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专题1-3 平行线的判定
模块1：学习目标
1. 掌握平行线的五种判定方法；
2. 熟练运用五种判定方法判定直线平行。
模块2：知识梳理
1.直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
注意：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
判定方法4：在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。
即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
判定方法5：平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2。
模块3：核心考点与典例
考点1、同位角相等，两直线平行
例1．（2023下·福建宁德·七年级校联考期中）如图，若，则下列选项中，能直接利用“同位角相等，两直线平行”判定的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】先判断出与是同位角，然后根据平行线的判定即可得出答案．
【详解】解：A、与是内错角，故该选项错误；
B、与是同位角，∵，∴，故该选项正确；
C、与不是内错角、同位角，同旁内角，故该选项错误；
D、与是对顶角，故该选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，内错角相等、同位角相等，同旁内角互补两直线平行， 是需要同学们熟练记忆的内容．
变式1. （2023下·陕西榆林·七年级校考期中）如图，两块三角板形状大小完全相同，则边的依据是 ．（写一个即可）
【答案】同位角相等，两直线平行（答案不唯一）
【分析】利用平行线的判定方法即可解决问题．
【详解】解：依题意， ∴（同位角相等，两直线平行）
故答案为：同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
考点2、内错角相等，两直线平行
例1．（2023·黑龙江大庆·八年级校考开学考试）如图，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据内错角相等，两直线平行即可得解．
【详解】解：，，故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记内错角相等，两直线平行是解题的关键．
变式1.（2023·河北保定·七年级校考期中）如图，已知：，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接进行判断．
【详解】解：，，故选项B正确；
当点可以是延长线上任意一点，如图，如点在点时，
故选项A，C，D不正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解答本题要掌握内错角相等，两直线平行，此题难度不大．
变式2. （2023·浙江七年级课时练习）如图，若与互补，与互补，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角的补角相等得到，利用内错角相等两直线平行推出．
【详解】解：∵与互补，与互补，∴，∴，故选：B．
【点睛】此题考查了补角的性质，平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
考点3、同旁内角互补，两直线平行
例1．（2023上·河北张家口·八年级统考期中）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中，．则这个四边形对边的位置关系为（ ）
A．平行 B．相等 C．垂直 D．不能确定
【答案】A
【详解】先计算两角的和得，再根据平行线判定定理“同旁内角互补，两直线平行”即可得出这个四边形对边的位置关系．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
【分析】解：如图标字母，
∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．故选∶A．
变式1. （2023下·河北沧州·七年级校考期中）如图，下列条件能判定直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】识别同旁边内角，根据平行线的判定方法处理．
【详解】解：根据同旁边内角互补，两直线平行，知，则；故选：A
【点睛】本题考查同旁内角互补，两直线平行；由图形识别同旁内角是解题的关键．
变式2.．（2023下·广东梅州·七年级校考期中）图中的三个六边形中，每个角都等于．图中有平行线吗？如果有，请指出来，并说明它们为什么平行．
【答案】有，理由见解析
【分析】本题主要考查平行线的判定．根据正六边形的性质及平行线的判定求解可得．
【详解】解：，理由：如图，连接，
∵三个六边形的每个内角都是，
∴三个六边形都是正六边形，∴，
∵，∴C、D、E三点共线，
∵，∴．
考点4、同垂直于同一直线的两直线平行（同一平面内）
例1．（2023下·重庆巴南·七年级联考期中）在同一平面内有9条直线，，…，，如果，，，，…那么与的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行或重合 C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】B
【分析】根据垂直的定义和平行线的性质可得与依次是垂直，垂直，平行，平行…，4个一循环，依此可得，的位置关系．
【详解】解：在同平面内有条直线，，若，，，……，
与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…，
∵，∴与的位置关系是平行；当与有公共点时，两直线重合．故选：B．
【点睛】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．
变式1. （2023下·江西上饶·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则
【答案】C
【分析】根据平行线的判定和平行公理的推论依次判断即可．
【详解】解：A、在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，故该说法正确，不符合题意；
B、在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，故该说法正确，不符合题意；
C、在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，故原说法错误，符合题意；
D、在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，故该说法正确，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定和平行公理的推论，熟练掌握同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行，是解题的关键．采用数形结合的思想可以快速解题．
