(共32张PPT)
2.1 二元一次方程
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.理解二元一次方程和二元一次方程的解的概念；
2.会运用概念判断一个方程是否为二元一次方程，会检验一组解是否为二元一次方程的解；
3.经历将实际问题转化成数学问题的过程，培养数学建模思想.
复习回顾
我们学过的一元一次方程的特点是什么？
1.只含有一个未知数；
2.未知数的指数是一次；
3.方程的两边都是整式.
一元一次方程的一般形式为：
ax+b=0(a，b为常数，x为未知数，且a≠0)
新知讲解
小杰买了单价分别为2元和1.2元的贺卡若干张，花了10.8元，问这两
种贺卡各买了多少张
这个问题能用一元一次方程解决吗？
新知讲解
(1)小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角. 小红有面额为6角和8角的邮票若干张，问这两种面额的邮票各需多少张
在这个问题中，要求的未知数有几个 能列一元一次方程求解吗
如果设需要面额为6角的邮票x张，面额为8角的邮票y张，你能列出
方程吗
未知数有两个
0.6x+0.8y=3.8
新知讲解
(2)在高速公路上，一辆轿车行驶2小时的路程比一辆卡车行驶3小时的路程还多20千米. 如果设轿车的速度为a千米/时，卡车的速度为b千米/时，你能列出怎样的方程
2a=3b+20
新知讲解
0.6x+0.8y=3.8
2a=3b+20
观察这两个方程，你能发现什么？
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程的一般形式为：
ax+by+c=0(其中a，b，c为常数，且ab≠0)
新知讲解
【做一做】根据题意列出方程:
(1)买5kg苹果和3kg梨共需23.6元，分别求苹果和梨的单价. 设苹果的单价为每千克x元，梨的单价为每千克y元.
(2)七年级一班男生人数的2倍比女生人数的 多7人，求男生、女生的人数.设男生人数为x，女生人数为y.
5x+3y=23.6
新知讲解
【做一做】下列各式是二元一次方程的是( ）.
C
新知讲解
【拓展提高】
二元一次方程必须满足的三个条件：
①含有两个未知数；
②含有未知数的项的次数都是一次，而不是未知数的次数都是一次；
③必须是整式方程，三者缺一不可.
新知讲解
二元一次方程的解：
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
想一想，x=0，y=1和x=5，y=1也是方程3x+4y=19的解吗
例如，把x=1，y=4代入方程3x+4y=19，左边=3×1+4×4=19=右
边，所以x=1，y=4 就是方程3x+4y=19的一个解，记做
新知讲解
【总结归纳】
(1)二元一次方程的解不唯一，一般都有无数个，且每一个解都是指一对数值.
(2)如果一组数值能使二元一次方程左右两边的值相等，那么这组数值就是方程的解.
新知讲解
【例】已知方程3x+2y=10.
(1)用关于x的代数式表示y.
(2)求当x=-2，0，3时对应的y的值，并写出方程3x+2y=10的三个解.
分析：要用关于x的代数式表示y，只要把方程3x+2y=10看做未知
数是y的一元一次方程.
新知讲解
新知讲解
二元一次方程的解的求法：
(1)用一个未知数的代数式表示另一个未知数；
(2)给这个未知数赋值；
(3)再求出另一个未知数的对应值.
【总结归纳】
把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数，其解法的实质是解一个含有字母系数的一元一次方程，变形的依据仍是等式的性质.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
A
1.下列方程中，是二元一次方程的是( ).
A．x＋y＝5
B．3x＋y2＝1
C．xy＝3
D．
课堂练习
2.若(a－1)x|a|－1＋3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝( ).
A．1
B．2
C．－2
D．2或－2
D
课堂练习
3.下列各组数中，是二元一次方程5x－y＝2的一个解的是( )
B
课堂练习
4.某公园门票的价格是：成人票10元/张，儿童票5元/张．现有x名成人、y名儿童去公园游玩，买门票共花75元．据此可列出关于x，y的二元一次方程为( ).
A．10x＋5y＝75
B．5x＋10y＝75
C．10x－5y＝75
D．5y－10x＝75
A
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
C
课堂练习
6.根据题意列出方程：
(1)大型客车每辆能坐45人，中型客车每辆能坐19人，现有370人，
问：需要大、中型客车各多少辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？设需要大型客车x辆，中型客车y辆．
解：45x＋19y＝370.
解：2(x＋y)＝20.
