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专题1-1 平行线+专题1-2 同位角、内错角、同旁内角
模块1：学习目标
1. 理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；
2. 掌握平行公理及其推论；
3. 了解三线八角模型的特征；
4. 掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别他们。
模块2：知识梳理
1．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
注意：(1)平行线的定义有三个特征：1）在同一个平面内；2）两条直线；3）不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行；(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种。特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系。
2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①放：用三角板的一条斜边与已知直线重合；②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边；③移：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点；④画：沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行。
3．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
4．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
注意：（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质；
（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一；（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性。
5. “三线八角”模型：如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图.
注意：（1）两条直线AB，CD与同一条直线EF相交；（2）“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．
6. 同位角、内错角、同旁内角的定义：在“三线八角”中，如上图1，
（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.
（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.
（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.
注意：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角；(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
7、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征
模块3：核心考点与典例
考点1、平面两直线的位置关系
例1．（2023上·安徽宿州·七年级统考期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合
【答案】C
【分析】本题考查了平行线，根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．
【详解】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；故选：C．
变式1. （2023上·江苏·七年级专题练习）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ．
【答案】平行或相交
【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可．
【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行或相交，故答案为：平行或相交．
考点2、立体图形中平行的棱
例1．（2023上·江苏苏州·七年级校考期末）如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的定义，结合正方体的特征直接判断即可．
【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，，故选D．
【点睛】本题考查平行线的判断，解题的关键是掌握平行线的定义和正方体的特征．
变式1. （2023·上海浦东新·统考三模）已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（ ）
A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF．
【答案】A
【分析】首先确定与GC平行的棱，再确定选项即可求解．
【详解】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH．故选：A．
【点睛】本题考查认识立体图形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题．
变式2.（2023上·浙江七年级月考）如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有 条．
【答案】3
【分析】与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行．
【详解】解：与AB平行的线段是：DC、EF；与CD平行的线段是：HG，
所以与AB线段平行的线段有：EF、HG、DC．故答案是：3．
【点睛】本题考查了平行线．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
考点3、用直尺、三角板画平行线
例1．（2023下·河南郑州·七年级统考期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．
【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据平行公理可得答案．
【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线，
这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【点睛】本题考查平行公里，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
变式1. （2023上·吉林长春·八年级校联考期中）在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．用直尺画一工件边缘的垂线 B．用直尺和三角板画平行线
C．利用三角板画的角 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
【答案】D
【分析】根据尺规作图的定义：用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺来解决平面几何作图，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、用直尺画一工件边缘的垂线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
B、用直尺和三角板画平行线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
C、利用三角板画45°的角，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，是尺规作图，故此选项符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查了尺规作图的定义，解题的关键在于熟知定义．
变式2. （2023下·上海宝山·七年级校考期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．
(1)找一格点D，使得直线，画出直线．
(2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据直线的定义，平行线的定义画出图形即可．
（2）根据直线的定义，垂线的定义画出图形即可．
【详解】（1）直线如图所示；（2）直线，点F如图所示．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点4、平行公理及其应用
例1．（2022上·江苏常州·七年级统考期末）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】B
【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解．
【详解】解：如图，
根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行，故选：B．
