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专题1-4 平行线的性质
模块1：学习目标
1. 掌握平行线的性质，能依据平行线的性质进行简单的推理；
2. 了解平行线的判定和性质的区别与联系，理解两条平行线的距离的概念.。
模块2：知识梳理
1、平行线的性质
1：两直线平行，同位角相等；2：两直线平行，内错角相等；3：两直线平行，同旁内角互补.
注意：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”； (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
2、两条平行线的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
注意：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
（2） 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
模块3：核心考点与典例
考点1、两直线平行，同位角相等
例1．（2023下·广东广州·七年级校联考期中）如图，已知且与不垂直，则与相等的角有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可.
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴，故选：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键.
变式1. （2022上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列图形中，由能得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质依次判断即可．
【详解】A．由可得，故A选项错误；
B．如图，
∵∴，∵ ，∴．故B选项正确；
C．由可得，故C选项错误；
D．由不能得到，，故D选项错误．故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
考点2、两直线平行，内错角相等
例1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）推理填空：如图：，．求证：．
证明：因为（已知），（____________），得，
所以（____________），得，
因为（已知），得（等量代换），
所以（____________），
所以（____________）．
【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质即可求证结论，解题的关键是掌握平行线的判定及性质．
【详解】证明：因为（已知），（对顶角相等），得，
所以（同位角相等，两直线平行），得，
因为（已知），得（等量代换），
所以（内错角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，内错角相等），
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
变式1．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）如图，由，可以得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质即可得到结论，此题考查了平行线的性质，熟知“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【详解】解：∵，∴，故选：D．
变式2. （2022下·湖北武汉·七年级统考期中）完成下面的证明：
如图所示，，求证：．
证明：过E作，
∵，∴_____________（_________），
∴_______（_______）．
∵（已作），
∴_______（_______）．
又∵______，
∴．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，过E作，根据平行线的判定与性质求解即可，熟记“平行于同一直线的两直线平行”、“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【详解】过E作，
∵，∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已作），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵，∴．
故答案为：；平行于同一直线的两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；．
考点3、两直线平行，同旁内角互补
例1．（2023下·福建莆田·七年级校考期中）已知，，、分别平分与，且．求证：．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：分别平分与，（已知）
，．（________）．
，（________________）
，（ ）
，（已知）
，（等量代换）
________，（________________）
．（________________）
【答案】角平分线的定义；已知；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】根据角平分线的定义可得，，从而得到，再由可得，根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据平行线的性质可得．
【详解】证明：分别平分与，（已知）
，，（角平分线的定义）
，（已知）
，（等量代换）
，（已知）
（等量代换）
，（内错角相等，两直线平行）
．（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：角平分线的定义；已知；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平分线的性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
变式1. （2023·福建福州·七年级统考期中）如图，直线a，b被c所截，且，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，，，
，，，故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
考点4、利用平行线的性质求角度
例1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，平分，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，求出，再利用角平分线计算即可．
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∵平分，∴,
∴，故选：A．
变式1.（2023·辽宁大连·七年级校考阶段练习）如图，直线，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据对顶角相等，即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
变式2.（2023上·重庆北碚·九年级校考期中）如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，根据，得出，根据，可得．
【详解】解：，，
，，
，．故选：A．
考点5、平行线的性质在生活中的应用
例1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且CD的延长线恰好是的角平分线，则 ．
【答案】80°/80度
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，过点A作，过点B作交于点H，根据平行线的判定和性质，求出的度数，利用角平分线的性质，即可得解.
【详解】解：过点A作，过点B作交于点H，
∵，∴，∵，∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，，
∴，∴，
∵的延长线恰好是的角平分线，
∴；故答案为：.
