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【课课练】浙教版2023-2024学年七下数学第1章平行线1.4平行线的性质（2）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点B作BN∥FG
∵四边形EFGH是矩形
∴EH∥FG
故答案为：B
2．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，则必定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，延长DC，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠BCE，
∵折叠，
∴∠BCE=∠2，
∴∠2=∠3.
故答案为：C.
3．将含45°的直角三角板与直尺如图所示放置，有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵ 直尺上下边平行
∴ ∠1=∠2 正确；
∠3=∠4 正确；
∠3+∠5=180° 正确；
∵直角三角板的一个角是90°
∴ ∠2+∠3=90° 正确；
故正确的个数是4个
故答案为D
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3+∠4为（ ）
A．90° B．107° C．117° D．163°
【答案】C
【解析】由题意可得：∠1=∠3，∠2+∠4=180°，
∵∠1＝50°，∠2＝113°，
∴∠3= ∠1＝50°，∠4＝180°-∠2=67°，
∴∠3+∠4=50°+67°=117°，
故答案为：C.
5．如图，直线 ， ， ， ，则 （ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【答案】D
【解析】过E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠3=∠C=50°，∠DEF=∠2=25°，
∴∠BED=∠3+∠DEF=50°+25°=75°.
故答案为：D.
6．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带，将纸条沿折叠一下，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：
根据折叠的性质可得：∠3=∠4，
∵a//b，
∴∠1=∠3+∠4=2∠3=130°，
∴∠3=65°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-65°=115°，
故答案为：A .
7．如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中C在A的北偏东方向，C在B的南偏东方向，B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛B的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西
【答案】C
【解析】设
故答案为：C
8．两块平面镜OM和ON如图放置，从点A处向平面镜ON射出一束平行于OM的光线，经过两次反射后（入射光线与平面镜的夹角始终与反射光线与平面镜的夹角相等），光线CD与平面镜ON垂直，则两平面镜的夹角的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．36°
【答案】C
【解析】∵AB//OM
∴∠ABN=∠MON
设∠MON=x，则∠BCM=2x；
根据光线反射的原理，可得∠DCO=∠BCM=2x；
∵CDON，
∴∠ODC=90°，
∴∠MON+∠DCO=x+2x=90°，
∴x=30°，
即∠MON=30°.
故答案为：C.
9．如图，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 如图，延长AB交EF于G，延长CD交EF的延长线于H，
∵∠ABE=150°，∠ABE+∠EBG=180°，
∴150°+∠EBG=180°，
解得∠EBG=30°，
∵BE⊥EF，
∴∠EBG+∠EGB=90°，
∴30°+∠EGB=90°，
解得∠EGB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠EGB=60°，
∵∠CDF=2∠DFE，
∴∠DFH=180°-∠DFE，∠FDH=180°-∠CDF=180°-2∠DFE，
∵∠DFH+∠FDH+∠H=180°，
∴180°-∠DFE+180°-2∠DFE+∠H=180°，
解得∠DFN=80°．
故答案为：B.
10．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【解析】①过点E作直线，
∵，∴，
∴，，
∴，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴，，
∴，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，
∴，，
∴，即，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，∴，即，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同.如果第一次的拐角∠A是135°，则第二次的拐角∠B是 ， 根据是 .
【答案】135°；两直线平行，内错角相等
【解析】∵第一次的拐角∠A是135°，
∴第二次的拐角∠B是135°，根据是两直线平行，内错角相等，
故答案为：135°；两直线平行，内错角相等。
12．如图，若，，则 度．
【答案】136
【解析】如图，
∵，
∴a∥b，
∴∠3+∠4=180°，
∵∠3=44°，
∴∠4=180°-∠3=136°，
故答案为：136.
13．如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是 ．
【答案】
【解析】过点F作FH∥AB，则FH∥AB∥CD，
设∠EMB=x，则 =3x，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH=∠EMB=x，∠HFN+∠FND=180°，
∴∠HFN=∠EFN-∠MFH=2x，
∴2x+3x=180°，
解得：x=36°，
∴∠F=3x=108°.
故答案为：108°.
14．的两边与的两边分别平行，且是的余角的4倍，则 .
【答案】或
【解析】∵的两边与的两边分别平行
∴或
又∵是的余角的4倍
∴
（1）当时，
（2）当时，
∴综上所述，或
故答案为：或.
15．如图，已知AE∥DF， 则∠A+∠B+∠C+∠D=
【答案】540°
【解析】分别过点B，C作BM∥AE，CN∥AE，如图：
∵AE∥DF，BM∥AE，CN∥AE，
∴BM∥DF，CN∥DF，BM∥CN，
∵BM∥AE，BM∥CN，CN∥DF，
∴∠A+∠ABM=180°，∠MBC+∠BCN=180°，∠NCD+∠D=180°，
又∵∠B=∠ABM+∠MBC，∠C=∠BCN+∠NCD，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠A+∠ABM+∠MBC+∠BCN+∠NCD+∠D=180°+180°+180°=540°.
故答案为：540°.
16．如图a∥b，∠1＋∠2=75°，则∠3+∠4＝ .
【答案】105°
【解析】如图，
∵a∥b，
∴∠6+∠1+∠2+∠5=180°，∠3=∠5，∠4=∠6，
∵∠1＋∠2=75°，
∴∠5+∠6=180°-75°=105°，
∴∠3+∠4=105°.
