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专题1-5 图形的平移
模块1：学习目标
1. 了解平移的概念；
2.了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形具有的联系和性质；
3.能用平移变换有关知识进行简单的作图及图形设计。
模块2：知识梳理
1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移。
注意：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离。
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置。
2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形。
特别说明：
（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的。
3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图“四步曲”—定、找、移、连．
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形顺次连接对应点。
模块3：核心考点与典例
考点1、生活中的平移现象
例1．（2023下·浙江金华·七年级校考阶段练习）下列生活中的现象，属于平移的是（ ）
A．坐在秋千上人的运动 B．汽车刮雨器的运动 C．电梯的升降 D．投影仪将文字投影到屏幕
【答案】C
【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、坐在秋千上人的运动不是沿直线运动，不符合平移的定义，故该选项是错误的；
B、汽车刮雨器的运动是旋转运动，不符合平移的定义，故该选项是错误的；
C、电梯的升降符合平移的定义，故该选项是正确的；D、投影仪将文字投影到屏幕，文字大小发生了变化，不符合平移的定义，故该选项是错误的；故选：C．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，从而选择错误．
变式1. （2022上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）下列运动可以看作平移的是（ ）
A．正在荡秋千的小朋友 B．随风乱飘的雪花 C．风中飘扬的红旗 D．正在乘电梯上楼的乘客
【答案】D
【分析】在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向作相同距离的移动，叫做平移，据此作答即可．
【详解】A. 正在荡秋千的小朋友，不是沿直线运动，不是平移，不符合题意；
B. 随风乱飘的雪花，不是沿固定方向运动，不是平移，不符合题意；
C. 风中飘扬的红旗，不是沿直线运动，不是平移，不符合题意；
D. 正在乘电梯上楼的乘客，是平移，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了平移的定义，熟练掌握平移是沿某条直线方向运动是解题的关键．
变式2.（2023下·河北沧州·七年级校考期中）下列现象是数学中的平移的是（ ）
A．汽车里的人随汽车在笔直的公路上行驶 B．秋天的树叶从树上随风飘落
C．“北斗”卫星绕地球运动 D．电风扇的叶片慢慢转动
【答案】A
【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，判断即可．
【详解】解：A．汽车里的人随汽车在笔直的公路上行驶属于平移，故符合题意；
B．秋天的树叶从树上随风飘落，既有平移也有旋转，故不符合题意；
C．“北斗”卫星绕地球运动，属于旋转，故不符合题意；
D．电风扇的叶片慢慢转动，属于旋转，故不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．
考点2、图形的平移
例1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）下列大学校徽可以看成是由图案自身的一部分经平移后得到的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；
B、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；
C、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故符合题意；
D、图案自身的一部分经轴对称而得到，故不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
变式1. （2022下·河南郑州·八年级校考期中）在方格中，将图1中的图形N平移后位置如图所示，则图形N的平移方法正确的是（ ）
A．向下移动1格 B．向上移动2格 C．向下移动2格 D．向下移动3格
【答案】C
【分析】根据平移的定义，对比平移前后的图形即可求解
【详解】解：由图可得，将图1中的图形N向下平移2格后得到图2，故选：C．
【点睛】本题考查图形的平移，熟练掌握平移的定义，观察平移前后图形的位置是解题的关键．
变式2. （2023下·广西河池·七年级统考期末）2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会将在中国杭州举办，其中吉祥物“莲莲”深受大家喜爱，在下列的四个图中能由如图所示的图形平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【详解】解：观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到．故选：A．
【点睛】本题考查了利用平移设计图案，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．
考点3、利用平移的性质求解（长度、周长）
例1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”，已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置，下方树干长为，则树的高度长为( )．
A．19 B．17 C．15 D．11
【答案】B
【分析】根据平移的性质得到，根据题意计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知：，由题意得：，，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
变式1. （2023下·天津河东·七年级校考期中）如图，将沿方向平移得到对应的，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平移的性质；由平移性质得，依据，结合可求解．熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：由平移可知，