变式2. （2023·山东临沂·统考中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断．
【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即，
又∵过作的垂线，即，
∴，∴直线与的位置关系是平行，故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键．
考点5、添加条件判定平行
例1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，点在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使．
【答案】（答案不唯一）
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【详解】解：当时，；当时，；
当时，．
故答案为：或或（任填一个即可）．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
变式1. （2023下·山东济宁·七年级统考期中）如图，请填写一个条件 ，使．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：填写条件，理由如下：
∵，内错角相等，两直线平行，
故答案为：答案不唯一
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
变式2. （2023·福建福州·七年级统考期中）如图，平分，要使，需添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质可得，，当添加条件时，根据平行线的判定方法即可求解．
【详解】解：、添加条件，不能判定，不符合题意；
、添加条件，不能判定，不符合题意；
、添加条件，不能判定，不符合题意；
、添加条件可得，，根据内错角相等，两直线平行，可得到，符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查平行线的判定方法，理解并掌握角平分线的性质，平行性的判定方法是解题的关键．
考点6、平行线判定的实际应用
例1．（2023·湖北荆州·七年级统考期末）解决问题：同学们玩游戏，借助两个三角形模板画平行线．
规则1：摆放一副三角板，画平行线．
小颖是这样做的：如图1，先画一条直线MN，之后摆放三角板，得到．依据是 ．
小静如图2摆放三角板，也得到．依据是 ．
规则2：请你利用图3中所示的两个三角形模板摆放后画平行线．在图4中画出你摆放的两个三角形模板的位置．
【答案】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；图见解析．
【分析】规则1：根据平行线的判定定理逐个求解即可；规则2：根据平行线的判定定理构造合适的图形即可．
【详解】解：规则1：小颖的做法，由题意可得：
∴，依据为：同位角相等，两直线平行；
小静的做法：
∴，依据为：内错角相等，两直线平行；
规则2：如下图：（画法不唯一）
理由：，所以两直线平行 依据：同旁内角互补，两直线平行，
【点睛】此题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法．
变式1. （2023下·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）如图所示，一块玻璃不小心被打碎了，只有一条边是直的，为了废物利用，工人师傅要把它裁成一块长方形，先用一把直尺作，，这样裁剪以后，和是否平行？并说明理由．
【答案】平行，理由见解析．
【分析】根据题意可得，，即可判定．
【详解】解：和平行，理由如下：
∵，∴∴
【点睛】此题考查了平行线的应用，解题的关键是掌握平行线的判定方法．
变式2. （2023·浙江七年级课时练习）如图，已知直线外一点，过点画直线，使，借助三角板有如下操作：①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点；②用三角板的斜边靠上直线；③沿三角板斜边画直线；
④用直尺紧靠三角板的一条直角边．正确的操作顺序是（ ）
A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②①
【答案】C
【分析】利用基本作图方法得出作直线的步骤即可．
【详解】解：②用三角板的斜边靠上直线；
④用直尺紧靠三角板的一条直角边；
①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点；
③沿三角板斜边画直线；故选：C．
【点睛】此题考查了作平行线以及平行线的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键．
考点7、平行线的综合判定
例1．（2023·湖北恩施·七年级校考期中）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，正确识别三线八角中的同位角、内错角、同旁内角是解答本题的关键．只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行，利用平行线的判定定理，逐一判断，得出结论．
【详解】解：选项中，因为，所以（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．选项中，因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
选项中，因为，所以（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
选项中，因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，故本选项符合题意．故选：．
变式1. （2023·上海闵行·七年级校考期中）如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．关键是掌握平行线的判定定理．
【详解】解：，，故选项A不合题意；
，，不能判定，故选项B符合题意；
，，故选项C不合题意；
∵，，故选项D不合题意．故选：B．
变式2. （2023·浙江七年级课时练习）如图，已知，添加下列一个条件：①；②；③；④．其中能判定的是 （填序号）．
【答案】①③④
【分析】根据证得，结合每一个选项中的条件证得，即可推出．
【详解】解：∵，∴，∴，
①∵，，∴，∴，∴，故正确，故符合题意；
②∵，，∴，∴不平行，∴不能判定，故错误，故不符合题意；
③∵，，∴，∴，∴，故正确，故符合题意；