故答案为：105°.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知点、在直线上，，平分，．
（1）求证： ；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
18．如图，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴
19．如图，AB//CD，∠BCD＝70°，∠CBF＝20°，∠BFE＝130°．
（1）求证AB∥EF；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴∠ABC=∠BCD=70°，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°，
∴∠ABF+∠BFE=180°，
∴；
（2）解：∵，
∴∠A=∠CEF=70°，
∵，
∴∠ACD=180°-∠A=110°，
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=40°．
20．如图，已知BD平分 ，过点A作 交BC于点C，点D为角平分线BD上的一点，连接AD．
（1）若 ，求证： ．
（2）在（1）的条件下， ，求 的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
又∵ ，
∴，
∴ ；
（2）解：∵， ，
∴
又∵，
∴，，
又∵BD平分，
∴，
∴．
21．如图，已知，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D，E分别在CA，BA的延长线上，DBAH，∠D＝∠E．
（1）求证：DBEC；
（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大12°，求∠D的度数．
【答案】（1）证明：∵DB∥AH，
∴∠D＝∠CAH，
∵AH平分∠BAC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵∠D＝∠E，
∴∠BAH＝∠E，
∴DB∥EC；
（2）解：设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x，
则∠BAH＝2x，则∠DAB＝180°－4x，
则∠AHC＝168°－4x，
依题意有168°－4x＝3x，
解得x＝24°，
则∠D＝180°－2x－（180°－4x）＝2x＝48°．
22．把一块含角的直角三角尺放在两条平行线之间．
（1）如图1，若三角形的角的顶点G放在上，且，求的度数；
（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
（3）如图3，若把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
即，
又∵，
∴；
（3）
【解析】（3），
∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴∠AEG-∠FEG+∠CFG-∠EFG=180°，
∵∠FEG=30°，∠EFG=90°，
∴∠AEG-30°+∠CFG-90°=180°，
∴∠AEG+∠CFG=300°，
故答案为：.
23．如图，，点，分别在射线和上，．
（1）若，则 ．
（2）嘉嘉同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法如图，过点作，交于点，请你根据嘉嘉同学提供的辅助线，先确定该定值再说明理由．
（3）如图，把“”改为“”，其他条件保持不变，直接写出与的数量关系．
【答案】（1）60°
（2）解：．
理由：，，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值；
（3）解：．
过点作与相交于点，如图，
，，
，
，
，
，
，
．
．
【解析】 (1) 作，
根据平行线的传递性可知，
∴，
∴.
(2)．
理由：，，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值；
(3)解：．
过点作与相交于点，如图，
，，
，
，
，
，
，
．
．
24．已知，E是平面内一点，连接，．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）如图2，当点E在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，平分，连接，，若，，的度数．
【答案】（1）解：过点E作，如图，
，
，，
，，
，，
；
（2）解：，理由如下：
延长交于点F，如图，
，
，
，
；
（3）解：如图，
是的外角，
，
，
，
平分，
，
由（2）可得：，
，
，
，
即：
，，
．
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【课课练】浙教版2023-2024学年七下数学第1章平行线1.4平行线的性质（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，则必定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．将含45°的直角三角板与直尺如图所示放置，有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3+∠4为（ ）
A．90° B．107° C．117° D．163°
5．如图，直线 ， ， ， ，则 （ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
6．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带，将纸条沿折叠一下，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7．如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中C在A的北偏东方向，C在B的南偏东方向，B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛B的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西
8．两块平面镜OM和ON如图放置，从点A处向平面镜ON射出一束平行于OM的光线，经过两次反射后（入射光线与平面镜的夹角始终与反射光线与平面镜的夹角相等），光线CD与平面镜ON垂直，则两平面镜的夹角的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．36°
9．如图，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同.如果第一次的拐角∠A是135°，则第二次的拐角∠B是 ， 根据是 .
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，若，，则 度．
13．如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是 ．
14．的两边与的两边分别平行，且是的余角的4倍，则 .
15．如图，已知AE∥DF， 则∠A+∠B+∠C+∠D=
（第15题） （第16题）
16．如图a∥b，∠1＋∠2=75°，则∠3+∠4＝ .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知点、在直线上，，平分，．
（1）求证： ；
（2）若，求的度数．
18．如图，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
19．如图，AB//CD，∠BCD＝70°，∠CBF＝20°，∠BFE＝130°．
（1）求证AB∥EF；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．
20．如图，已知BD平分 ，过点A作 交BC于点C，点D为角平分线BD上的一点，连接AD．
（1）若 ，求证： ．
（2）在（1）的条件下， ，求 的度数．
21．如图，已知，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D，E分别在CA，BA的延长线上，DBAH，∠D＝∠E．
（1）求证：DBEC；
（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大12°，求∠D的度数．
22．把一块含角的直角三角尺放在两条平行线之间．
（1）如图1，若三角形的角的顶点G放在上，且，求的度数；
（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
（3）如图3，若把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上，请直接写出与的数量关系．
23．如图，，点，分别在射线和上，．
（1）若，则 ．
（2）嘉嘉同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法如图，过点作，交于点，请你根据嘉嘉同学提供的辅助线，先确定该定值再说明理由．
（3）如图，把“”改为“”，其他条件保持不变，直接写出与的数量关系．
24．已知，E是平面内一点，连接，．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）如图2，当点E在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，平分，连接，，若，，的度数．
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