∵，∴．故选：C．
变式2. （2022上·天津·九年级统考期中）如图，将边长为的等边沿着边向右平移，得到，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质易得，那么四边形的周长即可求得．
【详解】∵将边长为的等边沿着边向右平移得到，
∴，各等边三角形的边长均为．
∴四边形的周长．故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质，用到的知识点为：平移前后对应线段相等；关键是找到所求四边形的各边长．
变式3.（2023下·天津东丽·七年级统考期中）如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离 ．
【答案】3
【分析】如图，由与之间位置关系，可知的长度即平移的距离．
【详解】解：如图，，即移动距离为3；故答案为：3．
【点睛】本题考查图形的平移，理解平移前后图形间的对应关系是解题的关键．
考点5、利用平移的性质求解（面积）
例1．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图，沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平移的性质可得，，再根据线段和差可得，然后根据阴影部分的面积为即可得．
【详解】由平移的性质得：，，
∵，∴，
则阴影部分的面积为，
故选：．
【点睛】此题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
变式1. （2023下·贵州黔南·七年级校考期中）如图，长方形中，，，在长方形内任取两点E、F，连接、、，得到折线，点P是边上一点，，现将折线沿方向向左平移，得到折线，则折线扫过的区域（阴影部分）的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】根据平移的性质求解即可．
【详解】解：图中阴影经平移可得到一个矩形，
∵，，∴阴影部分的面积是．故选B．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
考点6、利用平移的性质求解（角度）
例1．（2023下·陕西榆林·八年级校考期中）如图，将沿方向平移后，到达的位置，若，，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】由平移得，根据平角的性质求出．
【详解】解：由平移得，
∵，∴，故选：A．
【点睛】此题考查了平移的性质：平移的前后的图形对应边相等，对应角相等，正确理解平移的性质是解题的关键．
变式1. （2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图，三角形经过平移得到三角形，下面与和一定相等的分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】根据平移的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵三角形经过平移得到三角形，
∴，，∴，，
∴，；故选D．
【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
考点7、利用平移解决实际问题
例1．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）如图所示，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条笔直的小路和一条弯曲的小路，笔直的小路宽度为，弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移，可知弯曲的小路面积与长为宽为1的长方形的面积相等，根据长方形的面积，可得答案．
【详解】解：根据弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，
可知路的宽度是1米，面积与长为宽为1的长方形的面积相等，
则这块草地的绿地面积为．故选：C．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积．
变式1. （2023下·河北沧州·七年级校考期中）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽，其侧面如图，则购买地毯至少需要 元．
AI
【答案】450
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移构成一个长方形，根据题意这个长方形的长与宽分别为米，米，∴地毯的长度为：（米），
地毯的面积为：（平方米），故买地毯至少需要：（元）．故答案为：450．
【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，利用平移的性质，把所要求的的所有线段平移到一条直线上进行计算是解本题的关键．
考点8、平移的相关作图
例1．（2023·浙江宁波·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在格点上，将三角形向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）．
(1)请画出平移后的三角形，并标明对应字母；(2)若将三角形经过一次平移得到图（1）中的三角形，则线段在平移过程中扫过区域的面积为______ ．
【答案】(1)见解析(2)18
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）四边形面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）线段在平移过程中扫过区域的面积为，故答案为：
【点睛】本题考查作图-平移变换，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
变式1. （2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，将四边形进行平移后，使点A的对应点为点，(1)请你画出平移后所得的四边形．
(2)若每个小正方形的面积为1，求线段在平移中扫过的面积．
【答案】(1)见解析(2)8
【分析】（1）根据图形平移的性质画出四边形即可；
（2）根据线段在平移中扫过的面积即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：如图，连接，
线段在平移中扫过的面积．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
变式2. （2023·福建厦门·七年级校考期中）如图，将向右平移，使点移动到点，点移动到点，点移动到点，且，．