【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键．
变式1. （2023上·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行 D．两条不相交的直线是平行线
【答案】C
【分析】根据平面内两条直线的位置关系分别判断．
【详解】解：A、在同一平面内，两条线段不相交，也不一定平行，故错误，不合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意；
C、两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行，故正确，符合题意；
D、平面内，两条不相交的直线是平行线，故错误，不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平面内两条直线的位置关系，解题的关键是掌握平行线的定义．
变式2. （2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，已知一点A和直线l，现过点A作直线l的平行线，则可作平行线（ ）
A．1条 B．2条 C．0或1条 D．无数条
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：当A在直线上时，过A不能作直线的平行线，所以为0条，当A在直线外时，根据同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可．
【详解】解：当A在直线上时，过A不能作直线的平行线，所以为0条，
当A在直线外时，同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
变式3. （2023·河北唐山·统考模拟预测）经过直线外一点的5条不同的直线中，与直线相交的直线至少有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行进行判断即可．
【详解】解：∵经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
∴有和直线a平行的，只能是一条，∴与直线a相交的直线至少有4条，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，熟练掌握平行的公理，是解题的关键．
考点5、平行公理推论的应用
例1．（2023上·江苏·七年级专题练习）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵，∴ B．∵，∴
C．∵，∴ D．∵，∴
【答案】C
【分析】根据平行公理及推论，逐一判定即可；掌握平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键．
【详解】解：A、∵，∴，故A不符合题意；
B、∵，∴c与d不一定平行，故B不符合题意；
C、∵∵，∴，故C符合题意；
D、∵，∴a与c不一定平行，故D不符合题意．故选：C．
变式1.（2023下·山东德州·七年级校考期中）如图，，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据平行线公理的推论：平行于同一条直线的两直线互相平行写出答案即可．
【详解】∵，∴，即与的位置关系是平行．故选：B．
【点睛】此题重点考查学生对平行线公理的推论的理解，熟练掌握平行线公理的推论是解题的关键．
变式2. （2023下·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）已知在同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与b的位置关系是（ ）
A． B．或 C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据平行公理的推论即可得出．
【详解】解：∵，，∴．故选C．
【点睛】本题考查平行公理的推论．掌握平行于同一直线的两条直线平行是解题关键．
考点6、同位角的辨别
例1．（2023下·黑龙江绥化·七年级统考期末）如图，和是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同位角的判断．根据同位角的定义：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解即可．
【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意，故选：A．
变式1. （2023下·广东梅州·七年级校考期中）如图所示，不是的同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了同位角，解题的关键是根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角求解．
【详解】解：根据同位角的定义，由图可知，∠1的同位角有：，，，
故不是∠1的同位角，故选：B．
变式2. （2023天津宝坻·八年级阶段练习）下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
【答案】C
【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．
【详解】解：图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2是同位角，
图③中的∠1与∠2不是同位角，图④中的∠1与∠2是同位角，
所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．故选：C．
【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟记同位角的含义概念是关键．
考点7、内错角的辨别
例1．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，直线a，b被直线c所截，与是内错角的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据内错角的定义解决此题．
【详解】解：由图可知，与互为内错角的是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查内错角，熟练掌握内错角的定义是解决本题的关键．
变式1. （2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，下列是内错角的一组为（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角定义逐一进行判断即可．
【详解】解：A．与是同位角，不符合题意；
B．与是同位角，不符合题意； C．与是内错角，符合题意；
D．与是同旁内角，不符合题意； 故选：C．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角定义．
变式2. （2023下·浙江丽水·七年级统考期末）如图，下列各角与是内错角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的意义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、与是同旁内角；B、与是内错角；
C、与不是内错角；D、与是同位角；故选：B．
【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
考点8、同旁内角的辨别
例1．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，与构成同旁内角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据同旁内角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角可选出答案
【详解】解：如图，的同旁内角有．故选：B．
【点睛】此题主要考查了同旁内角定义，关键是掌握同旁内角的边构成“U”形．
变式1. （2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，的同旁内角有（ ）．
A． B． C． D．以上都是
【答案】D
【分析】根据两直线被第三线所截，，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，进行判断即可．
【详解】解：直线被直线所截，与是同旁内角；
直线被直线所截，与是同旁内角；
直线被直线所截，与是同旁内角；故选D．
【点睛】本题考查同旁内角的判断．解题的关键是掌握同旁内角的定义．
变式2. （2023下·广东河源·七年级统考期中）如图所示，和是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】C
【分析】本题主要考查了“三线八角”，解题的关键是熟练掌握同旁内角的定义，“两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角”．
【详解】解：由图可知，和是同旁内角，故C正确．故选：C．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
【答案】D
【分析】根据平行公理等即可逐一进行判断．
【详解】解；A、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．正确，本选项不符合题意；
B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行线具有“传递性”， 正确，本选项不符合题意；