变式1.（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）如图，一条街道有两个拐角和，已知，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由，根据两直线平行，内错角相等，可得的度数，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解．
【详解】∵
∴（两直线平行，内错角相等）．故选：D．
变式2.（2023·河北邯郸·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？（2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．
【答案】（1）为时，才能使公路准确接通；（2）
【分析】（1）根据平行线的性质，可求出答案；
（2）利用方向角以及平行线的性质进行计算即可．
【详解】解：（1）如图1，，，
，
答：当时，才能使公路准确接通；
（2）如图2，由题意得，，，，
，，，
，
即：．
【点睛】本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义，掌握平行线的性质是正确解答的前提．
考点6、利用平行线的性质探究角度关系
例1．（2023上·安徽阜阳·八年级校考期中）如图1，直线分别交，于点E，F（点F在点E的右侧），若．
(1)求证：；(2)如图2，点，在，之间，且位于的两侧，连接，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角定义等知识，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）设，，，，可得即可求解．
【详解】（1）解：，，，
∴，∴．
（2）解：过作，过作，如图
设，，，，
，，，，
，，
，
，，．
变式1. （2023·广东东莞·七年级校考期中）如图所示，已知，则、、三者之间的关系是 ．
【答案】
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补”即可求解．
【详解】解：∵，∴，则，
∵，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键．
变式2. （2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点作．
∵，
∴________（ ）
∴____（ ）
又∵
∴
∴________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系．
【答案】(1)；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；
(2) (3)；
【分析】本题考查了平行线的性质与判定；（1）首先过点P作，根据平行线的性质，可得，，从而证得；（2）同（1）的方法可得，，，进而即可得出结论；
（3）同（1）的方法分别结合图3，图4，得出，，的关系，即可求解．
【详解】（1）解：过点作．
∵，∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴（两直线平行内错角相等）
又∵∴∴．
故答案为：；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；．
（2）发生变化，应是．证明：如图2，
过点作．∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）∴
又∵∴
∴．即
（3）如图3，过点作，
∵，，∴∴
又∵∴
∴．
即
如图4，过点作，
∵，∴∴
又∵∴
∴．
即
考点7、求平行线间的距离及运用
例1．（2023下·甘肃张掖·七年级校考期中）在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，已知与的距离为，与的距离为，则与的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分直线c在a、b之间和直线c不在a、b之间两种情况，分别利用平行线间的距离的意义求解即可．
【详解】解：因为与的距离为，与的距离为，
所以当直线c在a、b之间时，a与c的距离为；
当直线c不在a、b之间时，a与c的距离为，
综上，a与c的距离为或．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线之间的距离，注意分类讨论．
变式1.（2022上·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）如图，平行线间的三个图形，下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的面积大 B．三角形的面积大 C．梯形的面积大 D．三个图形的面积相等
【答案】D
【分析】设该组平行线间的距离为h，根据各个图形的面积公式将各个图形面积表示出来即可解得．
【详解】解：设该组平行线间的距离为h，平行四边形的面积，
三角形的面积，梯形的面积，∴三个图形的面积相等，故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线间的距离处处相等，解题的关键是熟练掌握该性质．
变式2．（2022下·福建·七年级统考期中）如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据，平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高．
【详解】解：∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，∴与同底等高，∴与面积相等，
∴与面积相等的三角形为：、，故选：B．
【点睛】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．
考点8、根据平行线的性质和判定证明
例1．（2023·湖北咸宁·七年级校考期末）已知，如图 ，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点 ，设，，且．
(1) ， ；直线与的位置关系是 ．
(2)如图 ，若点，分别在射线和线段上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论．
(3)若将图中的射线绕着端点 逆时针方向旋转（如图 ），分别与，相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中 的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)40，40，平行(2)，证明见解析(3)不变，值为2
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可求和的值，通过导角证明，可证；（2）根据可证，等量代换可得，进而证明，推出，结合可得结论；
（3）作，，可证，，根据角平分线的定义可得．
【详解】（1）解：，，，
，，，，
平分，，，
，故答案为：40，40，平行；
（2）解：，证明如下：，，
，，，，
，；
（3）解：不变，值为2．
如图，作，，
∵，∴ ，
∴，，，，
∴，，
∵的平分线与直线相交于点，的角平分线与射线相交于点，
∴，， ∴，
∴，即．