④∵，∴，∵，∴，∴，∴，故正确，故符合题意；故答案为：①③④．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，平行公理的应用，正确掌握平行线的判定定理是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022下·广东清远·七年级校考阶段练习）如图，下列条件能判断两直线平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可．
【详解】A．由可得，故不符合题意；
B．由可得，故符合题意；
C．由不能得到任何两条直线平行，故不符合题意；
D．由不能得到任何两条直线平行，故不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
2．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）若，，则与的关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对
【答案】D
【分析】只有当直线a、b、c位于同一平面内时，垂直于同一条直线的两条直线平行成立，即可得到答案．
【详解】解：当直线a、b、c在同一平面内时，，，则．
当直线a、b、c不在同一平面内时，，，与的关系不一定平行．故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
3．（2023下·山东滨州·七年级校考期末）在同一平面内，是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理的推论判断求解即可．
【详解】解：若，则，故A错误，不符合题意；
若，则，故B错误，不符合题意；
若，则，故C错误，不符合题意；
若，则，故D正确，符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
4．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可求解．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
【详解】解：A、可判断，故此选项符合题意；
B、可判断，故此选项不符合题意；
C、可判断，故此选项不符合题意；
D、可判断，故此选项不符合题意．故选：A．
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下面是李强想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（ ）
（1） （2）过点作直线 （3）作，则
A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的判定条件，理解并掌握平行线的判定条件是解题关键．平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据题意，结合平行线的判定条件，即可获得答案．
【详解】解：∵，∴（同位角相等，两直线平行）．故选：D．
6．（2023·河北石家庄·七年级校考期末）张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线、被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据”．三人所做答案如下：
甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行；
乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行；
丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行；
对三位同学的答案判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．乙对，丙错 D．乙错，丙对
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：∵，若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误；
若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确；
若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
7．（2023·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可以从直线的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．
【详解】解：A、∵，∴，不能证明，不符合题意；
B、∵，∴，符合题意；
C、∵，∴，不能证明，不符合题意；
D、∵，∴，不能证明，不符合题意；故选：B．
【点睛】此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
8．（2022春·浙江台州·七年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
9．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90 ，所以；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10．（2022春·浙江宁波·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有BCAE；③如果∠1＝∠2＝∠3，则有BCAE；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据题意得：∠2+∠3=90°，∠2+∠1=90°，可得∠1＝∠3，故①正确；再由∠4=45°，∠2＝30°，可得∠3=60°，从而得到∠3≠∠4，故②错误；由∠1＝∠2＝∠3，可得∠3=45°，从而得到∠4＝∠3，故③正确；根据题意得：∠4=45°，∠E=60°，可得∠4≠∠E，故④错误，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠2+∠3=90°，∠2+∠1=90°， ∴∠1＝∠3，故①正确；
根据题意得：∠2+∠3=90°，∠4=45°，
若∠2＝30°，∴∠3=60°，∴∠3≠∠4，∴BC不平行与AE，故②错误；
若∠1＝∠2＝∠3，∴∠3=45°，∴∠4＝∠3，∴BCAE，故③正确；
根据题意得：∠4=45°，∠E=60°，∴∠4≠∠E，故④错误；∴正确的有①③．故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，三角板中角度计算问题，熟练掌握一副三角板中各个内角的度数，平行线的判定定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·浙江杭州·七年级校考期末）如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】根据同位角相等，两直线平行可得答案．