(1)画出平移后的；(2)若，求的长度（用含有的式子表示）．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据平移的性质画出平移后的，使得，；
（2）根据平移的性质可得，根据已知可得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵平移，，
∴， ∴
【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图为2023年杭州亚运会吉祥物宸宸，下列图案中，是通过该图平移得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移，即“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”．根据平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由已知图形可知，只有选项图形可以通过平移得到，故选：B．
2．（2023·广东·七年级校考期中）如图，未拼完的木盘，现欲用平移方式移动拼木拼满木盘，应该选择的拼木是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平移前后，图形的大小，形状和方向都不反生改变，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，应该选择的拼木是： 故选D．
【点睛】本题考查图形的平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
3．（2023下·贵州·八年级校联考期末）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据平移的性质得出，根据，，结合计算得出，得出、的长，即为平移的距离，选择答案即可．
【详解】解：∵沿所在直线向右平移得到，∴，
∵，，∴，
∴，∴平移的距离为3．故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
4．（2023下·山西朔州·七年级校考阶段练习）如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得三角形，已知，，，则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平移的性质得到，，则，然后计算即可．
【详解】解：∵直角三角形沿着射线方向平移得三角形，
∴，，∴，
∴阴影部分的周长．故选：A．
【点睛】本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
5．（2023上·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）如图是6级台阶侧面的示意图，如果要在台阶上铺地毯，台阶宽为2米，那么至少要买地毯（ ）平方米．
A．8 B．15 C．16 D．30
【答案】C
【分析】本题考查有关平移的性质、面积计算，将图形中较短的竖线左移，较短的横线上移，平移线段后，地毯的长度是长5米，宽3米的长方形的一组邻边长度和．地毯的面积=楼梯宽度×矩形的长．
【详解】解：（平方米），（平方米），
∴至少要买地毯16平方米．故选：C．
6．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）在学行线后，小明和小亮对已学过的知识发表了自己的一些看法，小明说：“同位角相等”；小亮说：“平移改变图形的形状和大小”；则下列判断正确的是（ ）
A．小明说法正确，小亮说法错误 B．小明说法正确，小亮说法正确
C．小明说法错误，小亮说法正确 D．小明说法错误，小亮说法错误
【答案】D
【分析】根据平行线的性质可对小明的说法进行判断；根据平移的性质可对小亮的说法进行判断．
【详解】同位角不一定相等，当两直线平行时，同位角相等，故小明说法错误；平移不改变图形的形状和大小，故小亮说法错误；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质和平移的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
7．（2022下·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，一块长、宽的长方形土地，上面修了两条小路，宽都是，将阴影部分种上草坪，则草坪的面积是（）．
A．5225 B．4500 C．4750 D．4950
【答案】B
【分析】由题意可知：求阴影部分的面积，实际上就是求长为米，宽为米的长方形的面积，利用长方形的面积公式即可求解．
【详解】解：，（平方米）
答：阴影部分的面积是4500平方米．故选：B．
【点睛】解答此题的关键是：利用“压缩法”，将小路挤去，即可求出阴影部分的面积．
8．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图所示，将等边三角形沿射线平移得到三角形，点A的对应点为F，连接，若，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】由平移的性质得到：，，由，即可求出，得到．
【详解】解：由平移的性质得到：，，
∵，∴，∴，∴．故选：A．
【点睛】本题考查平移的性质，等边三角形的性质，关键是由平移的性质，得到，求出的长．
9．（2023上·重庆沙坪坝·七年级校考阶段练习）将图（1）中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号、5号五个正方形和6号长方形，将它们拼在周长为75的长方形图（2）中，若图（1）的大长方形周长为48，则图（2）阴影部分的周长为（ ）．
A．63 B．65 C．67 D．69
【答案】A
【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，6号长方形宽y，长为，根据图1中长方形的周长为48，求得，由图（2）可得，根据图2中长方形的周长为75，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案．
【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，6号长方形宽y，长为，
∵图（1）的大长方形周长为48，∴，整理得：，
由图（2）可知：，则，∴，解得：，
∵图（2）周长为75，∴，
即，整理得：，
∵，∴，
∴阴影部分周长，故选：A．
【点睛】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