(2)一个长方形的周长是20cm，求长方形的长与宽．
设这个长方形的长为xcm，宽为ycm．
课堂练习
【综合实践类作业】
7.当y＝－3时，二元一次方程3x＋5y＝－3和3y－2ax＝a＋2(关于x，y的方程)有相同的解，求a的值．
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解：
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
板书设计
课题：2.1 二元一次方程
教师板演区
学生展示区
一、二元一次方程概念
二、二元一次方程的解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
-1
1.若 2x| m | ＋(m－1)y＝3 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m＝________．
作业布置
2.某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答的题得0分．已知李明这次知识竞赛得了60分，设李明答对了x道题，答错了y道题，则下面所列方程中正确的是( ).
A．x－y＝20
B．x＋y＝20
C．5x－2y＝60
D．5x＋2y＝60
C
作业布置
选做题：
3.为了迎接杭州亚运会的召开，某学校组织学生开展有关亚运会的知识竞赛．竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得5分，每答错一道题扣3分，不答的题一道得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分．设杭杭同学答对了x道题，答错了y道题，则下面所列方程正确的是( ).
A．x－y＝10
B．5x－3y＝60
C．3x－y＝40
D．x＋y＝20
A
作业布置
【综合实践类作业】
4.已知方程4a+3b=16.
(1)用含a的代数式表示b;
(2)求当a=-2，0，1时，对应的b值，并写出方程4a+3b=16 的三个解.
作业布置
【综合实践类作业】
4.已知方程4a+3b=16.
(1)用含a的代数式表示b;
(2)求当a=-2，0，1时，对应的b值，并写出方程4a+3b=16 的三个解.
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2.1 二元一次方程 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是浙教版七年级数学下册第2章第1节的内容。教材以“情景导航”问题为载体，引导学生运用一元一次方程解决问题，接着引入设两个未知数来列方程，概括归纳出二元一次方程的概念，由方程的概念进一步引出方程的解，在知识呈现上，循序渐进，由浅入深。本节内容是初中数学的重要内容之一，是方程有关方面的继续和深化，也为以后学习多元方程做铺垫，起着承上启下的作用。
学习者分析 学生在七年级上学期,已系统地学习一元一次方程的相关概念及一元一次方程的解法，对于实际问题中出现的未知量及数量关系有了较深的认识。对于建立二元一次方程的模型描述实际问题有着很大的兴趣较强的愿望。学生虽已经学习了一元一次方程及应用，学生缺乏生活实际,分析能力又相对薄弱，实际应用问题一直是学生学习的一大短板，学生对文字题目(应用题)存在一定的恐惧心理。
教学目标 1.理解二元一次方程和二元一次方程的解的概念；2.会运用概念判断一个方程是否为二元一次方程，会检验一组解是否为二元一次方程的解；3.经历将实际问题转化成数学问题的过程，培养数学建模思想.
教学重点 理解二元一次方程和二元一次方程的解的概念；
教学难点 会运用概念判断一个方程是否为二元一次方程，会检验一组解是否为二元一次方程的解。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：我们学过的一元一次方程的特点是什么？1.只含有一个未知数；2.未知数的指数是一次；3.方程的两边都是整式.一元一次方程的一般形式为：ax+b=0(a，b为常数，x为未知数，且a≠0)小杰买了单价分别为2元和1.2元的贺卡若干张，花了10.8元，问这两种贺卡各买了多少张 这个问题能用一元一次方程解决吗？学生活动1：学生复习之前学习过的知识，回答教师提出的问题。活动意图说明：通过复习学过的内容，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探索二元一次方程的概念教师活动2：教师出示问题：(1)小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角. 