【详解】解：由作图可得，根据同位角相等，两直线平行可得，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
12．（2023下·上海闵行·七年级校考期中）1.如图，如果，那么 ．
【答案】
【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，（内错角相等，两直线平行）．故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
13．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）若直线，，，，则直线，的位置关系是 ．
【答案】
【分析】根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，得到直线、与直线、的位置关系，即可得到结论．
【详解】解：∵，，∴；
∵，，∴；∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法，平行公理的应用．掌握垂直于同一条直线的两条直线互相平行，平行于同一条直线的两条直线互相平行是解决本题的关键．
14．（2022春·浙江·七年级期末）如图，直角三角形的顶点A在直线m上，分别度量：①；②；③；④，可判断直线m与直线n是否平行的是__________．
【答案】②
【分析】两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．据此可得结论．
【详解】解：度量：①∠1，∠2，∠C，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
度量：②∠2，∠3，∠B，可得∠4的度数，结合∠2的度数，即可判断直线m与直线n是否平行，符合题意；
度量：③∠3，∠4，∠C不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
度量：④∠1，∠2，∠3，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
15．（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，对于下列给出的四个条件：①；②；③；④中，能判定的有 ．（填写正确条件的序号）
【答案】①③④
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可得．
【详解】解：①能判定（内错角相等，两直线平行）；
②不能判定；
③能判定（同位角相等，两直线平行）；
④能判定（同旁内角互补，两直线平行）；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
16．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）学行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是 ．
【答案】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
【分析】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．据此即可解答．
【详解】解：由图2可知：,由图3可知：,
∴（在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）．
故答案为：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行是解答本题的关键．
17．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）
【答案】①④
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，
∴∠BAD=60°+90°=150°；
∴∠BAD=150°或∠BAD =30°．故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
18．（2022秋·浙江八年级课时练习）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．
【答案】2秒或38秒
【分析】分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：存在．分三种情况：
如图，与在的两侧时，
，，，，
要使，则，即，解得；
此时，；
旋转到与都在的右侧时，，，
，，
要使，则，即，解得，
此时，；
旋转到与都在的左侧时，，，
，，
要使，则，即，解得，此时，
，此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行．故答案为：秒或秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·黑龙江绥化·七年级统考期末） ，，．与平行吗？为什么？
解：．
，
，
即 ．
又，
且，
∴ ．
理由是： ．
．
理由是： ．
【答案】90；90；，；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】由垂直于，利用垂直的定义得到为直角，进而得到与互余，再由与互余，根据，利用等角的余角相等得到，利用同位角相等两直线平行即可得证．
【详解】解： ．
，，即．
又，且，．
理由是：等角的余角相等．．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；，；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键
20．（2023下·广东河源·七年级统考期中）如图，交于，交于，交于，，，试判断和的位置关系，并说明为什么．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握“内错角相等，两直线平行”并且结合对顶角的性质，利用，等量代换即可得到，进而得到答案．
【详解】解：．
理由：∵，，，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
21．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】由平分，平分，可得，，由，可得，即，由，可得．
【详解】解：，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，∴．
【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．（2023下·河南商丘·七年级校联考阶段练习）如图，直线分别与直线交于点．作的平分线分别交于点．
(1)请利用量角器、直尺补全图形；(2)判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【分析】（1）利用量角器画角平分线即可；（2）证明，可得，则，证明，，可得，则．
【详解】（1）解：如图，补全图形如下：
.