C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行．正确，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．原说法错误，本选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了平行公理等知识点．掌握相关结论是解题的关键．
2．（2023下·天津红桥·七年级统考期中）下列说法中正确的个数是（ ）
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种；
（4）不相交的两条直线叫做平行线；
（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行，垂直，对顶角的性质，以及邻补角的定义即可判断，注意“同一平面内”这个条件的重要性．
【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法正确；
（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误；
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确；
（4）同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故说法正确；
（5）有公共顶点且有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角；故原说法错误．故（1）（3）（4）正确，共3个．故选：C．
【点睛】本题考查了平行公理及推论，垂线，平行线的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义．
3．（2023下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可．
【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线，正确的图形是选项B，故选：B．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2023下·青海海东·七年级统考期中）已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（ ）
A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条
【答案】C
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．过直线上的一点，不能做直线与已知直线平行（互相重合）．
【详解】解：如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条，如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条，故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线公理，注意点P的位置分两种情况表现．
5．（2023下·湖北·七年级统考期末）小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话：
小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行．
小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直．
对于两个人的说法，正确的是（ ）
A．小明对 B．小刚对 C．两人均对 D．两人均不对
【答案】B
【分析】根据平行公理，垂线的基本性质进行判断即可．
【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴小明错，小刚对，故选：B．
【点睛】本题考查了平行公理，垂线的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题的关键．
6．（2023下·浙江七年级课时练习）如图，经过直线外一点的条直线中，与直线相交的直线至少有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】B
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行判定．
【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出过点的条直线中至多只有一条直线与直线平行，即与直线相交的直线至少有条．故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行性质是解题的关键．
7．（2023上·江苏·七年级专题练习）是直线，下列说法正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理以及平行线的性质判断即可．
【详解】解：A、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；
B、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；
D、若，则，正确，符合题意．故选：D
8．（2023下·广东河源·七年级期中）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是对顶角 D．与是同旁内角
【答案】B
【分析】本题考查相交直线所成相关角的概念，解答关键是熟知同位角、内错角、同旁内角、对顶角的相关概念和判断方法．
【详解】解：A．与是直线a、直线b被直线c所截，所得到的同位角，因此选项A不符合题意；B．与是直线a、直线c被直线b所截，所得到的同位角，因此选项B符合题意；
C．与是对顶角，因此选项C不符合题意；
D．与是直线b、直线c被直线a所截，所得到的同旁内角，因此选项D不符合题意；
故选：B．
9．（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示两大拇指代表被截直线，食指代表截线，则图中表示的是（ ）
A．同旁内角 B．同位角 C．内错角 D．补角
【答案】A
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案．
【详解】解：图中表示的是同旁内角．故选：A
【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义．
10．（2023下·四川达州·七年级校考期中）北京冬奥会的比赛项目“自由式滑雪大跳台”深受大家的喜爱，该项目图标如图所示；则在下列判断中①与是对顶角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是同旁内角，其中错误的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据対顶角，同旁内角，同位角的定义逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，与是对顶角故①正确，
与是同位角故②正确，与是领补角故③错误，
与是同旁内角故④正确，故选A；
【点睛】本题考查対顶角，同旁内角，同位角的定义，解题的关键是熟练掌握几种角的定义及形状．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·浙江七年级课时练习）同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个．
【答案】0或1/1或0
【分析】根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可．
【详解】解：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有两种，是平行和相交，
即两条不重合的直线的交点有0或1个．
故答案为：0或1．
【点睛】本题主要考查对平行线和相交线的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
12．（2023·北京石景山·七年级校联考期末）如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）．
【答案】 ； AD与BG．
【分析】(1)根据平行线的定义直接回答即可；
(2)根据平面内线段的位置关系回答即可.
【详解】解：(1)AB∥FG(答案不唯一)；
(2)AD与BG不在同一平面内(答案不唯一).
故答案为(1)AB∥FG；(2)AD与BG.
【点睛】本题考查了平面内两直线的位置关系.
13．（2023·浙江七年级课时练习）如图所示，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；的内错角是 ．
AI
【答案】 和 和 和
【分析】根据内错角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空．
【详解】直线与被直线所截得的内错角是和；直线与被直线所截得的内错角是和；的内错角是和．故答案为：和；和；和．
【点睛】本题考查了内错角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角是解题的关键．
14．（2023下·河南焦作·七年级校考阶段练习）如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .
