【提高卷】2024年浙教版数学七年级下册1.3平行线的判定 同步练习
一、选择题
1．下列结论中，错误的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内的两条直线不平行就相交
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．同一平面内五条直线l1，l2，l3，l4与l5的位置关系如图所示，根据图中标示的角度，下列判断正确的是（ ）
A．l1∥l3，l2∥l3 B．l2∥l3，l4与l5相交
C．l1与l3相交，l4∥l5 D．l1与l2相交，l1∥l3
3．如图，直线a，b被直线c所截，当∠1=∠2=48°时，直线a，b的位置关系是（ ）
A．a∥b B．a∥b C．a⊥b D．无法确定
4．如图所示为一张四边形纸片ABCD，下列测量方法中，能判定AD∥BC的是（ ）
A．AB⊥BC，CD⊥BC B．AB⊥BC，AB⊥AD
C．AB⊥BC，CD⊥AD D．AB=DC
5．（2023七下·南明月考）下图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一直线的两条直线平行
6．木条a、b、c如图用螺丝固定在木板上，且∠ABM=50°，∠DEM=70°，将木条a、b、c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN若使直线AC、DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°
7．（2023七下·辛集期末） 老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，，
．
，
，
，
．
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则
B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等
D．两直线平行，同位角相等
8．如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
二、填空题
9．（2023七下·杭州期中）一副三角板按如图所示放置，将含30°角的三角板固定，含45°角的三角板绕A点旋转，保持∠1为锐角，旋转过程中有下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝45°，则AC∥DE．③若∠4＝∠B，则AC∥DE；④若∠1＝15°，则BC∥DE．其中正确的有 ．（填序号）
10．如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 °
11．如图，若∠B=65°，∠C=15°，∠E=50°，∠DFE=∠E+∠C，则AB与CD的位置关系是 .
12．如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，已知∠DBC=20°，当∠BAF= 度时，才能使AB'∥BD．
三、解答题
13．一辆汽车在笔直的公路上行驶，第一次向左拐45°，再在笔直的公路上行驶一段距离后，第二次向右拐45°，请判断这辆汽车行驶的方向是否和原来的方向相同？画出行驶路线示意图，并说明理由．
14．如图，若MN⊥AB，∠ABC=130°，∠FCB=40°， 试判断直线MN与EF的位置关系，并说明理由．
15．（2023七下·濮阳期末）
【阅读理解】
本学期第五章学习了《平行线的判定》，认识了同位角，内错角、同旁内角及它们的定义.学会了平行线的三个判定方法.
判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
判定方法二：内错角相等，两直线平行；
判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.
（1）如图（1），请你找出一对同位角 ；一对内错角是 ；一对同旁内角是 .(说明：以上填空只找出一对即可)
（2）【新知学习】
如图(2)，我们把∠2与∠8叫作外错角，请结合学习的同位角、内错角、同旁内角定义，给外错角下个定义： ；
（3）在图(1)中找出另一对外错角是____
A．∠1与∠6 B．∠1与∠7 C．∠2与∠5 D．∠2与∠7
（4）请你结合图(2)，证明命题：“外错角相等，两直线平行”.
如图(2)，已知：直线a，b被c所截，∠2=∠8.
求证：a∥b.
证明：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的判定；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A、 同位角相等，两直线平行 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
B、 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
C、 同一平面内的两条直线不平行就相交 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
D、 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ，原说法错误，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理： 同位角相等，两直线平行 ，可判断A选项；根据垂直公理： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断B选项；根据同一平面内的两条直线的位置关系： 同一平面内的两条直线不平行就相交 ，可判断C选项；根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断D选项.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=92°（对顶角相等），
∴l2∥l3（同位角相等，两直线平行），
∵88°≠92°，
∴l4与l5相交，
∴ l2∥l3，l4与l5相交 .
故答案为：B.
【分析】由对顶角相等可得∠1=92°，进而根据同位角相等，两直线平行可得l2∥l3；由于88°≠92°，由内错角不相等，故两直线不平行，即两直线相交可得l4与l5相交，据此判断可得答案.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2与∠3互为对顶角（已知），
∴∠2=∠3=48°（对顶角相等），
∵∠1=∠2=48°（已知），
∴∠1=∠3=48°（等量代换），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角相等得∠2=∠3=48°，结合∠1=∠2=48°，由等量代换可得∠1=∠3=48°，最后根据同位角相等，两直线平行可得a∥b.