（2） 理由是：
，，
∴，∴，
∵平分平分，
，，
，∴．
【点睛】本题考查的是利用量角器画角平分线，角平分线的定义，平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解本题的关键．
23．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线和被直线所截．
(1)如图1，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足______时， ，并说明平行的理由；
(2)如图2，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足______时，，并说明平行的理由；
(3)如图3，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足______时，，并说明平行的理由．
【答案】(1)，见解析(2)，见解析(3)，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，故与满足，即可得出，即可判断；
（2）根据角平分线的定义可得，，故与满足，即可得，即可判断；
（3）同（2）的分析即得结论．
【详解】（1）当与满足时， ，理由如下：
∵平分，平分，∴，，
∵，∴，∴；
（2）当与满足时，，理由如下：
∵平分，平分，∴，，
∵，∴，∴；
（3）当与满足时，，理由如下：
∵平分，平分，∴，，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
24．（2022春·山西大同·七年级校考期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上．
（1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．
（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：；
（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；．
【分析】（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；
（2）先证明，再证明，得到，问题得证；
（3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=，进而得到，根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：（1）过点C作，，
，，，，
，， ，；
（2）解：，，
又，，
，，，，；
（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．
∵，∴，由（2）得，DE∥AC，∴∠DEF=∠ECA=，
∵，∴∠ACB=，∴ ，
∴∠A=180°-=．故答案为为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键．
25．（2023下·山东济南·七年级统考期中）（1）我们曾用移动三角尺的方法画出了两条平行线（如图1），请说明依据的基本事实为：___________；
（2）基本事实可作为依据，用来证明新的结论．请根据以上基本事实证明平行线的判定方法：“同旁内角互补，两直线平行”
已知：如图2，∠1和∠2是直线被直线截出的同旁内角，且与互补，求证：．（推理过程请注明理由）
（3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：如图3，在铺设铁轨时，两条铁轨必须是互相平行的．将铁轨和枕木看成直线（如图4 所示，直线a、b为直轨，m、n为枕木），是直角，可以通过度量图中已标出的哪个角的度数，来判断两条铁轨是否平行？为什么？
【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）见解析；（3）可以通过度量图中已标出或或的的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；见解析
【分析】（1）依据同位角相等，两直线平行作答；
（2）根据同角的补角相等可得，再根据同位角相等，两直线平行作答即可；
（3）可以通过度量图中已标出或或的的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；然后利用（1）的基本事实和（2）的结论证明即可．
【详解】（1）用移动三角尺的方法画出了两条平行线，依据的基本事实为：同位角相等，两直线平行；故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2）证明：如图2，∵与互补，即（补角的定义），
又∵（邻补角的定义），
∴（同角的补角相等），
∴（同位角相等，两直线平行）；
（3）可以通过度量图中已标出或或的的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；
理由：∵是直角，∴，
若，则，由（2）同旁内角互补，两直线平行可知；
若，则，根据同位角相等，两直线平行可知；
若，由于，则，根据同位角相等，两直线平行可知．
【点睛】本题考查了平行线的判定和演绎推理，正确理解题意、熟知同位角相等、两直线平行是解题的关键．
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专题1-3 平行线的判定
模块1：学习目标
1. 掌握平行线的五种判定方法；
2. 熟练运用五种判定方法判定直线平行。
模块2：知识梳理
1.直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
注意：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
判定方法4：在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。
即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
判定方法5：平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2。
模块3：核心考点与典例
考点1、同位角相等，两直线平行
例1．（2023下·福建宁德·七年级校联考期中）如图，若，则下列选项中，能直接利用“同位角相等，两直线平行”判定的是（ ）
A． B． C．D．
变式1. （2023下·陕西榆林·七年级校考期中）如图，两块三角板形状大小完全相同，则边的依据是 ．（写一个即可）
考点2、内错角相等，两直线平行
例1．（2023·黑龙江大庆·八年级校考开学考试）如图，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023·河北保定·七年级校考期中）如图，已知：，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023·浙江七年级课时练习）如图，若与互补，与互补，则一定有（ ）
A． B． C． D．
考点3、同旁内角互补，两直线平行
例1．（2023上·河北张家口·八年级统考期中）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中，．则这个四边形对边的位置关系为（ ）
A．平行 B．相等 C．垂直 D．不能确定
变式1. （2023下·河北沧州·七年级校考期中）如图，下列条件能判定直线的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.．（2023下·广东梅州·七年级校考期中）图中的三个六边形中，每个角都等于．图中有平行线吗？如果有，请指出来，并说明它们为什么平行．
考点4、同垂直于同一直线的两直线平行（同一平面内）
例1．（2023下·重庆巴南·七年级联考期中）在同一平面内有9条直线，，…，，如果，，，，…那么与的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行或重合 C．垂直 D．相交但不垂直
变式1. （2023下·江西上饶·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则
变式2. （2023·山东临沂·统考中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
考点5、添加条件判定平行
例1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，点在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使．
