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2.2 二元一次方程组 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是浙教版七年级数学下册第2章第2节的内容。本节课主要是理解二元一次方程组的相关概念及二元一次方程的解的概念，本节课的教学增加对二元一次方程组解的情况的思考和引导，可适当增设求二元一次方程整数解的知识，以便解决实际问题，对于为何学习二元一次方程组的知识，二元一次方程组与一元一次方程相比具有哪些异同点、优越性，通过具体事例，启发学生从不同的角度思考同一个问题，通过比较思考，加深对于模型的理解。
学习者分析 学生在此之前已经学习过二元一次方程的相关概念及二元一次方程的解法，在教学中要求学生能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，理解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。学生在学习了二元一次方程组后,还要继续学习新的方程和方程组，甚至是不等式和不等式(组）等，二元一次方程(组）的学习过程具有承上启下的桥梁作用，是贯通方程(组)、函数、不等式(组）的重要纽带。
教学目标 1.通过类比迁移，能归纳二元一次方程组及解的概念、特点，能举例说明。2.通过自学课本，会判断给定的两个数值是否为二元一次方程组的解，能通过列表求出二元一次方程组的解。3.能通过实际问题列出二元一次方程组，并能求解解决问题。
教学重点 归纳二元一次方程组及解的概念、特点，能举例说明。
教学难点 能通过实际问题列出二元一次方程组，并能求解解决问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：想一想：什么是二元一次方程？含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.什么是二元一次方程的解？使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.6块同样大小的长方形复合地板刚好拼成一个大长方形，如图.你能算出每块复合地板的长和宽吗 学生活动1：学生复习之前学习过的知识，回答教师提出的问题。学生思考课本提出的实际问题。活动意图说明：通过复习学过的内容，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探索二元一次方程组的概念教师活动2：教师出示问题：一个苹果和一个梨的质量合计200g，这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等.问苹果和梨的质量各为多少克 这个问题中，如果设苹果和梨的质量分别为x(g)和y(g)，你能列出几个方程 请把它们列出来.x+y=200 y=x+10方程x+y=200 和方程y=x+10 中，x，y都分别表示同一个未知数，也就是说，x，y的值必须同时满足上述两个方程，因此可以把两个方程合起来，写成像这样由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组.【例】下列各个方程组中，属于二元一次方程组的是( C ).【总结归纳】识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是只含有两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.注意：有时还需将方程组化简后再看．学生活动2：学生通过分析，列出符合题意的方程。总结二元一次方程组的概念根据所学知识完成例题。学生在教师的引导下总结识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法。活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：探索二元一次方程组的解教师活动3：1.(1)已知方程x+y=200，填写下表.1.(2)已知方程y=x+10，填写下表.(3)有没有这样的解，它既是方程x+y=200的一个解，又是方程y=x+10的一个解 二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解.把下列各组数的题序填入图中适当的位置.【知识拓展】 1.二元一次方程组的解是一对数，要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验，这对数只有满足方程组中的每一个方程，这对数才能是这个方程组的解.2.一般情况下，二元一次方程的解有无数个，而二元一次方程组的解是唯一的.【例】北京2008年奥运会跳水决赛的门票价格如下表.小聪购买了B等级和C等级的跳水决赛门票共6张，他发现购买这6张门票所花的钱恰好能购买3张A等级门票. 如果设小聪购买B等级和C等级门票分别为x张和y张，请根据问题中的条件列出关于x，y的方程组，并用列表尝试的方法求两种门票的数量.解：根据条件可列出关于x，y的方程组因为x，y必须取自然数，所以列表尝试如下:可见，只有x=4，y=2符合这个方程组，所以方程组的解是答:小聪买了B等级跳水决赛门票4张，C等级跳水决赛门票2张.【总结归纳】利用列表法解二元一次方程组的一般步骤：(1)先估算x的取值范围，而且从较小值开始；(2)x的取值确定后，一般先把x的值代入二元一次方程组中较为简单的二元一次方程中，再求出y的值，最后把x，y的值代入二元一次方程组中的另一个方程中进行验证；(3)写出符合条件的解，并用“{”括起来.学生活动3：学生在教师的指导下完成课本问题。师生共同总结二元一次方程组的解的概念。学生完成课本例题，教师总结解题方法。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：2.2 二元一次方程组一、二元一次方程组的概念二、二元一次方程组的解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( D ).A． B．