【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理和证明．
变式1. （2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线平行直线，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P．(1)如图，求证：．(2)如图，以点N为圆心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为圆心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数．
(3)在（2）的条件下，如图，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)30°(3)或
【分析】（1）过点作，得到，根据平行线的性质，结合，即可得出结论；（2），得到，推出，，得到，推出，设，推出，，根据，求解即可；
（3）分点在直线的上方和下方，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）证明：过点作，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）∵，∴，由（1）知：，
又，∴，
∵，∴，∴，
设：，则：，
∴，∴，
∵，
∵，∴，∴，∴；
（3）①当点在下方时，如图：
∵，∴，
∵，∴，
∵平分，平分，∴，
过点作，则：，
∴，∴；
②当点在上方时，如图：
同理可得：，过点作，则：，
∴，∴，
∴；综上：或．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键．本题的难度较大，属于压轴题．
变式2.（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，直线分别交于点G，H，点P为直线上的点，连接．
(1)如图1，点P在线段上时，请你直接写出，，的数量关系；(2)如图2，点P在的延长线上时，连接交于点Q，连接，若，求证：；(3)在（2）的条件下，如图3，平分，平分，与交点K，连接，若，，，求的大小．
【答案】(1)(2)见详解(3)
【分析】（1）过P作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；（2）过点Q作，证出，根据平行线的传递性即可证明；
（3）根据三角形内角和即可算出，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出，结合（2）即可解出，过K作，证出根据平行线性质得出即可得，即可求解；
【详解】（1）过P作，，
，，，
；
（2）过点Q作，，
，，；
（3）平分，平分，，
，，
，
由（2）知，即，
，过K作，
∵，，
，
即，，
，
【点睛】本题考查平行线的性质“两直线平行内错角相等”、角平分线的定义、平行线的传递性“两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”等，解题的关键是会添加常用辅助线(即过“拐点”作平行线，一般而言，有几个 “拐点”就需要作几条平行线)，从而用“拐点”模型的基本结论解决问题．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）如图所示，，则平行线l与n间的距离是（ ）．
A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】A
【分析】根据平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：∵于点，∴平行线与间的距离是线段的长度，故选项正确；
∵线段、线段、线段都不是与之间的垂线段，故选项B、C、D都错误；故选：A．
【点睛】本题考查了平行线之间的距离，熟知从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离是解答此题的关键．
2．（2023·浙江金华·九年级校联考期中）如图，直线，直线，若， 则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】根据垂直，求出，根据平行线的性质得出，即可求出答案．本题考查了平行线的性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
【详解】解： ，，
，，，，故选：B．
3．（2023上·安徽安庆·八年级统考期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质可得，，再结合角的和差关系可得答案.
【详解】解：过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，
∵直尺两边互相平行，∴，，
∵，∴，故选：B．
4．（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）如图，点、为平面内两个定点，定直线，是直线上一动点，对下列各值：①的周长；②的面积；③点到的距离；④的大小.其中会随点的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断③；根据三角形的周长和点M的运动变化可判断①④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断②；进而可得答案．
【详解】解：∵直线，∴点M到直线的距离不会随点M的移动而变化，故③正确；
∵，的长随点M的移动而变化，
∴的周长会随点M的移动而变化，的大小会随点M的移动而变化，故①④错误；
∵点M到直线的距离不变，的长度不变，
∴的面积不会随点M的移动而变化，故②正确；
综上，不会随点M的移动而变化的是①④．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．
5．（2022秋·山东七年级专题练习）2022年北京冬奥会男子500米短道速滑冠军高亭玉在一次速滑训练中，经过两次拐弯后的速滑方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐52°，第二次向右拐52° B．第一次向左拐48°，第二次向左拐48°
C．第一次向左拐73°，第二次向右拐107° D．第一次向左拐32°，第二次向左拐148°
【答案】D
【分析】两次转弯后行进的方向与原来相反，说明两次转弯的方向相同，而且一共转过了180°，由此求解即可．
【详解】∵经过两次拐弯后的速滑方向与原来的方向相反，
∴两次转弯的方向相同，而且一共转过了180°，∴A、两次转弯方向相反，故不符合题意；
B、，故不符合题意；C、两次转弯方向相反，故不符合题意；
D、两次转弯的方向相同，，一共转过了180°，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定方法．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6．（2023上·贵州遵义·八年级统考期中）如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】A
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的的度数．平角的定义，求出的度数，平行线得到，即可得解．熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，的直角顶点A落在直线a上，∴，