变式1. （2023下·山东济宁·七年级统考期中）如图，请填写一个条件 ，使．
变式2. （2023·福建福州·七年级统考期中）如图，平分，要使，需添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
考点6、平行线判定的实际应用
例1．（2023·湖北荆州·七年级统考期末）解决问题：同学们玩游戏，借助两个三角形模板画平行线．
规则1：摆放一副三角板，画平行线．
小颖是这样做的：如图1，先画一条直线MN，之后摆放三角板，得到．依据是 ．
小静如图2摆放三角板，也得到．依据是 ．
规则2：请你利用图3中所示的两个三角形模板摆放后画平行线．在图4中画出你摆放的两个三角形模板的位置．
变式1. （2023下·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）如图所示，一块玻璃不小心被打碎了，只有一条边是直的，为了废物利用，工人师傅要把它裁成一块长方形，先用一把直尺作，，这样裁剪以后，和是否平行？并说明理由．
变式2. （2023·浙江七年级课时练习）如图，已知直线外一点，过点画直线，使，借助三角板有如下操作：①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点；②用三角板的斜边靠上直线；③沿三角板斜边画直线；
④用直尺紧靠三角板的一条直角边．正确的操作顺序是（ ）
A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②①
考点7、平行线的综合判定
例1．（2023·湖北恩施·七年级校考期中）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023·上海闵行·七年级校考期中）如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023·浙江七年级课时练习）如图，已知，添加下列一个条件：①；②；③；④．
其中能判定的是 （填序号）．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022下·广东清远·七年级校考阶段练习）如图，下列条件能判断两直线平行的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）若，，则与的关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对
3．（2023下·山东滨州·七年级校考期末）在同一平面内，是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下面是李强想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（ ）
（1） （2）过点作直线 （3）作，则
A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行
6．（2023·河北石家庄·七年级校考期末）张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线、被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据”．三人所做答案如下：
甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行；
乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行；
丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行；
对三位同学的答案判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．乙对，丙错 D．乙错，丙对
7．（2023·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·浙江台州·七年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A． B． C． D．
9．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
10．（2022春·浙江宁波·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有BCAE；③如果∠1＝∠2＝∠3，则有BCAE；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·浙江杭州·七年级校考期末）如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是 ．
12．（2023下·上海闵行·七年级校考期中）1.如图，如果，那么 ．
13．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）若直线，，，，则直线，的位置关系是 ．
14．（2022春·浙江·七年级期末）如图，直角三角形的顶点A在直线m上，分别度量：①；②；③；④，可判断直线m与直线n是否平行的是__________．
15．（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，对于下列给出的四个条件：①；②；③；④中，能判定的有 ．（填写正确条件的序号）
16．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）学行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是 ．
17．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有_________．（填序号）
18．（2022秋·浙江八年级课时练习）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·黑龙江绥化·七年级统考期末） ，，．与平行吗？为什么？
解：．
，
，
即 ．
又，
且，
∴ ．
理由是： ．
．
理由是： ．
20．（2023下·广东河源·七年级统考期中）如图，交于，交于，交于，，，试判断和的位置关系，并说明为什么．
21．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．
22．（2023下·河南商丘·七年级校联考阶段练习）如图，直线分别与直线交于点．作的平分线分别交于点．
(1)请利用量角器、直尺补全图形；(2)判断与的位置关系，并说明理由．
23．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线和被直线所截．
(1)如图1，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足______时， ，并说明平行的理由；
(2)如图2，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足______时，，并说明平行的理由；
(3)如图3，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足______时，，并说明平行的理由．
24．（2022春·山西大同·七年级校考期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上．
（1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．
（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：；
（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示）
25．（2023下·山东济南·七年级统考期中）（1）我们曾用移动三角尺的方法画出了两条平行线（如图1），请说明依据的基本事实为：___________；
（2）基本事实可作为依据，用来证明新的结论．请根据以上基本事实证明平行线的判定方法：“同旁内角互补，两直线平行”
已知：如图2，∠1和∠2是直线被直线截出的同旁内角，且与互补，求证：．（推理过程请注明理由）
（3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：如图3，在铺设铁轨时，两条铁轨必须是互相平行的．将铁轨和枕木看成直线（如图4 所示，直线a、b为直轨，m、n为枕木），是直角，可以通过度量图中已标出的哪个角的度数，来判断两条铁轨是否平行？为什么？
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