C． D．2.已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍，设甲数为x，乙数为y，根据题意，所列方程组正确的是( A ).A． B．C． D．3.以为解的二元一次方程组是( C )A． B．C． D．4.已知方程组(1)x分别取6，7，8，9，填写下表．(2)写出方程组的解．解：方程组的解为选做题：5.5.已知方程组 的解为 由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则●与★的值分别为( D )A．8，2 B．－8，－2 C．－8，2 D．－2，－76.已知二元一次方程组下面说法中正确的是( A )A．同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解B．适合方程①的x，y的值是方程组的解C．适合方程②的x，y的值是方程组的解D．适合方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解【综合实践类作业】7.某班学生植树，若每人植7棵树，则剩5棵树；若每人植8棵树，则有1人少植1棵树，问有多少名学生植树，有多少棵树？设有x名学生植树，有y棵树．(1)请列出关于这个问题的二元一次方程组；解：根据题意，得(2)用列表的方法求出有多少名学生植树，有多少棵树．解：根据方程组和x，y都是正整数的特点，可列表如下：可见x＝6，y＝47满足这个方程组，所以方程组的解是答：有6名学生植树，有47棵树．
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.下列方程组中是二元一次方程组的是( D )A． B．C． D．2.某班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少9人，该班男生、女生各有多少人？设该班男生有x人，女生有y人，根据题意可列方程组为选做题：3.如图，在长方形ABCD中放入6个完全一样的小长方形，设小长方形的长为a，宽为b，则可得方程组为( A ).A． B．C． D．【综合实践类作业】4.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件，现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等 解：设有x位工人参加第一道工序，y位工人参加第二道工序，由题意，得根据问题的实际意义，x、y必须是正整数，所以列表尝试如下:可见，只有x=4，y=3符合这个方程组，∴方程组的解是答：安排第一道工序4人，第二道工序3人，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？1.由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组.2.二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解.
教学反思 本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主,利用多媒体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态，采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程，在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.了解二元一次方程的概念和二元一次方程解的不唯一性。 2.了解二元一次方程组的概念，理解二元一次方程组的解的概念。 3.了解解二元一次方程组的基本思想是通过消元，化二元为一元。 4.掌握解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。 5.了解应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。 6.会应用二元一次方程组解决简单的实际问题。 7.了解三元一次方程组的概念，能解简单的三元一次方程组。
内容分析 本章是在七年级上册“一元一次方程”的基础上，进一步讨论二元一次方程(组)的有关概念、解法和应用等，并在二元一次方程组的基础上，学习三元一次方程组及解法.本章是一元一次方程知识的延伸和拓广，也是今后学习一般线性方程组、及函数等的基础，具有承上启下的作用.教学过程中要求学生能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程(组)，理解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组，并能根据解的特征选择适当的方法简化解题过程。能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
学情分析 七年级的学生已在前一学段和七年级上册学习了一元一次方程的相关概念与应用。但是这个阶段的学生具有不熟练的读写能力和对文字类题目(应用题)的恐惧心理，在学习中存在不会审题(不会读题)，导致其不能准确分析问题中数量关系；所以在教学过程中认真把握课标要求，以学生熟悉的实际问题入手，引入教学，降低学习难度，消除学生对问题的恐惧心理，使学生易于参与到学习活动中来，提高学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和能力。同时注意培养学生读的习惯和思考的能力，应用题教学可以放慢速度，让学生充分审题，在理解的基础上尝试解决实际问题。
