

（3）

【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握多项式的乘法法则及多项式乘法公式的应用是解题关键．
12．（1），2.5；（2）；1．
【分析】（1）先根据整式的各运算法则及运算顺序进行化简计算，再代入求出答案即可；
（2）先根据整式的各运算法则及运算顺序进行化简计算，再代入求出答案即可．
【详解】解：（1）原式＝
，
当，时，原式；
（2）原式
，
当时，原式＝1．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
13．，-9
【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式
．
，
，
原式
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
14．(1)
(2)2x+2
【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；
（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．
【详解】（1）
＝2﹣1+
＝；
（2）
＝
＝2x+2．
【点睛】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．
15．，3
【分析】先将代数式化简，根据可得，整体代入即可求解．
【详解】原式
．
∵，
∴．
∴原式
．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．
16．
，0
【分析】先根据平方差公式和多项式除以单项式的运算法则，将整式化简，最后将，代入计算即可．
【详解】解：原式，
，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和多项式除以单项式的运算法则．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页