4．【答案】B
【知识点】垂线；平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、∵ AB⊥BC，CD⊥BC （已知），
∴∠B=∠DCE=90°（垂直定义），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B、∵ AB⊥BC，AB⊥AD（已知） ，
∴∠B=∠FAD=90°（垂直定义），
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），故此选项符合题意；
C、∵ AB⊥BC，CD⊥AD ，
∴∠B=∠D=90°（垂直定义），
∴无法判断出两条线平行，故此选项不符合题意；
D、AB=CD，无法判断出两条线平行，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由垂直定义可得∠B=∠DCE=90°，从而根据同位角相等，两直线平行，可得AB∥CD，据此判断A选项；由垂直定义可得∠B=∠FAD=90°，从而根据同位角相等，两直线平行，可得AD∥BC，据此判断B选项；由垂直定义可得∠B=∠D=90°，由于∠B与∠D不符合“三线八角”，故判断不出直线平行，据此判断C选项；线段相等不能作为判断线平行的条件，据此可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： 图中过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是同位角相等，两直线平行.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可.
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵ 木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，
∴∠ABM=50°+20°=70°，
又∵∠DEM=70°，
∴∠DEM=∠ABM=70°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
B、∵ 木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160° ，
∴∠CBE=50°+20°=70°，
又∵∠DEM=70°，
∴∠DEM=∠CBE=70°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
C、∵ 木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20° ，
∴∠DEM=70°-20°=50°，
又∵∠ABM=50°，
∴∠DEM=∠ABM=50°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
D、∵ 木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110° ，
∴木条b与木条c重合，
∴b与c相交，即AC与DF不平行，故此选项描述错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的方向，找出旋转后a与c或b与c相交形成的其中一个角的度数，进而根据平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行”可判断A、B、C三个选项；进而木条旋转的方向及角度会发现木条b与木条c重合，从而可得b与c相交，据此判断D选项.
7．【答案】A
【知识点】平行线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】根据题干中的证明过程，可得：
证明的真命题是：在同一平面内，若，且，则，
故答案为：A.
【分析】先阅读题干，再根据题干中的证明步骤分析求解即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，即与直线a相交的直线至少有3条，故选B．
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
9．【答案】①③④
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解：设AB与DE的交点为F
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵∠2=45°，∠E=60°，
∴∠EFB=∠E+∠2=105°，
∴∠EFB≠∠CAB，
∴AC与DE不平行，故②错误；
∵∠4=∠B=45°，∠C=45°，
∴∠4=∠C，
∴AC∥DE，故③正确；
当∠1=15°时， ∠2=90°-15°=75°，
∴∠EFB=∠E+∠2=60°+75°=135°.
∵∠B=45°，
∴∠B+∠EFB=180°，
∴BC∥DE，故④正确.
综上可得：①③④正确.
故答案为：①③④.
【分析】设AB与DE的交点为F，根据同角的余角相等可判断①；由外角的性质可得∠EFB=∠E+∠2=105°，根据平行线的判定定理可判断②；根据∠4=∠B=45°，∠C=45°可得∠4=∠C，根据平行线的判定定理可判断③；由余角的性质可得 ∠2=90°-∠1=75°，根据外角的性质可得∠EFB=∠E+∠2=60°+75°=135°，则∠B+∠EFB=180°，据此判断④.
10．【答案】12
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：设OD绕点O逆时针旋转到OD'时，OD∥AC，
∵当∠A=∠BOD'=70°时，OD'∥AD，
∴∠DOD'=∠BOD-∠BOD'=82°-70°=12°.
∴ 直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转12°.
故答案为：12.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，可得当∠A=∠BOD'=70°时，OD'∥AD，进而根据∠DOD'=∠BOD-∠BOD'可算出直线OD绕点O按逆时针方向旋转的最小角度.
11．【答案】平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠C=15°，∠E=50°，∠DFE=∠E+∠C（已知），
∴∠DFE=65°（角的和差），
∵ ∠B=65°（已知），
∴∠DFE=∠B=65°（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：平行.
【分析】由已知易得∠DFE=∠B=65°，从而根据同位角相等，两直线平行，可进行判断.
12．【答案】55
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠DBC=20°（同角的余角相等），
∵长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B'处，
∴∠BAF=∠B'AF，
∵要使AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，
∴∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，
∴∠BAF=∠B'AF=∠BAB'=55°.
故答案为：55.
【分析】由矩形的性质及同角的余角相等得∠ADB=∠DBC=20°，根据折叠的性质得到∠BAF=∠B'AF，要AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，从而得到∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，即可求出∠BAF.