单元目标 （一）教学目标 1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型. 2.了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系. 3.了解解二元一次方程组的基本目标:使方程组逐步转化为x=a，y=b的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法一代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 4.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 5.通过探究实际问题，进一步认识利用二(三)元一次方程组解决实际问题的基本过程，体会数学应用的价值，提高分析问题、解决问题的能力. （二）教学重点、难点 重点： 1.了解二元一次方程和二元一次方程组的概念； 2.会用不同的方法求二元一次方程组的解(消元思想)； 3.列二元一次方程组解决实际问题(建模思想). 难点： (1)根据方程组的形式,确定先消哪个元,选用哪个消元方法比较便捷. (2)利用二元一次方程组分析、解决实际问题.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数2.1二元一次方程12.2二元一次方程组12.3解二元一次方程组22.4二元一次方程组的应用22.5三元一次方程组及其解法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 二元一次方程1.理解二元一次方程的定义； 2.能够准确叙述处二元一次方程的解的概念； 3.能熟练的求出二元一次方程的一个解。 掌握二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念，能把二元一次方程中的一个未知数表示用另一个未知数的代数式来表示． 探索二元一次方程的定义，利用一元一次方程求解的方法求二元一次方程的一个解。 二元一次方程组 1．了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． 2．会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解．1.理解并掌握二元一次方程组及其解的概念． 2.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解．类比迁移，归纳出二元一次方程组及解的概念，小组之间交流，探索二元一次方程组的解。 解二元一次方程组1.会用代入消元法解二元一次方程组。 2.对代入消元法的探究，使学生体会代入消 元法所体现的化未知为已知的化归思想方法。通过探究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。通过梳理“情境问题”中方程组的解法过程，适时给出概念，感受概念是通过实际生活抽象得出的，从而体验“过程与方法”。1.掌握用加减消元法解简单的二元一次方程组； 2.经历加减消元法解二元一次方程组的探究过程，使学生进一步体会化归思想。通过用加减消元法解二元一次方程组培养学生在运算的过程中勤于思考、善于归纳总结的良好习惯。本节课教学中通过设计系列问题，引导学生积极思维，层层深入，注重加减消元法的产生和形成过程，通过观察、分析、比较、归纳得出方法，进一步体会化归思想。 二元一次方程组的应用1.利用二元一次方程组解决面积问题、产品配套、和差倍分、行程等问题. 2.会用列表、画线段图等手段帮助分析理解实际问题. 在实际问题中找等量关系、列方程组，会用列方程组解决实际问题.根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学,让学生能顺利地列出正确的二元一次方程组.1.会用表格、示意图分析数量关系，寻找等量关系； 2.加深对方程模型的理解，增强数学应用意识； 掌握利用二元一次方程组解决实际问题． 通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性。 三元一次方程组及其解法知道三元一次方程组的概念，知道解三元一次方程组的基本思路。 会解三元一次方程组。经历认识三元一次方程组，并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会消元思想。用二元一次方程的解法，灵活应用代入法、加减法进行消元化归思想。引导学生大胆尝试，在探究中，寻找解决问题的方法。
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2.2 二元一次方程组
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.通过类比迁移，能归纳二元一次方程组及解的概念、特点，能举例说明。
2.通过自学课本，会判断给定的两个数值是否为二元一次方程组的解，
能通过列表求出二元一次方程组的解。
3.能通过实际问题列出二元一次方程组，并能求解解决问题。
复习回顾
想一想：什么是二元一次方程？
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.
什么是二元一次方程的解？
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
新知讲解
6块同样大小的长方形复合地板刚好拼成一个大长方形，如图.
你能算出每块复合地板的长和宽吗
新知讲解
一个苹果和一个梨的质量合计200g，这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等.问苹果和梨的质量各为多少克
这个问题中，如果设苹果和梨的质量分别为x(g)和y(g)，你能列出几
个方程 请把它们列出来.
新知讲解
一个苹果和一个梨的质量合计200g，这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等.问苹果和梨的质量各为多少克
x+y=200
y=x+10
新知讲解
方程x+y=200 和方程y=x+10 中，x，y都分别表示同一个未知数，也就是说，x，y的值必须同时满足上述两个方程，因此可以把两个方程合起来，写成
x+y=200
y=x+10
像这样由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组.
新知讲解
【例】下列各个方程组中，属于二元一次方程组的是( ).
