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【课课练】浙教版2023-2024学年七下数学第2章二元一次方程组
2.5三元一次方程组及其解法
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A．要消去z，先将①＋②，再将①×2＋③ B．要消去z，先将①＋②，再将①×3－③
C．要消去y，先将①－③×2，再将②－③ D．要消去y，先将①－②×2，再将②＋③
2．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
3．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
4．以为解建立一个三元一次方程，不正确的是（ ）
A．3x－4y＋2z＝3 B．x－y＋z＝－1 C．x＋y－z＝－2 D．x－y－z＝1
5．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a+b+c＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．已知实数，，满足，则代数式的值是（ ）
A．-2 B．-4 C．-5 D．-6
7．一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．6月18日，最开始是京东的周年庆，2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件时应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
9．小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法.（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知三元一次方程组，则 .
12．在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，共付30元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，共付44元．则买1斤苹果和2斤西瓜一共需付 元．
13．小华和小慧到校门外文具店买文件，小华购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；小慧购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，若小明去买与她们一样的购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付 元钱.
14．甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙三个
数分别是 ．
15．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应的密文为a+b，b+c，c+d，d+2a．例如：明文1，2，3，4对应的密文为3，5，7，6．当接收方收到密文8，11，15，15时，则解密得到的明文应为
16．为迎接建国70周年，某商店购进，，三种纪念品共若干件，且，，三种纪念品的数量之比为8：7：9，一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且，，三种纪念品的比例为9：10：10，又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数景比第二次多170 件，且，，三种纪念品的比例为7： 6： 6，已知第一次三种纪念品总数盘不超过1000件，则第一次购进种纪念品 件.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程组.
（1） （2）
18．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
19．在等式 中，当 时， ；当 时， ；当 时， .
（1）求a，b，c的值
（2）小苏发现：当x=-1或 时， 的值相等.请分析“小苏的发现”是否正确？
20．（1）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需15元，如果购甲1件、乙2件、丙3件共需25元，那么购甲、乙、丙各1件共需多少元？
（2）已知2a+b+3c=15，3a+b+5c=25，则a+b+c= ；
（3）已知2a+b+xc=15，3a+b+yc=25，要想求出a+b+c的值，x与y必须满足的关系是？
21．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
22．2013年4月20日8时2分在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震，有1.8万人等待安置，各地人民纷纷捐款灾区．某市一企业在得知灾区急需帐篷后立即与厂家联系购买帐篷送往灾区．已知用9万元刚好可以从厂家购进帐篷500顶．该厂家生产三种不同规格的帐篷，出厂价分别为甲种帐篷每顶150元，乙种帐篷每顶210元，丙种帐篷每顶250元．
①若企业同时购进其中两种不同规格的帐篷，则企业的购买方案有哪几种？
②若企业想同时购进三种不同规格的帐篷，必须每种帐篷都有，为了便于分类打包，每种帐篷数都要求是10的倍数．请你研究一下是否可行？如果可行请给出符合条件的设计方案；若不可行，请说明理由．
23．已知方程组，求的值.
小明凑出“”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦！他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设，对照方程两边各项的系数可列出方程组它的解就是你凑的数！
（1）根据丁老师的提示，已知方程组，求的值.
（2）已知，且，当k为 时，为定值，此定值是 .（直接写出结果）
24．某货运公司接到 吨物资运载任务，现有甲、乙、丙三种车型的汽车供选择，每辆车的运载能力和运费如表：
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
（1）甲种车型的汽车 辆，乙种车型的汽车 辆，丙种车型的汽车 辆，它们一次性能运载 吨货物．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型的汽车来运送，需运费 元，求需要甲、乙两种车型的汽车各多少辆？
（3）为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车型的汽车共 辆同时参与运送，请你帮货运公司设计派车方案；并求出各种派车方案的运费．
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【课课练】浙教版2023-2024学年七下数学第2章二元一次方程组
2.5三元一次方程组及其解法（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A．要消去z，先将①＋②，再将①×2＋③ B．要消去z，先将①＋②，再将①×3－③
C．要消去y，先将①－③×2，再将②－③ D．要消去y，先将①－②×2，再将②＋③
【答案】A
【解析】利用加减消元法解方程组 ，要消去z，先将①+②，再将①×2+③，要消去y，先将①+②×2，再将②+③．
故答案为：A．
2．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
①+③得④，④-②解得z=-1，
把z=-1代入②得x=2
把x=2代入①得y=-1
故方程组的解为
故答案为：C。
3．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
②-①得：
，
化简可得：
④，
①③得：
，
化简可得：
⑤，
联立④与⑤：
，
故答案为：A．
4．以为解建立一个三元一次方程，不正确的是（ ）
A．3x－4y＋2z＝3 B．x－y＋z＝－1
C．x＋y－z＝－2 D．x－y－z＝1
【答案】C
【解析】把分别代入四个选项中，
得：A、3×3-4×1+2×（-1）=3，故不符合题意；
B、3-1+（-1）=-1，故不符合题意；
C、3+1-（-1）=5≠-2，故符合题意；
D、×3-×1-（-1）≠，故不符合题意；
故答案为：C.