13．【答案】解：如图，
这辆汽车两次转弯后行驶的方向和原来的方向相同，理由如下：
∵∠CDE=∠COB（已知），
∴OD∥AB（同位角相等，两直线平行），即这辆汽车两次转弯后行驶的方向和原来的方向相同.
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】由题意易知∠CDE=∠COB，从而根据同位角相等，两直线平行，可进行判断.
14．【答案】解：直线MN∥EF，理由如下：
如图，延长AB交EF于点D，设AB⊥MN于点G，
∵AB⊥MN（已知），
∴∠AGN=90°（垂直定义），
∵∠ABC=130°（已知），
∴∠CBD=180°-∠ABC=50°（邻补角定义），
在△BCD中，∠BCD=40°（已知），∠CBD=50°（已证），
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD=90°（三角形内角和），
∴∠AGN=∠ADE=90°（等量代换），
∴MN∥EF（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】垂线；平行线的判定；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【分析】直线MN∥EF，理由如下：延长AB交EF于点D，设AB⊥MN于点G，由垂直定义得∠AGN=90°，由邻补角定义得∠CBD=50°，由三角形的内角和定理得∠BDC=90°，由等量代换得∠AGN=∠ADE=90°，最后根据同位角相等，两直线平行，可得结论.
15．【答案】（1）∠2和∠6；∠4和∠6；∠3和∠6
（2）分别在直线a，b的两侧，在直线c的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做外错角
（3）B
（4）证明：
∵∠2=∠4
∠2=∠8
∴∠4=∠8
∴a∥b
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：（1）根据同位角、内错角、同旁内角的概念可得：∠2和∠6是同位角，∠4和∠6是内错角，∠3和∠6是同旁内角.
故答案为：∠2和∠6，∠4和∠6，∠3和∠6.
（2）根据∠2和∠8的位置可得：外错角的定义为分别在直线a，b的两侧，在直线c的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做外错角.
故答案为：分别在直线a，b的两侧，在直线c的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做外错角.
（3）根据外错角的概念可得：∠1与∠7为外错角.
故答案为：B.
【分析】（1）根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行解答；
（2）根据∠2和∠8的位置可得外错角的定义；
（3）根据外错角的定义进行解答；
（4）由对顶角的性质可得∠2=∠4，由已知条件可知∠2=∠8，则∠4=∠8，然后根据平行线的判定定理进行解答.
1 / 1【提高卷】2024年浙教版数学七年级下册1.3平行线的判定 同步练习
一、选择题
1．下列结论中，错误的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内的两条直线不平行就相交
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的判定；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A、 同位角相等，两直线平行 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
B、 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
C、 同一平面内的两条直线不平行就相交 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
D、 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ，原说法错误，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理： 同位角相等，两直线平行 ，可判断A选项；根据垂直公理： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断B选项；根据同一平面内的两条直线的位置关系： 同一平面内的两条直线不平行就相交 ，可判断C选项；根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断D选项.
2．同一平面内五条直线l1，l2，l3，l4与l5的位置关系如图所示，根据图中标示的角度，下列判断正确的是（ ）
A．l1∥l3，l2∥l3 B．l2∥l3，l4与l5相交
C．l1与l3相交，l4∥l5 D．l1与l2相交，l1∥l3
【答案】B
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=92°（对顶角相等），
∴l2∥l3（同位角相等，两直线平行），
∵88°≠92°，
∴l4与l5相交，
∴ l2∥l3，l4与l5相交 .
故答案为：B.
【分析】由对顶角相等可得∠1=92°，进而根据同位角相等，两直线平行可得l2∥l3；由于88°≠92°，由内错角不相等，故两直线不平行，即两直线相交可得l4与l5相交，据此判断可得答案.
3．如图，直线a，b被直线c所截，当∠1=∠2=48°时，直线a，b的位置关系是（ ）
A．a∥b B．a∥b C．a⊥b D．无法确定
【答案】A
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2与∠3互为对顶角（已知），
∴∠2=∠3=48°（对顶角相等），
∵∠1=∠2=48°（已知），
∴∠1=∠3=48°（等量代换），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角相等得∠2=∠3=48°，结合∠1=∠2=48°，由等量代换可得∠1=∠3=48°，最后根据同位角相等，两直线平行可得a∥b.
