专题3.29整式的乘除中考真题专练巩固篇专项练习（含解析）2023-2024学年七年级数学下册浙教版专项讲练

专题3.29 整式的乘除（中考真题专练）（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
（2021·广西桂林·统考中考真题）
1．细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（　　）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米 C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
（2020·四川乐山·中考真题）
2．已知，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2021·河北·统考中考真题）
3．不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
（2020·辽宁·中考真题）
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2020·青海·统考中考真题）
5．下面是某同学在一次测试中的计算：
①；②；③；④，其中运算正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
（2021·山东威海·统考中考真题）
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·江苏南通·统考中考真题）
7．已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）
8．已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）
9．下列运算一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2020·河北·统考中考真题）
10．若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
二、填空题
（2020·江西·统考中考真题）
11．计算： ．
（2020·浙江杭州·统考中考真题）
12．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ．
（2020·湖北宜昌·中考真题）
13．数学讲究记忆方法．如计算时若忘记了法则，可以借助，得到正确答案．你计算的结果是 ．
（2022·江苏泰州·统考中考真题）
14．已知 用“＜”表示的大小关系为 .
（2021·湖北荆门·统考中考真题）
15．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 行第 列．
（2021·湖南永州·统考中考真题）
16．若x，y均为实数，，，则 ； ．
（2021·湖南常德·统考中考真题）
17．如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为 ．(用含n的代数式表示)
（2022·湖南长沙·统考中考真题）
18．当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
三、解答题
（2022·广西·统考中考真题）
19．先化简，再求值，其中．
（2022·湖北荆门·统考中考真题）
20．已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2；
(2)x4+．
（2022·河北·统考中考真题）
21．发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
（2022·重庆·统考中考真题）
22．若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
（2021·四川凉山·统考中考真题）
23．阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，
记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，则．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①___________；②_______，③________；
（2）求证：；
（3）拓展运用：计算．
（2021·湖北鄂州·统考中考真题）
24．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000025=2.5×10-6．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．C
【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答．
【详解】∵，
依题意得：，．
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．
3．D
【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．
【详解】解：A. =，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
4．C
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加；同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘，一一判断即可．
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、5a-3a=2a，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，关键是掌握运算法则．
5．D
【分析】根据整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方逐个判断即可．
【详解】与不是同类项，不可合并，则①错误
，则②错误
，则③错误
，则④正确
综上，运算正确的个数为1个
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键．
6．B
【分析】分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. 原选项计算正确 ，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
7．B
【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案．
【详解】解：
；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键．
8．A
【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．
【详解】∵
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
9．A
【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．
【详解】解：A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知，该选项符合题意；
B、根据合并同类项运算可知，该选项不符合题意；
C、根据幂的乘方运算可知，该选项不符合题意；
D、根据同底数幂的乘法运算可知，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
10．B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
【详解】原等式变形得：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
11．
【分析】运用完全平方公式展开，即可完成解答.
【详解】解：
【点睛】本题考查了平方差公式，即；灵活运用该公式是解答本题的关键.
12．﹣
【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．
【详解】解：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝1，N＝2，
∴（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝1，＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，
解得xy＝﹣，
则P＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
13．0
【分析】根据幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得到结果．
【详解】
=
=
=0．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
14．
【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∵，
∴，
∴；
，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾，
∴
∴；
，同理，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．
15． 64 5
【分析】找到第n行第n列的数字，找到规律，代入2021即可求解
【详解】通过观察发现：
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
……
故第n行第n列数字为：，
则第n行第1列数字为：，即+1
设2021是第n行第m列的数字，则：
即,可以看作两个连续的整数的乘积，
为正整数，
当时，
故答案为：64，5
【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．
16． 2021 1
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可．
【详解】解：∵，
∴，，
，
故答案为：2021；
∵，
即，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键．
17．2n2+2n
【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n×(n-1)，得出结论即可．
【详解】解：观察图形可知：
第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数
第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数
第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数
第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数
…
由此发现规律是：
第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数
故答案为：2n2+2n．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．
18．DDDD
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．
19．x2-2y，0
【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x、y值代入计算即可．
【详解】解：
=x2-y2+y2-2y
=x2-2y
当x=1，y=时，原式=12-2×=0．
【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
20．(1)5
(2)47
【分析】（1）由＝、＝，进而得到﹣4x 即可解答；
（2）由＝可得=7，又＝，进而得到＝﹣2即可解答．
【详解】（1）解：∵＝
∴＝
＝
＝﹣4x
＝32﹣4
＝5．
（2）解：∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．
21．验证：；论证见解析
【分析】通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明．
【详解】证明：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．
22．(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析
(2)8109或8190或4536或4563．
【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；
（2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M．
【详解】（1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；
理由：∵，，
∴1022不是“勾股和数”；
∵，
∴5055是“勾股和数”；
（2）∵为“勾股和数”，
∴，
∴，
∵为整数，
∴，
∵为整数，
∴为3的倍数，
∴①，或，，此时或8190；
②，或，，此时或4563，
综上，M的值为8109或8190或4536或4563．
【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．
23．（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）直接根据定义计算即可；
（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；
（3）根据公式：loga（M N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．
【详解】解：（1）①∵，∴5，
②∵，∴3，
③∵，∴0；
（2）设logaM=m，logaN=n，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）
=
=
=2．
【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
24．（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为
【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；
变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可；
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．
【详解】猜想运用：
∵，
∴，
∴，
∴当时，，
此时，
只取，
即时，函数的最小值为2．
变式探究：
∵，
∴，，
∴，
∴当时，，
此时，
∴，（舍去），
即时，函数的最小值为5.
拓展应用：
设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：
，
即，
∵，，
∴，
即，
整理得：，
即，
∴当时，
此时，，
即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页