∵，∴，∴；故选A．
7．（2023上·广东惠州·八年级统考期中）如图，把一副的直角三角板的直角顶点重合在一起，当绕点B逆时针旋转到时，交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的判定与性质及三角形外角的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．首先根据平行线的判定与性质可得，又由三角形外角的性质可得的度数．
【详解】解：如图，
，，，，
，．故选：D．
8．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）如图，有下列结论：① 若，则；②若，则；③若，则 ④若平分，则其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和，根据平行线的判定和性质解答即可．
【详解】解：①若，则；正确；②若，则；错误；
③若，则；正确；
④∵，∴，∵，∵平分，
∴，∴，正确；故选：C．
9．（2023·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．与没有数量关系
【答案】A
【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案．
【详解】解：过C作∥，
∥，，，，
，，，
，，故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题．
10．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则以下结论正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各结论进行逐一分析，即可解答．
【详解】解：，，，①结论正确；
由折叠可知，，，②结论错误；
，，③结论正确；
，且，，④结论正确；
所以，以上结论正确的是①③④，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，解题关键是平行线的性质．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·广东河源·七年级统考期中）如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查平行线的性质，方向角的计算，根据题意可得，得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，，
，，
，故答案为：．
12．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多物品都与如图所示的曲线有关、如图，从点O照射到曲线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果
，，则 ， ．
【答案】 /40度 /115度
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
即，解得．故答案为：；．
13．（2023下·贵州黔南·七年级校考期中）如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是 度．
【答案】
【分析】利用平行线的性质，求解即可．
【详解】解：∵∴
又∵∴
∴故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的有关性质．
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，，，则 ．
【答案】/65度
【分析】过点作，得到，进而得到，再利用计算即可．本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点作平行线．
【详解】解：过点作，
∵，∴，∴，
∴；故答案为：．
15．（2023下·湖南常德·七年级统考期末）如图，，，且三角形面积为12，则点C到的距离为 ．
【答案】4
【分析】先利用三角形的面积，求出其边上的高，再利用平行线间距离处处相等，得到C到的距离为4．
【详解】解：如图，过A作于E，
∵三角形面积为12，，∴，∴，
过C作于F，∵，∴，
∴点C到的距离是4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的面积，点到线段的距离的概念，利用平行线间距离处处相等是解决本题的关键．
16．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ．
【答案】/88度
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；
【详解】过点、、分别作，
∵，，
平分，平分 ，，
，，
，，
，故答案为：．
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，在上、在上，连接，线段上有一动点，作，在左侧，连接、，作的角平分线，满足，若，则的度数为 ．
【答案】/4度
【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线性质，根据题意得和，由即可求得答案．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
∵平分，∴，∵，∴，
∵，∴，
则，解得．故答案为：．
18．（2022下·湖北省直辖县级单位·七年级校考期中）今年3月，长江主题灯光秀在武汉展演，有两条笔直且平行的景观道上放置P、Q两盏激光灯（如图所示），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转5秒，光线才开始转动，当光线旋转的时间 秒时，．
【答案】或
【分析】本题考查了一元一次方程在几何中的应用，涉及了平行线的性质，解题关键在于画出满足题意的图形．
【详解】解：设旋转的时间为时，．
如图所示：∵∴
∵∴∴则：解得：；
如图所示：仍有：此时
∴∴解得：
综上所述：或故答案为：或
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023下·广东东莞·七年级校联考期中）如图，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质和判定，进行证明即可．
【详解】证明：∵，∴，
又∵，∴，∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．
20．（2023下·河南三门峡·七年级校考阶段练习）直线和被直线所截，根据下列条件，解决问题：
(1)如图1，平分，平分，与满足什么条件时， 说明理由．(2)如图2，若，平分，平分，则与满足怎样的条件？说明理由．
【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的判定方法进行判断即可；（2）根据平行线的性质进行判断即可．
【详解】（1）解：当时，．理由：
∵平分，平分，∴，，
∵，∴，∴．
（2）解：．理由如下：
∵平分，平分，∴，，
∵，∴，
∵，，∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
21．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图1，，直线MN与直线分别交于点E，F，与的角平分线交于点P，直线与交于点G，过点G作交直线于点H．