C
新知讲解
【总结归纳】
识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：
一看方程组中的方程是否都是整式方程；
二看方程组中是不是只含有两个未知数；
三看含未知数的项的次数是不是都为1.
注意：有时还需将方程组化简后再看．
新知讲解
1.(1)已知方程x+y=200，填写下表.
··· 115 110 105 100 95 ···
新知讲解
1.(2)已知方程y=x+10，填写下表.
··· 95 100 105 110 115 ···
(3)有没有这样的解，它既是方程x+y=200的一个解，又是方程
y=x+10的一个解
新知讲解
二元一次方程组的解：
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解.
新知讲解
把下列各组数的题序填入图中适当的位置.
②④
②③
②
新知讲解
【知识拓展】
1.二元一次方程组的解是一对数，要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验，这对数只有满足方程组中的每一个方程，这对数才能是这个方程组的解.
2.一般情况下，二元一次方程的解有无数个，而二元一次方程组的解是唯一的.
新知讲解
【例】北京2008年奥运会跳水决赛的门票价格如下表.
小聪购买了B等级和C等级的跳水决赛门票共6张，他发现购买这6张门票所花的钱恰好能购买3张A等级门票. 如果设小聪购买B等级和C等级门票分别为x张和y张，请根据问题中的条件列出关于x，y的方程组，并用列表尝试的方法求两种门票的数量.
新知讲解
解：根据条件可列出关于x，y的方程组
因为x，y必须取自然数，所以列表尝试如下:
可见，只有x=4，y=2符合这个方程组，所以方程组的解是
答:小聪买了B等级跳水决赛门票4张，C等级跳水决赛门票2张.
新知讲解
【总结归纳】
利用列表法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)先估算x的取值范围，而且从较小值开始；
(2)x的取值确定后，一般先把x的值代入二元一次方程组中较为简单的二元一次方程中，再求出y的值，最后把x，y的值代入二元一次方程组中的另一个方程中进行验证；
(3)写出符合条件的解，并用“{”括起来.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( ).
D
课堂练习
2.已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍，设甲数为x，乙数为y，根据题意，所列方程组正确的是( ).
A
课堂练习
C
课堂练习
4 3 2 1 …
x＋y＝10的解
x 6 7 8 9 …
y
2x－3y＝5的解
x 6 7 8 9 …
y
(2)写出方程组的解．
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
D
课堂练习
A
A．同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解
B．适合方程①的x，y的值是方程组的解
C．适合方程②的x，y的值是方程组的解
D．适合方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解
课堂练习
【综合实践类作业】
7.某班学生植树，若每人植7棵树，则剩5棵树；若每人植8棵树，则有1人少植1棵树，问有多少名学生植树，有多少棵树？设有x名学生植树，有y棵树．
(1)请列出关于这个问题的二元一次方程组；
课堂练习
【综合实践类作业】
(2)用列表的方法求出有多少名学生植树，有多少棵树．
x 1 2 3 4 5 6 7
y＝7x＋5 12 19 26 33 40 47 54
y＝8x－1 7 15 23 31 39 47 55
解：根据方程组和x，y都是正整数的特点，可列表如下：
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组.
2.二元一次方程组的解：
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解.
板书设计
课题：2.2 二元一次方程组
教师板演区
学生展示区
一、二元一次方程组的概念
二、二元一次方程组的解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.下列方程组中是二元一次方程组的是( )
D
作业布置
2.某班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少9人，该班男生、女生各有多少人？设该班男生有x人，女生有y人，根据题意可列
方程组为__________________．
作业布置
选做题：
3.如图，在长方形ABCD中放入6个完全一样的小长方形，设小长方形的长为a，宽为b，则可得方程组为( ).
A
作业布置
【综合实践类作业】
4.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件，现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等
解：设有x位工人参加第一道工序，y位工人参加第二道工序，由题意，得
作业布置
【综合实践类作业】
根据问题的实际意义，x、y必须是正整数，所以列表尝试如下:
可见，只有x=4，y=3符合这个方程组，∴方程组的解是
答：安排第一道工序4人，第二道工序3人，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等.
谢谢
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