【答案】①
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角．
【详解】解：与构成同旁内角的是，有2个，故①正确；
与构成同位角的角的是，有1个，故②错误；
与构成同旁内角的角的是，有5个，故③错误；故答案为：①．
【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关概念．
15．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，的同旁内角是 ，的内错角是 ，的同位角是 ．
【答案】
【分析】两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．
【详解】解：由图可得：的同旁内角是；
的内错角是；的同位角是，故答案为：；；．
【点睛】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键．
16．（2023·浙江绍兴·七年级校联考期中）下列说法正确的有（填序号）：_____．
①同位角相等；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；
④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【答案】③④##④③
【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可．
【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；
②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；
④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；
⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确．故答案为③④．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键．
17．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级开学考试）如图，与是直线和直线被直线所截形成的______．
【答案】内错角
【分析】根据两条直线被第三条直线所截，在被截线之间，截线两侧的一对角叫内错角即可填空．
【详解】∵∠ADC与∠BCD的公共边为CD，
∴直线CD为截线．
∵∠ADC与∠BCD在直线BC、AC之间，在直线CD两侧，
∴∠ADC与∠BCD互为内错角．
即∠ADC与∠BCD是直线AB和直线BC被直线CD所截形成的内错角．
故答案为：内错角．
【点睛】本题考查内错角的定义．熟记内错角的定义是解题关键．
18．（2022春·安徽蚌埠·七年级校联考期末）规律探究：同一平面内有直线、、，，，若，，，，，按此规律，与的位置关系是______．
【答案】互相垂直．
【分析】依据，，，，，可得，即可得到与的位置关系是互相垂直．
【详解】解：，，，，按此规律，，
又，，，以此类推，
，，故答案为互相垂直．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是根据已知条件得出规律：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图所示．(1)与，与，与各是什么角，是哪两条直线被哪一条直线所截得的？(2)的内错角有哪些？(3)写出直线，被所截得的同旁内角，直线，被所截得的同旁内角．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）根据同位角概念解答即可；（2）根据内错的概念解答即可；
（3）根据同旁内角的概念解答即可．
【详解】（1）解：与是直线、被直线所截形成的同位角，
与是直线、被直线所截形成的同位角，
与是直线、被直线所截形成的同位角；
（2）解：当直线与被所截时，与是内错角，
当直线和被所截时，与是内错角；
（3）解：直线，被所截得的同旁内角有与，
直线，被所截得的同旁内角与．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解本题的关键要抓住各类角的特征，这也是学生易错的地方，并且还容易出现漏解的情况．
20．（2022上·山西临汾·七年级统考期末）如图，A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母．(1)画射线；(2)画直线；(3)过点画的平行线，为格点；(4)过点画的垂线，垂足为．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析
【分析】（1）根据射线的定义画出图形即可；（2）根据直线的定义画出图形即可；
（3）根据平行线的判定画出图形即可；（4）根据垂线的定义画出图形即可．
【详解】（1）如图，射线即为所求；（2）如图，直线即为所求；
（3）如图，直线即为所求；（4）如图，直线即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解直线，射线，垂线的定义，属于中考常考题型．
21．（2023下·江西南昌·七年级南昌市第三中学校考期中）利用无刻度直尺画图：
(1)利用图1中的网格，过点画的平行线；(2)利用图2中的网格，过点画的垂线．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）根据网格的特点，结合题意过点画出的平行线；
（2）根据网格的特点，结合题意，过点画的垂线．
【详解】（1）解：如图所示
（2）解：如图所示，
【点睛】本题考查了画平行线，画垂线，熟练掌握平行线的性质以及垂线的定义是解题的关键．
22．（2022上·河南南阳·七年级校考期末）【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空．
（1）过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E．
（2）过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G．
【发现】与的位置关系为______．【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；发现：平行；概括：平行于同一条直线的两条直线平行．
【分析】（1）根据网格结构作出的垂线即可；
（2）根据网格结构的特征构造相等的同位角再画图，然后标注即可．再根据平行线的判定可得与的位置关系以及结论．
【详解】解：（1）如图，，D为垂足；
（2）如图，，，
与的位置关系为平行；
结论：平行于同一条直线的两条直线平行．
【点睛】本题考查了这题-应用与设计作图，利用网格结构作垂线，作平行线，熟练掌握网格结构的特征，准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．（2023下·山东枣庄·七年级统考期中）如图，在由相同小正方形组成的网格中，点A，B，C，O都在网格的格点上，，射线在的内部，请用无刻度的直尺作图：(1)过点A作；(2)在的外部，作与有什么关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【分析】（1）根据网格的特点作出图形即可；（2）由得到，则，由，则，由同角的余角相等即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求作；
（2）即为所求作，，
理由如下：∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
【点睛】此题考查了网格作图、余角的性质、垂直的定义、平行线的判定等知识，根据网格特点作图是解题的关键．
24．（2022下·河北石家庄·七年级校考阶段练习）如图，射线与直线分别相交于点H，G． 按要求完成下列各小题．
(1)图中共有 对对顶角， 对内错角；(2)①的同旁内角是 ；
②和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？
(3)过点G画射线的垂线，交于点M，并指出哪条线段的长度表示点G到的距离．
【答案】(1)4；4(2)①，；②和是直线被直线所截形成；同位角(3)图见解析，
【分析】（1）根据对顶角和内错角的定义进行判断即可；
（2）①根据同旁内角的定义，进行判断即可；②根据三线八角的关系，进行判断即可；
（3）根据题意画出垂线即可，根据点到直线的距离为垂线段的长，即可得出结论．
【详解】（1）解：由图可知：和，和，和，和是对顶角，共4对；和，和，和，和是内错角，共4对；故答案为：4；4
（2）①由图可知：的同旁内角是，；故答案为：，；
②和是直线被直线所截形成的同位角；