10．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，将直角三角形沿着斜边的方向平移到的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边交于点G．如果，的面积等于4，下列结论：①；②三角形平移的距离是4；③；④四边形的面积为16；其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；根据图形的平移得到∠EDC=∠A，∠EDC=∠BED，故∠A=∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE=2，根据梯形的面积公式得到四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确．
【详解】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条直线上，∴BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；
由图形的平移知，ED∥AB，AC∥BE，
∴∠EDC=∠A，∠EDC=∠BED，∴∠A=∠BED，故①正确；
∵BG=4，∴AD=BE＞BG，∴△ABC平移的距离＞4，故②错误；
∵EF=10，∴CG=BC-BG=EF-BG=10-4=6，
∵△BEG的面积等于4∴BG GE=4，∴GE=2，
∴四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确；故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质，面积的计算等，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山东淄博·统考中考真题）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．
【答案】6
【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离．
【详解】解：如图，点是一组对应点，，所以平移距离为6；故答案为：6
【点睛】本题考查图形平移；确定对应点从而确定平移距离是解题的关键．
12．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据平移的性质得出，进而解答即可．
【详解】解：由平移可得，，
，
，，故答案为：．
【点睛】此题考查平移的性质，关键是根据平移中连接各组对应点的线段平行且相等解答．
13．（2023下·吉林松原·八年级校考阶段练习）如图，将三角形纸板沿直线向右平行移动，使到达的位置，若，则
【答案】35
【分析】根据平移的性质得出，再根据平角的特点得出的度数．
【详解】由平移得，，
，，故答案为：35．
【点睛】本题考查平移的性质以及平角的特点，熟练掌握平移后对应角相等是解题的关键．
14．（2023上·云南昆明·八年级校考期中）如图，将沿边向右平移得到，交于点G．已知，，，则图中阴影部分面积为 cm2．
【答案】
【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质，的对应边是，求出的长度，，则是直角三角形，是直角，则是梯形的高，根据的长度求出的长度，利用梯形的面积公式求出答案．
【详解】解：∵，，∴，，
又∵是梯形高．故答案为：．
15．（2023下·贵州铜仁·八年级校考期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．
【答案】
【分析】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积．
【详解】解：设矩形花园的宽，
根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键．
16．（2023·广东湛江·统考二模）如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移2，再向下平移1，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是平移的性质，解题关键是熟练掌握平移性质：平移不改变图形的形状和大小．依题得，向右平移即，向下平移即，平移后四边形仍是长方形，则四边形和四边形重合的阴影部分也为长方形，结合长方形面积=长宽即可求解．
【详解】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长，宽，
∴阴影部分的面积，故答案为：．
17．（2022下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为，把这个等腰直角三角形以的速度向右沿直线平移．当图中阴影部分面积为，则这个等腰直角三角形平移的时间为 s．
【答案】/
【分析】用含有t的代数式各相关线段的长，再利用阴影部分面积以及三角形面积求出的面积，继而根据线段的和差列出方程求解即可．
【详解】解：设移动的时间为，且；则，，
∵阴影部分面积为，∴的面积为，
即，∴，∴（负值舍去）
∴，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的定义，平方根的应用，掌握等腰直角三角形的定义以及梯形的面积公式是解题的关键．
18．（2023·安徽安庆·七年级统考期末）如图，直线，点A在直线m上，线段在直线n上，构成，把向右平移线段长度的一半得到（如图①），再把向右平移线段长度的一半得到（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2021个图形中三角形的个数是 ．
【答案】8084
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：观察图可得，第1个图形中大三角形有2个，小三角形有2个，
第2个图形中大三角形有4个，小三角形有4个，
第3个图形中大三角形有6个，小三角形有6个，…
∴第n个图形中大三角形有个，小三角形有个．
∴第2021个图形中三角形的个数是：个．故选：D．
【点睛】本题考查规律型问题，平行线的性质，平移变换等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）如图，沿直线向右平移，得到，且，．
(1)求的长．(2)求的度数．
【答案】(1)7cm(2)
【分析】（1）根据平移的性质：平移前后的两个图形的对应线段平行且相等，即可得到结论；
（2）根据平移的性质：对应角相等得到答案即可．
（1）解：由平移可知：，∵，∴．
（2）解：由平移可知：，∴．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是能够了解平移的性质，属于基础题，比较简单．
20．（2023下·山东济宁·七年级统考期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，均为格点网格线的交点，为射线与网格线的交点平移线段，使点与点重合，记点的对应点为，连接．
(1)根据题意，补全图形；(2)若不增加其他条件，图中与相等的角有谁？说明理由．
【答案】(1)见解析(2)相等的角有、、，理由见解析