小红有面额为6角和8角的邮票若干张，问这两种面额的邮票各需多少张 在这个问题中，要求的未知数有几个 能列一元一次方程求解吗 未知数有两个如果设需要面额为6角的邮票x张，面额为8角的邮票y张，你能列出方程吗 0.6x+0.8y=3.8(2)在高速公路上，一辆轿车行驶2小时的路程比一辆卡车行驶3小时的路程还多20千米. 如果设轿车的速度为a千米/时，卡车的速度为b千米/时，你能列出怎样的方程 2a=3b+20观察上面这两个方程，你能发现什么？含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.二元一次方程的一般形式为：ax+by+c=0(其中a，b，c为常数，且ab≠0)【做一做】根据题意列出方程:(1)买5kg苹果和3kg梨共需23.6元，分别求苹果和梨的单价. 设苹果的单价为每千克x元，梨的单价为每千克y元.5x+3y=23.6七年级一班男生人数的2倍比女生人数的 多7人，求男生、女生的人数.设男生人数为x，女生人数为y.【做一做】下列各式是二元一次方程的是( C ）.【拓展提高】二元一次方程必须满足的三个条件：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数都是一次，而不是未知数的次数都是一次；③必须是整式方程，三者缺一不可.学生活动2：学生通过教师引导，列出方程。学生在教师的引导下探究二元一次方程的概念及其一般形式。学生根据所学知识完成课本做一做练习题。活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：探究二元一次方程的解教师活动3：教师出示二元一次方程的解的概念：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.例如，把x=1，y=4代入方程3x+4y=19，左边=3×1+4×4=19=右边，所以x=1，y=4 就是方程3x+4y=19的一个解，记做想一想，x=0，y=1和x=5，y=1也是方程3x+4y=19的解吗 【总结归纳】(1)二元一次方程的解不唯一，一般都有无数个，且每一个解都是指一对数值.(2)如果一组数值能使二元一次方程左右两边的值相等，那么这组数值就是方程的解.【例】已知方程3x+2y=10.(1)用关于x的代数式表示y.(2)求当x=-2，0，3时对应的y的值，并写出方程3x+2y=10的三个解.分析：要用关于x的代数式表示y，只要把方程3x+2y=10看做未知数是y的一元一次方程.【总结归纳】把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数，其解法的实质是解一个含有字母系数的一元一次方程，变形的依据仍是等式的性质.二元一次方程的解的求法：(1)用一个未知数的代数式表示另一个未知数；(2)给这个未知数赋值；(3)再求出另一个未知数的对应值.学生活动3：学生在教师的指导下理解二元一次方程的解的概念。师生共同完成解题过程。学生在教师的引导下总结二元一次方程的解的求法.活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：2.1 二元一次方程一、二元一次方程概念二、二元一次方程的解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.下列方程中，是二元一次方程的是( A ). A．x＋y＝5 B．3x＋y2＝1 C．xy＝3 D．2.若(a－1)x|a|－1＋3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝( D ).A．1 B．2 C．－2 D．2或－2 3.下列各组数中，是二元一次方程5x－y＝2的一个解的是( B )A． B． C． D．4.某公园门票的价格是：成人票10元/张，儿童票5元/张．现有x名成人、y名儿童去公园游玩，买门票共花75元．据此可列出关于x，y的二元一次方程为(A).A．10x＋5y＝75 B．5x＋10y＝75 C．10x－5y＝75 D．5y－10x＝75 选做题：5.下列方程中，与方程x＋y＝1有公共解的是( C ) A．y－4x＝5 B．y＝2x＋5 C．2x－3y＝－13 D．x＝y－3 6.根据题意列出方程： (1)大型客车每辆能坐45人，中型客车每辆能坐19人，现有370人，问：需要大、中型客车各多少辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？设需要大型客车x辆，中型客车y辆．解：45x＋19y＝370.(2)一个长方形的周长是20cm，求长方形的长与宽．设这个长方形的长为xcm，宽为ycm．解：2(x＋y)＝20.【综合实践类作业】7.当y＝－3时，二元一次方程3x＋5y＝－3和3y－2ax＝a＋2(关于x，y的方程)有相同的解，求a的值．解：将y＝－3代入3x＋5y＝－3，得3x＋5×(－3)＝－3，解得x＝4.将代入3y－2ax＝a＋2，得3×(－3)－2a×4＝a＋2，解得a＝－.