（3）如图； 由图可知：线段的长即为点G到的距离．
【点睛】本题考查三线八角，对顶角，点到直线的距离．熟练掌握相关定义是解题的关键．
25．（2023·浙江·七年级专题练习）探究题：
(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有_____对，同旁内角有_____对；
(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有___对；
(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有______对，内错角有_______对，同旁内角有 对．(用含n的式子表示)
【答案】(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)．
【分析】根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案．
【详解】（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．故答案为：4，2，2；
（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对．故答案为：12，6，6；
（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n（n-1）对，内错角有 n（n-1）对，同旁内角有n（n-1）对，
故答案为：2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
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专题1-1 平行线+专题1-2 同位角、内错角、同旁内角
模块1：学习目标
1. 理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；
2. 掌握平行公理及其推论；
3. 了解三线八角模型的特征；
4. 掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别他们。
模块2：知识梳理
1．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
注意：(1)平行线的定义有三个特征：1）在同一个平面内；2）两条直线；3）不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行；(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种。特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系。
2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①放：用三角板的一条斜边与已知直线重合；②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边；③移：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点；④画：沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行。
3．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
4．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
注意：（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质；
（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一；（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性。
5. “三线八角”模型：如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图.
注意：（1）两条直线AB，CD与同一条直线EF相交；（2）“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．
6. 同位角、内错角、同旁内角的定义：在“三线八角”中，如上图1，
（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.
（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.
（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.
注意：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角；(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
7、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征
模块3：核心考点与典例
考点1、平面两直线的位置关系
例1．（2023上·安徽宿州·七年级统考期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合
变式1. （2023上·江苏·七年级专题练习）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ．
考点2、立体图形中平行的棱
例1．（2023上·江苏苏州·七年级校考期末）如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023·上海浦东新·统考三模）已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（ ）
A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF．
变式2.（2023上·浙江七年级月考）如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有 条．
考点3、用直尺、三角板画平行线
例1．（2023下·河南郑州·七年级统考期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．
变式1. （2023上·吉林长春·八年级校联考期中）在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．用直尺画一工件边缘的垂线 B．用直尺和三角板画平行线
C．利用三角板画的角 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
变式2. （2023下·上海宝山·七年级校考期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．
(1)找一格点D，使得直线，画出直线．
(2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足．
考点4、平行公理及其应用
例1．（2022上·江苏常州·七年级统考期末）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
变式1. （2023上·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行 D．两条不相交的直线是平行线
变式2. （2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，已知一点A和直线l，现过点A作直线l的平行线，则可作平行线（ ）
A．1条 B．2条 C．0或1条 D．无数条
变式3. （2023·河北唐山·统考模拟预测）经过直线外一点的5条不同的直线中，与直线相交的直线至少有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
考点5、平行公理推论的应用
例1．（2023上·江苏·七年级专题练习）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵，∴ B．∵，∴
C．∵，∴ D．∵，∴
变式1.（2023下·山东德州·七年级校考期中）如图，，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定
变式2. （2023下·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）已知在同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与b的位置关系是（ ）