【分析】（1）根据平移的定义画出相应的图形即可；（2）由平移的性质可得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质以及平行线的性质进行判断即可．
【详解】（1）解：补全图形如图所示：
（2）解：相等的角有、、，
理由：由平移的性质可知，，四边形是平行四边形，
，、，
．
【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移的性质，平行四边形的性质以及平行线的性质是正确解答的前提．
21．（2023下·江苏·七年级校考阶段练习）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．利用网格点和直尺画图：
(1)补全；(2)画出边上的高线，图中的面积是 ；
(3)与面积相等，在图中描出所有满足条件且异于A点的格点E，并记为、、．
【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析，8(3)作图见解析
【分析】（1）根据平移方式作图即可；（2）根据三角形高的定义画图即可，再利用分割法求三角形面积即可；（3）根据等底等高的三角形的面积相等，过点A作的平行线，经过的格点即为所求．
【详解】（1）解：如图，把点A、B、C分别向右平移4个单位长度得到点、、，再把点连接得到即所求；
（2）解：延长，过点C作于点D，如图，即为所求；
由图可得，，故答案为：8；
（3）解：如图，格点、、即为所求；
【点睛】本题考查作图 平移变化，熟知平移的性质是解题的关键．
22．（2022春·浙江宁波·七年级期中）如图，在三角形ABC中，，将沿射线BC方向平移，得到，A，B，C的对应点分别是D，E，F，AD∥BF．
(1)请说明；(2)若，当时，求AD的长．
【答案】(1)见解析(2)4cm
【分析】（1）根据平移的性质可得AC∥DF，从而得到∠DAC+∠ADF=180°，再由AD∥BF，可得∠ADF+∠F=180°，即可求解；
（2）根据平移的性质可得AD=BE，再由，可得BE=2EC，然后根据，即可求解．
（1）解：∵将沿射线BC方向平移，得到，∴AC∥DF，∴∠DAC+∠ADF=180°，
∵AD∥BF，∴∠ADF+∠F=180°，∴∠DAC=∠F；
（2）解：∵将沿射线BC方向平移，得到，∴AD=BE，
∵，∴BE=2EC，∵，∴BE+EC=2EC+EC=6cm，∴EC=2cm．∴AD=4cm
【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，熟练掌握平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．也考查了平行线的性质．
23．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E．
（1）试说明AE∥BC．（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，如图2，连接DQ．若∠E＝75°，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠Q＝15°
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；（2）如图2，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵DE∥AB，∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，∴∠BAE+∠B＝180°，∴AE∥BC；
（2）如图，过D作DF∥AE交AB于F，∵∠E＝75°，∴∠EDF＝105°，
∵DE⊥DQ，∴∠EDQ＝90°，∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°，
又∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∴∠Q＝180°﹣165°＝15°．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
(1)的面积为______；(2)将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，补全；(3)若连接，则这两条线段之间的关系是______；(4)在图中画出的中线；
(5)能使的格点点除外，共有______个．
【答案】(1)8(2)见解析(3)(4)见解析(5)4
【分析】（1）利用三角形的面积公式求解；（2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；（3）平移平移变换的性质判断即可．（4）根据三角形的高，中线的定义画出图形即可；（5）利用等高模型作出满足条件的点即可．
【详解】（1）的面积为；故答案为：；（2）如图，即为所求；
（3）若连接，，由平移的性质可知这两条线段之间的关系是，；
故答案为：，；（4）如图，线段即为所求；
（5）如图点，，，即为所求，共有个．故答案为：．
【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的高，中线，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
25．（2023下·河北石家庄·七年级校考期中）作图题
(1)如图，要把河中的水引到水池，在河岸的什么地方开始挖渠。才能使水渠的长度最短？请画出图形，并说明理由．
答：在__________开始挖掘 理由：____________________．
(2)在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处．①在给定方格纸中，平移，使点与点对应，请画出平移后的；
②线段与线段的关系是__________．
【答案】(1)点H，垂线段最短(2)①见解析；②平行且相等
【分析】（1）过点P作于点H，根据垂线段相等，得到点H即为开挖点；
（2）①找到点A、C平移后的对称点，顺次连接，即可得到；
②根据平移的性质即可得到线段与线段的关系．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作于点H，在点H开始挖掘，理由是垂线段最短，
故答案为：点H，垂线段最短
（2）①如图所示，即为所求，
②根据平移的性质可知，线段与线段的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等
【点睛】此题考查垂线段最短、平移的作图与性质等知识，熟练掌握平移的作图和性质是解题的关键．
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专题1-5 图形的平移
模块1：学习目标
1. 了解平移的概念；
2.了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形具有的联系和性质；
3.能用平移变换有关知识进行简单的作图及图形设计。
模块2：知识梳理