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.若 2x| m | ＋(m－1)y＝3 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m＝__-1_．2.某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答的题得0分．已知李明这次知识竞赛得了60分，设李明答对了x道题，答错了y道题，则下面所列方程中正确的是( C ).A．x－y＝20 B．x＋y＝20 C．5x－2y＝60 D．5x＋2y＝60选做题：3.选做题：为了迎接杭州亚运会的召开，某学校组织学生开展有关亚运会的知识竞赛．竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得5分，每答错一道题扣3分，不答的题一道得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分．设杭杭同学答对了x道题，答错了y道题，则下面所列方程正确的是( A ).A．x－y＝10 B．5x－3y＝60C．3x－y＝40 D．x＋y＝20【综合实践类作业】4.已知方程4a+3b=16.(1)用含a的代数式表示b;(2)求当a=-2，0，1时，对应的b值，并写出方程4a+3b=16 的三个解.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？1.含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
教学反思 本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主,利用多媒体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态，采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程，在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.了解二元一次方程的概念和二元一次方程解的不唯一性。 2.了解二元一次方程组的概念，理解二元一次方程组的解的概念。 3.了解解二元一次方程组的基本思想是通过消元，化二元为一元。 4.掌握解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。 5.了解应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。 6.会应用二元一次方程组解决简单的实际问题。 7.了解三元一次方程组的概念，能解简单的三元一次方程组。
内容分析 本章是在七年级上册“一元一次方程”的基础上，进一步讨论二元一次方程(组)的有关概念、解法和应用等，并在二元一次方程组的基础上，学习三元一次方程组及解法.本章是一元一次方程知识的延伸和拓广，也是今后学习一般线性方程组、及函数等的基础，具有承上启下的作用.教学过程中要求学生能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程(组)，理解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组，并能根据解的特征选择适当的方法简化解题过程。能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
学情分析 七年级的学生已在前一学段和七年级上册学习了一元一次方程的相关概念与应用。但是这个阶段的学生具有不熟练的读写能力和对文字类题目(应用题)的恐惧心理，在学习中存在不会审题(不会读题)，导致其不能准确分析问题中数量关系；所以在教学过程中认真把握课标要求，以学生熟悉的实际问题入手，引入教学，降低学习难度，消除学生对问题的恐惧心理，使学生易于参与到学习活动中来，提高学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和能力。同时注意培养学生读的习惯和思考的能力，应用题教学可以放慢速度，让学生充分审题，在理解的基础上尝试解决实际问题。
单元目标 （一）教学目标 1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型. 2.了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系. 3.了解解二元一次方程组的基本目标:使方程组逐步转化为x=a，y=b的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法一代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 4.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 5.通过探究实际问题，进一步认识利用二(三)元一次方程组解决实际问题的基本过程，体会数学应用的价值，提高分析问题、解决问题的能力. （二）教学重点、难点 重点： 1.了解二元一次方程和二元一次方程组的概念； 2.会用不同的方法求二元一次方程组的解(消元思想)； 3.列二元一次方程组解决实际问题(建模思想). 难点： (1)根据方程组的形式,确定先消哪个元,选用哪个消元方法比较便捷. (2)利用二元一次方程组分析、解决实际问题.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数2.1二元一次方程12.2二元一次方程组12.3解二元一次方程组22.4二元一次方程组的应用22.5三元一次方程组及其解法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 二元一次方程1.理解二元一次方程的定义； 2.能够准确叙述处二元一次方程的解的概念； 3.能熟练的求出二元一次方程的一个解。 掌握二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念，能把二元一次方程中的一个未知数表示用另一个未知数的代数式来表示． 探索二元一次方程的定义，利用一元一次方程求解的方法求二元一次方程的一个解。 二元一次方程组 1．了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． 2．会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解．1.理解并掌握二元一次方程组及其解的概念． 2.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解．类比迁移，归纳出二元一次方程组及解的概念，小组之间交流，探索二元一次方程组的解。 解二元一次方程组1.会用代入消元法解二元一次方程组。 2.对代入消元法的探究，使学生体会代入消 元法所体现的化未知为已知的化归思想方法。通过探究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。通过梳理“情境问题”中方程组的解法过程，适时给出概念，感受概念是通过实际生活抽象得出的，从而体验“过程与方法”。1.掌握用加减消元法解简单的二元一次方程组； 2.经历加减消元法解二元一次方程组的探究过程，使学生进一步体会化归思想。通过用加减消元法解二元一次方程组培养学生在运算的过程中勤于思考、善于归纳总结的良好习惯。本节课教学中通过设计系列问题，引导学生积极思维，层层深入，注重加减消元法的产生和形成过程，通过观察、分析、比较、归纳得出方法，进一步体会化归思想。 二元一次方程组的应用1.利用二元一次方程组解决面积问题、产品配套、和差倍分、行程等问题. 2.会用列表、画线段图等手段帮助分析理解实际问题. 在实际问题中找等量关系、列方程组，会用列方程组解决实际问题.根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学,让学生能顺利地列出正确的二元一次方程组.1.会用表格、示意图分析数量关系，寻找等量关系； 2.加深对方程模型的理解，增强数学应用意识； 掌握利用二元一次方程组解决实际问题． 通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性。 三元一次方程组及其解法知道三元一次方程组的概念，知道解三元一次方程组的基本思路。 会解三元一次方程组。经历认识三元一次方程组，并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会消元思想。用二元一次方程的解法，灵活应用代入法、加减法进行消元化归思想。引导学生大胆尝试，在探究中，寻找解决问题的方法。
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