(1)求证：；(2)如图2，在（1）的条件下，连接，在上取一点I使得，作的角平分线，交直线于点Q，则的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【答案】(1)见详解；(2)不变，，理由见详解．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．
（1）利用平行线的性质推知；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得，即，故结合已知条件，易证；（2）利用角平分线的定义推知；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得的大小不变，是定值．
【详解】（1）证明：，．
又与的角平分线交于点P，
，，即．
，；
（2），，而，（设为）；
平分，，
，即的大小不会发生变化．
22．（2023·湖南株洲·七年级统考期末）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．(1)求证：．(2)若，且．求与之间的距离．(3)若．试求点到直线的距离的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)(3)大于0小于等于5
【分析】（1）由平行线的性质可得，从而得到，再由平行线的判定即可得到；（2）由知：与之间的距离等于点到直线的距离，由三角形的面积公式进行计算即可得到答案；（3）过点作于，连接，当与重合时，，当无限接近时，无限接近0，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，，
又，，；
（2）解：由知：与之间的距离等于点到直线的距离，
即设三角形的边上的高为，由三角形的面积计算公式可得：
，即，解得：，
与之间的距离为2.4；
（3）解：过点作于，连接，
，
当与重合时，，当无限接近时，无限接近0，
，点到直线的距离的取值范围为大于0小于等于5．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线之间的距离，点到直线的距离，三角形的面积公式，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
23．（2023·湖北武汉·七年级统考期中）阅读填空
（1）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图（1），一束光在镜面的A点发生反射，反射光线与镜面的夹角记为，必有；入射光线与镜面的夹角记为______，反射光线与镜面的夹角记为______，必有_______；
实际应用：（2）如图（1），、为两面镜子，一束光在A、C两点先后发生连续反射，当满足什么条件时，？为什么？
（3）如图（2），潜望镜中的两面镜子、是互相平行放置的，一束光线在A、C两点先后发生连续反射，与之间存在怎样的位置关系 为什么
【答案】（1），，；（2），，理由见解析；（3），理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理即可得到结论．
（1）根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到等量代换得到根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：（1）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图（1），一束光在镜面的A点发生反射，反射光线与镜面的夹角记为，必有；入射光线与镜面的夹角记为，反射光线与镜面的夹角记为，必有；
（2）时，
∵，∴
∵，∴，
∵，∴∴；
（3）．理由如下：∵，
∴
∴，
∵∴∴
24．（2023上·山东·八年级专题练习）如图，线段与线段平行，P是平面内一点，连接，射线分别平分．
(1)当点P在线段的延长线上时：①在图1中，依题意补全图形；②请直接写出直线与直线的位置关系：___________；(2)如图2，当点P在直线与直线之间时，射线，交于点Q，探究与的数量关系，并证明；(3)若直线与直线平行，请直接写出点P的位置：___________．
【答案】(1)①作图见解；②；(2)，见解析；
(3)当点P在线段上（点P不与点A，重合）
【分析】本题考查平行线的判定和性质及角平分线的定义，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．（1）①根据要求画出图形；
②根据平行线的性质和角平分线的定义，证明，可得结论；
（2）分别过点P，Q作，利用平行线的性质和角平分线的定义证明即可；
（3）画出图形，证出可得结论．
【详解】（1）解：①图形如图1所示，
②如图，作的延长线交于点N，∵，，
∵射线分别平分，，
，，，
，，，；
故答案为：；
（2）解：，证明如下：
如图，分别过点P，Q作，
，，
，，，
，
同理可证，，
，
平分平分，，
，
，；
（3）解：如图，当点P在线段上（点P不与点A，D重合）时，直线与直线平行，
，，分别平分，
，，，
故答案为：当点P在线段上（点P不与点A，D重合）．
25．（2023上·广东·八年级专题练习）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
(3)如图，在（）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
【答案】(1)；(2)；(3)的值为，，，，，秒．
【分析】（）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用垂直定义即可得解；（）过点作，过点作，根据平行线的性质及判定以及角平分线的定义即可得解；（）分种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，
∴，∵∴，∴，
∵，∴；
（2）解：如图过点作，过点作，
∵和的角平分线交于点，
∴，，
由（）得，∵，，
∴，∵，设，则，
∵，，∴，∴，，
∵和的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，
当旋转到在射线上时，有，此时，，解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，
则，∴此时，，解得（秒）；
当旋转到平行于射线时，有，
则，∴，此时，，解得（秒）
当旋转到在射线上时，有，此时，，解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，此时，，解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，
，此时，解得（秒）
综上可知，的值为，，，，，秒．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，以及旋转的性质，熟练掌握平行线的判定与性质及分类讨论是解题的关键．
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专题1-4 平行线的性质
模块1：学习目标
1. 掌握平行线的性质，能依据平行线的性质进行简单的推理；
2. 了解平行线的判定和性质的区别与联系，理解两条平行线的距离的概念.。
模块2：知识梳理
1、平行线的性质
1：两直线平行，同位角相等；2：两直线平行，内错角相等；3：两直线平行，同旁内角互补.