1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移。
注意：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离。
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置。
2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形。
特别说明：
（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的。
3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图“四步曲”—定、找、移、连．
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形顺次连接对应点。
模块3：核心考点与典例
考点1、生活中的平移现象
例1．（2023下·浙江金华·七年级校考阶段练习）下列生活中的现象，属于平移的是（ ）
A．坐在秋千上人的运动 B．汽车刮雨器的运动 C．电梯的升降 D．投影仪将文字投影到屏幕
变式1. （2022上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）下列运动可以看作平移的是（ ）
A．正在荡秋千的小朋友 B．随风乱飘的雪花 C．风中飘扬的红旗 D．正在乘电梯上楼的乘客
变式2.（2023下·河北沧州·七年级校考期中）下列现象是数学中的平移的是（ ）
A．汽车里的人随汽车在笔直的公路上行驶 B．秋天的树叶从树上随风飘落
C．“北斗”卫星绕地球运动 D．电风扇的叶片慢慢转动
考点2、图形的平移
例1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）下列大学校徽可以看成是由图案自身的一部分经平移后得到的为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2022下·河南郑州·八年级校考期中）在方格中，将图1中的图形N平移后位置如图所示，则图形N的平移方法正确的是（ ）
A．向下移动1格 B．向上移动2格 C．向下移动2格 D．向下移动3格
变式2. （2023下·广西河池·七年级统考期末）2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会将在中国杭州举办，其中吉祥物“莲莲”深受大家喜爱，在下列的四个图中能由如图所示的图形平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
考点3、利用平移的性质求解（长度、周长）
例1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”，已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置，下方树干长为，则树的高度长为( )．
A．19 B．17 C．15 D．11
变式1. （2023下·天津河东·七年级校考期中）如图，将沿方向平移得到对应的，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2022上·天津·九年级统考期中）如图，将边长为的等边沿着边向右平移，得到，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2023下·天津东丽·七年级统考期中）如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离 ．
考点5、利用平移的性质求解（面积）
例1．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图，沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023下·贵州黔南·七年级校考期中）如图，长方形中，，，在长方形内任取两点E、F，连接、、，得到折线，点P是边上一点，，现将折线沿方向向左平移，得到折线，则折线扫过的区域（阴影部分）的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
考点6、利用平移的性质求解（角度）
例1．（2023下·陕西榆林·八年级校考期中）如图，将沿方向平移后，到达的位置，若，，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
变式1. （2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图，三角形经过平移得到三角形，下面与和一定相等的分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
考点7、利用平移解决实际问题
例1．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）如图所示，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条笔直的小路和一条弯曲的小路，笔直的小路宽度为，弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023下·河北沧州·七年级校考期中）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽，其侧面如图，则购买地毯至少需要
元．
AI
考点8、平移的相关作图
例1．（2023·浙江宁波·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在格点上，将三角形向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）．
(1)请画出平移后的三角形，并标明对应字母；(2)若将三角形经过一次平移得到图（1）中的三角形，则线段在平移过程中扫过区域的面积为______ ．
变式1. （2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，将四边形进行平移后，使点A的对应点为点，(1)请你画出平移后所得的四边形．
(2)若每个小正方形的面积为1，求线段在平移中扫过的面积．
变式2. （2023·福建厦门·七年级校考期中）如图，将向右平移，使点移动到点，点移动到点，点移动到点，且，．