4．如图所示为一张四边形纸片ABCD，下列测量方法中，能判定AD∥BC的是（ ）
A．AB⊥BC，CD⊥BC B．AB⊥BC，AB⊥AD
C．AB⊥BC，CD⊥AD D．AB=DC
【答案】B
【知识点】垂线；平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、∵ AB⊥BC，CD⊥BC （已知），
∴∠B=∠DCE=90°（垂直定义），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B、∵ AB⊥BC，AB⊥AD（已知） ，
∴∠B=∠FAD=90°（垂直定义），
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），故此选项符合题意；
C、∵ AB⊥BC，CD⊥AD ，
∴∠B=∠D=90°（垂直定义），
∴无法判断出两条线平行，故此选项不符合题意；
D、AB=CD，无法判断出两条线平行，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由垂直定义可得∠B=∠DCE=90°，从而根据同位角相等，两直线平行，可得AB∥CD，据此判断A选项；由垂直定义可得∠B=∠FAD=90°，从而根据同位角相等，两直线平行，可得AD∥BC，据此判断B选项；由垂直定义可得∠B=∠D=90°，由于∠B与∠D不符合“三线八角”，故判断不出直线平行，据此判断C选项；线段相等不能作为判断线平行的条件，据此可判断D选项.
5．（2023七下·南明月考）下图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一直线的两条直线平行
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： 图中过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是同位角相等，两直线平行.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可.
6．木条a、b、c如图用螺丝固定在木板上，且∠ABM=50°，∠DEM=70°，将木条a、b、c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN若使直线AC、DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵ 木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，
∴∠ABM=50°+20°=70°，
又∵∠DEM=70°，
∴∠DEM=∠ABM=70°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
B、∵ 木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160° ，
∴∠CBE=50°+20°=70°，
又∵∠DEM=70°，
∴∠DEM=∠CBE=70°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
C、∵ 木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20° ，
∴∠DEM=70°-20°=50°，
又∵∠ABM=50°，
∴∠DEM=∠ABM=50°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
D、∵ 木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110° ，
∴木条b与木条c重合，
∴b与c相交，即AC与DF不平行，故此选项描述错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的方向，找出旋转后a与c或b与c相交形成的其中一个角的度数，进而根据平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行”可判断A、B、C三个选项；进而木条旋转的方向及角度会发现木条b与木条c重合，从而可得b与c相交，据此判断D选项.
7．（2023七下·辛集期末） 老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，，
．
，
，
，
．
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则
B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等
D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【知识点】平行线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】根据题干中的证明过程，可得：
证明的真命题是：在同一平面内，若，且，则，
故答案为：A.
【分析】先阅读题干，再根据题干中的证明步骤分析求解即可.
8．如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，即与直线a相交的直线至少有3条，故选B．
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
二、填空题
9．（2023七下·杭州期中）一副三角板按如图所示放置，将含30°角的三角板固定，含45°角的三角板绕A点旋转，保持∠1为锐角，旋转过程中有下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝45°，则AC∥DE．③若∠4＝∠B，则AC∥DE；④若∠1＝15°，则BC∥DE．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③④
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解：设AB与DE的交点为F
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵∠2=45°，∠E=60°，
∴∠EFB=∠E+∠2=105°，
∴∠EFB≠∠CAB，
∴AC与DE不平行，故②错误；
∵∠4=∠B=45°，∠C=45°，
∴∠4=∠C，
∴AC∥DE，故③正确；
当∠1=15°时， ∠2=90°-15°=75°，
∴∠EFB=∠E+∠2=60°+75°=135°.
∵∠B=45°，
∴∠B+∠EFB=180°，
∴BC∥DE，故④正确.
综上可得：①③④正确.
故答案为：①③④.
【分析】设AB与DE的交点为F，根据同角的余角相等可判断①；由外角的性质可得∠EFB=∠E+∠2=105°，根据平行线的判定定理可判断②；根据∠4=∠B=45°，∠C=45°可得∠4=∠C，根据平行线的判定定理可判断③；由余角的性质可得 ∠2=90°-∠1=75°，根据外角的性质可得∠EFB=∠E+∠2=60°+75°=135°，则∠B+∠EFB=180°，据此判断④.
10．如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 °
【答案】12
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：设OD绕点O逆时针旋转到OD'时，OD∥AC，
∵当∠A=∠BOD'=70°时，OD'∥AD，
∴∠DOD'=∠BOD-∠BOD'=82°-70°=12°.
∴ 直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转12°.
故答案为：12.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，可得当∠A=∠BOD'=70°时，OD'∥AD，进而根据∠DOD'=∠BOD-∠BOD'可算出直线OD绕点O按逆时针方向旋转的最小角度.
11．如图，若∠B=65°，∠C=15°，∠E=50°，∠DFE=∠E+∠C，则AB与CD的位置关系是 .