注意：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”； (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
2、两条平行线的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
注意：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
（2） 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
模块3：核心考点与典例
考点1、两直线平行，同位角相等
例1．（2023下·广东广州·七年级校联考期中）如图，已知且与不垂直，则与相等的角有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
变式1. （2022上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列图形中，由能得到的是（ ）
A． B． C． D．
考点2、两直线平行，内错角相等
例1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）推理填空：如图：，．求证：．
证明：因为（已知），（____________），得，
所以（____________），得，
因为（已知），得（等量代换），
所以（____________），
所以（____________）．
变式1．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）如图，由，可以得到（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2022下·湖北武汉·七年级统考期中）完成下面的证明：
如图所示，，求证：．
证明：过E作，
∵，∴_____________（_________），
∴_______（_______）．
∵（已作），
∴_______（_______）．
又∵______，
∴．
考点3、两直线平行，同旁内角互补
例1．（2023下·福建莆田·七年级校考期中）已知，，、分别平分与，且．求证：．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：分别平分与，（已知）
，．（________）．
，（________________）
，（ ）
，（已知）
，（等量代换）
________，（________________）
．（________________）
变式1. （2023·福建福州·七年级统考期中）如图，直线a，b被c所截，且，，则的度数为 ．
考点4、利用平行线的性质求角度
例1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，平分，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023·辽宁大连·七年级校考阶段练习）如图，直线，，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023上·重庆北碚·九年级校考期中）如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点5、平行线的性质在生活中的应用
例1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且CD的延长线恰好是的角平分线，则 ．
变式1.（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）如图，一条街道有两个拐角和，已知，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·河北邯郸·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？（2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．
考点6、利用平行线的性质探究角度关系
例1．（2023上·安徽阜阳·八年级校考期中）如图1，直线分别交，于点E，F（点F在点E的右侧），若．
(1)求证：；(2)如图2，点，在，之间，且位于的两侧，连接，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
变式1. （2023·广东东莞·七年级校考期中）如图所示，已知，则、、三者之间的关系是 ．
变式2. （2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点作．
∵， ∴________（ ）
∴____（ ）
又∵∴
∴________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系．
考点7、求平行线间的距离及运用
例1．（2023下·甘肃张掖·七年级校考期中）在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，已知与的距离为，与的距离为，则与的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
变式1.（2022上·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）如图，平行线间的三个图形，下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的面积大 B．三角形的面积大 C．梯形的面积大 D．三个图形的面积相等
变式2．（2022下·福建·七年级统考期中）如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点8、根据平行线的性质和判定证明
例1．（2023·湖北咸宁·七年级校考期末）已知，如图 ，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点 ，设，，且．
(1) ， ；直线与的位置关系是 ．
(2)如图 ，若点，分别在射线和线段上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论．
(3)若将图中的射线绕着端点 逆时针方向旋转（如图 ），分别与，相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中 的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
变式1. （2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线平行直线，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P．(1)如图，求证：．(2)如图，以点N为圆心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为圆心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数．