(1)画出平移后的；(2)若，求的长度（用含有的式子表示）．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图为2023年杭州亚运会吉祥物宸宸，下列图案中，是通过该图平移得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东·七年级校考期中）如图，未拼完的木盘，现欲用平移方式移动拼木拼满木盘，应该选择的拼木是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·贵州·八年级校联考期末）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023下·山西朔州·七年级校考阶段练习）如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得三角形，已知，，，则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）如图是6级台阶侧面的示意图，如果要在台阶上铺地毯，台阶宽为2米，那么至少要买地毯（ ）平方米．
A．8 B．15 C．16 D．30
6．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）在学行线后，小明和小亮对已学过的知识发表了自己的一些看法，小明说：“同位角相等”；小亮说：“平移改变图形的形状和大小”；则下列判断正确的是（ ）
A．小明说法正确，小亮说法错误 B．小明说法正确，小亮说法正确
C．小明说法错误，小亮说法正确 D．小明说法错误，小亮说法错误
7．（2022下·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，一块长、宽的长方形土地，上面修了两条小路，宽都是，将阴影部分种上草坪，则草坪的面积是（）．
A．5225 B．4500 C．4750 D．4950
8．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图所示，将等边三角形沿射线平移得到三角形，点A的对应点为F，连接，若，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．（2023上·重庆沙坪坝·七年级校考阶段练习）将图（1）中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号、5号五个正方形和6号长方形，将它们拼在周长为75的长方形图（2）中，若图（1）的大长方形周长为48，则图（2）阴影部分的周长为（ ）．
A．63 B．65 C．67 D．69
10．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，将直角三角形沿着斜边的方向平移到的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边交于点G．如果，的面积等于4，下列结论：①；②三角形平移的距离是4；③；④四边形的面积为16；其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山东淄博·统考中考真题）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．
12．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ．
13．（2023下·吉林松原·八年级校考阶段练习）如图，将三角形纸板沿直线向右平行移动，使到达的位置，若，则
14．（2023上·云南昆明·八年级校考期中）如图，将沿边向右平移得到，交于点G．已知，，，则图中阴影部分面积为 cm2．
15．（2023下·贵州铜仁·八年级校考期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．
16．（2023·广东湛江·统考二模）如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移2，再向下平移1，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
17．（2022下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为，把这个等腰直角三角形以的速度向右沿直线平移．当图中阴影部分面积为，则这个等腰直角三角形平移的时间为 s．
18．（2023·安徽安庆·七年级统考期末）如图，直线，点A在直线m上，线段在直线n上，构成，把向右平移线段长度的一半得到（如图①），再把向右平移线段长度的一半得到（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2021个图形中三角形的个数是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）如图，沿直线向右平移，得到，且，．
(1)求的长．(2)求的度数．
20．（2023下·山东济宁·七年级统考期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，均为格点网格线的交点，为射线与网格线的交点平移线段，使点与点重合，记点的对应点为，连接．
(1)根据题意，补全图形；(2)若不增加其他条件，图中与相等的角有谁？说明理由．
21．（2023下·江苏·七年级校考阶段练习）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．利用网格点和直尺画图：
(1)补全；(2)画出边上的高线，图中的面积是 ；
(3)与面积相等，在图中描出所有满足条件且异于A点的格点E，并记为、、．
22．（2022春·浙江宁波·七年级期中）如图，在三角形ABC中，，将沿射线BC方向平移，得到，A，B，C的对应点分别是D，E，F，AD∥BF．
(1)请说明；(2)若，当时，求AD的长．
23．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E．
（1）试说明AE∥BC．（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，如图2，连接DQ．若∠E＝75°，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．
24．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
(1)的面积为______；(2)将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，补全；(3)若连接，则这两条线段之间的关系是______；(4)在图中画出的中线；
(5)能使的格点点除外，共有______个．
25．（2023下·河北石家庄·七年级校考期中）作图题
(1)如图，要把河中的水引到水池，在河岸的什么地方开始挖渠。才能使水渠的长度最短？请画出图形，并说明理由．
答：在__________开始挖掘 理由：____________________．
(2)在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处．①在给定方格纸中，平移，使点与点对应，请画出平移后的；
②线段与线段的关系是__________．
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