A． B．或 C． D．无法确定
考点6、同位角的辨别
例1．（2023下·黑龙江绥化·七年级统考期末）如图，和是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023下·广东梅州·七年级校考期中）如图所示，不是的同位角的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023天津宝坻·八年级阶段练习）下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
考点7、内错角的辨别
例1．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，直线a，b被直线c所截，与是内错角的是（ ）．
A． B． C． D．
变式1. （2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，下列是内错角的一组为（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
变式2. （2023下·浙江丽水·七年级统考期末）如图，下列各角与是内错角的是（ ）
A． B． C． D．
考点8、同旁内角的辨别
例1．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，与构成同旁内角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1. （2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，的同旁内角有（ ）．
A． B． C． D．以上都是
变式2. （2023下·广东河源·七年级统考期中）如图所示，和是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
2．（2023下·天津红桥·七年级统考期中）下列说法中正确的个数是（ ）
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种；
（4）不相交的两条直线叫做平行线；
（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·青海海东·七年级统考期中）已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（ ）
A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条
5．（2023下·湖北·七年级统考期末）小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话：
小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行．
小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直．
对于两个人的说法，正确的是（ ）
A．小明对 B．小刚对 C．两人均对 D．两人均不对
6．（2023下·浙江七年级课时练习）如图，经过直线外一点的条直线中，与直线相交的直线至少有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
7．（2023上·江苏·七年级专题练习）是直线，下列说法正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2023下·广东河源·七年级期中）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是对顶角 D．与是同旁内角
9．（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示两大拇指代表被截直线，食指代表截线，则图中表示的是（ ）
A．同旁内角 B．同位角 C．内错角 D．补角
10．（2023下·四川达州·七年级校考期中）北京冬奥会的比赛项目“自由式滑雪大跳台”深受大家的喜爱，该项目图标如图所示；则在下列判断中①与是对顶角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是同旁内角，其中错误的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·浙江七年级课时练习）同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个．
12．（2023·北京石景山·七年级校联考期末）如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）．
13．（2023·浙江七年级课时练习）如图所示，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；的内错角是 ．
AI
14．（2023下·河南焦作·七年级校考阶段练习）如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .
15．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，的同旁内角是 ，的内错角是 ，的同位角是 ．
16．（2023·浙江绍兴·七年级校联考期中）下列说法正确的有（填序号）：_____．
①同位角相等；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；
④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
17．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级开学考试）如图，与是直线和直线被直线所截形成的______．
18．（2022春·安徽蚌埠·七年级校联考期末）规律探究：同一平面内有直线、、，，，若，，，，，按此规律，与的位置关系是______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图所示．(1)与，与，与各是什么角，是哪两条直线被哪一条直线所截得的？(2)的内错角有哪些？(3)写出直线，被所截得的同旁内角，直线，被所截得的同旁内角．
20．（2022上·山西临汾·七年级统考期末）如图，A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母．(1)画射线；(2)画直线；(3)过点画的平行线，为格点；(4)过点画的垂线，垂足为．
21．（2023下·江西南昌·七年级南昌市第三中学校考期中）利用无刻度直尺画图：
(1)利用图1中的网格，过点画的平行线；(2)利用图2中的网格，过点画的垂线．
22．（2022上·河南南阳·七年级校考期末）【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空．
（1）过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E．
（2）过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G．
【发现】与的位置关系为______．【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______．
23．（2023下·山东枣庄·七年级统考期中）如图，在由相同小正方形组成的网格中，点A，B，C，O都在网格的格点上，，射线在的内部，请用无刻度的直尺作图：(1)过点A作；(2)在的外部，作与有什么关系，并说明理由．
24．（2022下·河北石家庄·七年级校考阶段练习）如图，射线与直线分别相交于点H，G． 按要求完成下列各小题．(1)图中共有 对对顶角， 对内错角；(2)①的同旁内角是 ；
②和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？
(3)过点G画射线的垂线，交于点M，并指出哪条线段的长度表示点G到的距离．
25．（2023·浙江·七年级专题练习）探究题：
(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有_____对，同旁内角有_____对；
(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有___对；
(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有______对，内错角有_______对，同旁内角有 对．(用含n的式子表示)
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