(3)在（2）的条件下，如图，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数．
变式2.（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，直线分别交于点G，H，点P为直线上的点，连接．
(1)如图1，点P在线段上时，请你直接写出，，的数量关系；(2)如图2，点P在的延长线上时，连接交于点Q，连接，若，求证：；(3)在（2）的条件下，如图3，平分，平分，与交点K，连接，若，，，求的大小．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）如图所示，，则平行线l与n间的距离是（ ）．
A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度
2．（2023·浙江金华·九年级校联考期中）如图，直线，直线，若， 则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2023上·安徽安庆·八年级统考期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）如图，点、为平面内两个定点，定直线，是直线上一动点，对下列各值：①的周长；②的面积；③点到的距离；④的大小.其中会随点的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①④ D．①③
5．（2022秋·山东七年级专题练习）2022年北京冬奥会男子500米短道速滑冠军高亭玉在一次速滑训练中，经过两次拐弯后的速滑方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐52°，第二次向右拐52° B．第一次向左拐48°，第二次向左拐48°
C．第一次向左拐73°，第二次向右拐107° D．第一次向左拐32°，第二次向左拐148°
6．（2023上·贵州遵义·八年级统考期中）如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
7．（2023上·广东惠州·八年级统考期中）如图，把一副的直角三角板的直角顶点重合在一起，当绕点B逆时针旋转到时，交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）如图，有下列结论：① 若，则；②若，则；③若，则 ④若平分，则其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．（2023·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．与没有数量关系
10．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则以下结论正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·广东河源·七年级统考期中）如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，则的度数是 ．
12．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多物品都与如图所示的曲线有关、如图，从点O照射到曲线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果
，，则 ， ．
13．（2023下·贵州黔南·七年级校考期中）如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是 度．
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，，，则 ．
15．（2023下·湖南常德·七年级统考期末）如图，，，且三角形面积为12，则点C到的距离为 ．
16．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ．
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，在上、在上，连接，线段上有一动点，作，在左侧，连接、，作的角平分线，满足，若，则的度数为 ．
18．（2022下·湖北省直辖县级单位·七年级校考期中）今年3月，长江主题灯光秀在武汉展演，有两条笔直且平行的景观道上放置P、Q两盏激光灯（如图所示），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转5秒，光线才开始转动，当光线旋转的时间 秒时，．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2023下·广东东莞·七年级校联考期中）如图，，，求证：．
20．（2023下·河南三门峡·七年级校考阶段练习）直线和被直线所截，根据下列条件，解决问题：
(1)如图1，平分，平分，与满足什么条件时， 说明理由．(2)如图2，若，平分，平分，则与满足怎样的条件？说明理由．
21．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图1，，直线MN与直线分别交于点E，F，与的角平分线交于点P，直线与交于点G，过点G作交直线于点H．
(1)求证：；(2)如图2，在（1）的条件下，连接，在上取一点I使得，作的角平分线，交直线于点Q，则的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
22．（2023·湖南株洲·七年级统考期末）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．(1)求证：．(2)若，且．求与之间的距离．(3)若．试求点到直线的距离的取值范围．
23．（2023·湖北武汉·七年级统考期中）阅读填空
（1）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图（1），一束光在镜面的A点发生反射，反射光线与镜面的夹角记为，必有；入射光线与镜面的夹角记为______，反射光线与镜面的夹角记为______，必有_______；
实际应用：（2）如图（1），、为两面镜子，一束光在A、C两点先后发生连续反射，当满足什么条件时，？为什么？
（3）如图（2），潜望镜中的两面镜子、是互相平行放置的，一束光线在A、C两点先后发生连续反射，与之间存在怎样的位置关系 为什么
24．（2023上·山东·八年级专题练习）如图，线段与线段平行，P是平面内一点，连接，射线分别平分．
(1)当点P在线段的延长线上时：①在图1中，依题意补全图形；②请直接写出直线与直线的位置关系：___________；(2)如图2，当点P在直线与直线之间时，射线，交于点Q，探究与的数量关系，并证明；(3)若直线与直线平行，请直接写出点P的位置：___________．
25．（2023上·广东·八年级专题练习）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
(3)如图，在（）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
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