【答案】平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠C=15°，∠E=50°，∠DFE=∠E+∠C（已知），
∴∠DFE=65°（角的和差），
∵ ∠B=65°（已知），
∴∠DFE=∠B=65°（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：平行.
【分析】由已知易得∠DFE=∠B=65°，从而根据同位角相等，两直线平行，可进行判断.
12．如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，已知∠DBC=20°，当∠BAF= 度时，才能使AB'∥BD．
【答案】55
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠DBC=20°（同角的余角相等），
∵长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B'处，
∴∠BAF=∠B'AF，
∵要使AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，
∴∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，
∴∠BAF=∠B'AF=∠BAB'=55°.
故答案为：55.
【分析】由矩形的性质及同角的余角相等得∠ADB=∠DBC=20°，根据折叠的性质得到∠BAF=∠B'AF，要AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，从而得到∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，即可求出∠BAF.
三、解答题
13．一辆汽车在笔直的公路上行驶，第一次向左拐45°，再在笔直的公路上行驶一段距离后，第二次向右拐45°，请判断这辆汽车行驶的方向是否和原来的方向相同？画出行驶路线示意图，并说明理由．
【答案】解：如图，
这辆汽车两次转弯后行驶的方向和原来的方向相同，理由如下：
∵∠CDE=∠COB（已知），
∴OD∥AB（同位角相等，两直线平行），即这辆汽车两次转弯后行驶的方向和原来的方向相同.
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】由题意易知∠CDE=∠COB，从而根据同位角相等，两直线平行，可进行判断.
14．如图，若MN⊥AB，∠ABC=130°，∠FCB=40°， 试判断直线MN与EF的位置关系，并说明理由．
【答案】解：直线MN∥EF，理由如下：
如图，延长AB交EF于点D，设AB⊥MN于点G，
∵AB⊥MN（已知），
∴∠AGN=90°（垂直定义），
∵∠ABC=130°（已知），
∴∠CBD=180°-∠ABC=50°（邻补角定义），
在△BCD中，∠BCD=40°（已知），∠CBD=50°（已证），
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD=90°（三角形内角和），
∴∠AGN=∠ADE=90°（等量代换），
∴MN∥EF（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】垂线；平行线的判定；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【分析】直线MN∥EF，理由如下：延长AB交EF于点D，设AB⊥MN于点G，由垂直定义得∠AGN=90°，由邻补角定义得∠CBD=50°，由三角形的内角和定理得∠BDC=90°，由等量代换得∠AGN=∠ADE=90°，最后根据同位角相等，两直线平行，可得结论.
15．（2023七下·濮阳期末）
【阅读理解】
本学期第五章学习了《平行线的判定》，认识了同位角，内错角、同旁内角及它们的定义.学会了平行线的三个判定方法.
判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
判定方法二：内错角相等，两直线平行；
判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.
（1）如图（1），请你找出一对同位角 ；一对内错角是 ；一对同旁内角是 .(说明：以上填空只找出一对即可)
（2）【新知学习】
如图(2)，我们把∠2与∠8叫作外错角，请结合学习的同位角、内错角、同旁内角定义，给外错角下个定义： ；
（3）在图(1)中找出另一对外错角是____
A．∠1与∠6 B．∠1与∠7 C．∠2与∠5 D．∠2与∠7
（4）请你结合图(2)，证明命题：“外错角相等，两直线平行”.
如图(2)，已知：直线a，b被c所截，∠2=∠8.
求证：a∥b.
证明：
【答案】（1）∠2和∠6；∠4和∠6；∠3和∠6
（2）分别在直线a，b的两侧，在直线c的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做外错角
（3）B
（4）证明：
∵∠2=∠4
∠2=∠8
∴∠4=∠8
∴a∥b
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：（1）根据同位角、内错角、同旁内角的概念可得：∠2和∠6是同位角，∠4和∠6是内错角，∠3和∠6是同旁内角.
故答案为：∠2和∠6，∠4和∠6，∠3和∠6.
（2）根据∠2和∠8的位置可得：外错角的定义为分别在直线a，b的两侧，在直线c的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做外错角.
故答案为：分别在直线a，b的两侧，在直线c的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做外错角.
（3）根据外错角的概念可得：∠1与∠7为外错角.
故答案为：B.
【分析】（1）根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行解答；
（2）根据∠2和∠8的位置可得外错角的定义；
（3）根据外错角的定义进行解答；
（4）由对顶角的性质可得∠2=∠4，由已知条件可知∠2=∠8，则∠4=∠8，然后根据平行线的判定定理进行解答.
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