5．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a+b+c＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得
，
解得： ，
∴a+b+c＝1+3+2＝6，
故答案为：C.
6．已知实数，，满足，则代数式的值是（ ）
A．-2 B．-4 C．-5 D．-6
【答案】B
【解析】
②-①可得3x-3z=-5，
∴3(x-z)+1=-5+1=-4.
故答案为：B.
7．一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设这个三位数百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，
根据题意得
整理得
由①+②得
x-z=6.
∴百位上的数与个位上的数之差为6.
故答案为：B.
8．6月18日，最开始是京东的周年庆，2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件时应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【答案】B
【解析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，
由题意可得方程组，
①+②可得，
∴，
故购买甲、乙、丙各两件时应该付款400元；
故答案为：B．
9．小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法.（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】设分别购买学习用品x、y、z，根据题意可得：
（①－②）×2得：③
①÷2得：④
④－③得：
方案一：；方案二：；方案三：
故答案为：D.
10．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
【答案】B
【解析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得 ，
得 ，
由于x、y、z只取正整数，所以需使 被2整除且 为正数，且 ，
当 ， ， ，8种，
当 ， ， ，6种，
∴ 的正整数解有14组 . ，
所以购买方案共有14种.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知三元一次方程组，则 .
【答案】6
【解析】，
①+②+③，得
2x+2y+2z＝12，
∴x+y+z＝6，
故答案为：6.
12．在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，共付30元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，共付44元．则买1斤苹果和2斤西瓜一共需付 元．
【答案】14
【解析】【解答】设1斤苹果x元，1斤西瓜y元，1斤橙子z元，
由题意得：
由②-①得：由②-①得：x+2y＝5.2③，买1斤苹果和2斤西瓜一共需付5.2元，
故答案为：5.2
13．小华和小慧到校门外文具店买文件，小华购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；小慧购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，若小明去买与她们一样的购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付 元钱.
【答案】7
【解析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得，
由①+②得，
整理得，
所以购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支需要7元钱.
故答案为：7.
14．甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙三个
数分别是 ．
【答案】10，9，7
【解析】设甲数为x，乙数为y，丙数为z，根据题意得：
，
解得： ，
则甲数是10，乙数是9，丙数是7，
故答案为：10，9，7.
15．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应的密文为a+b，b+c，c+d，d+2a．例如：明文1，2，3，4对应的密文为3，5，7，6．当接收方收到密文8，11，15，15时，则解密得到的明文应为
【答案】3，5，6，9
【解析】解：设密文8，11，15，15分别对应的明文为a，b，c，d，由题意，得，
解得：．
故答案为：3，5，6，9．
16．为迎接建国70周年，某商店购进，，三种纪念品共若干件，且，，三种纪念品的数量之比为8：7：9，一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且，，三种纪念品的比例为9：10：10，又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数景比第二次多170 件，且，，三种纪念品的比例为7： 6： 6，已知第一次三种纪念品总数盘不超过1000件，则第一次购进种纪念品 件.
【答案】320
【解析】设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有
，
则24x=29y-200=19z-370=m，
∵0＜m≤1000，
∴0＜x≤41，6＜y≤41，19＜z≤72，
∵x，y、z均为正整数，
∴1≤x≤41，7≤y≤41，20≤z≤72，
24x=29y-200化为：x=y-8+，
∴5y-8=24n（n为正整数），
∴5y=8+24n=8（1+3n），
∴y=8k（k为正整数），5k=3n+1，
∴7≤8k≤41，n=k+，
∴1≤k≤5，1≤2k-1≤9，
∵2k-1必为奇数且是3的整数倍.
∴2k-1=3或2k-1=9，
∴k=2或k=5，
当k=2时，y=16，x=11，z=33（舍）
∴k只能为5，
∴y=40，x=40，z=70.
∴8x=8×40=320.
答：第一次购进A种纪念品320件.
故答案为：320.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程组.
（1） （2）
【答案】（1）解：+②得：2x=-2，
∴x=-1，
②-③得：-2z=-10，
∴z=5，
把x、z的值代入①得-y=-2，
∴y=2，
∴原方程组的解是.
（2）解：①-③得2x-2y=-2，④
①+②得5x+2y=16，⑤
④+⑤得7x=14，∴x=2，
把x=2代入④中，得4-2y=-2，
∴y=3
把x=2，y=3代入③中，得2+3+z=6，
∴z=1
所以原方程组的解是
18．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
【答案】这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z.由题意列方程组
②－③得y＝14－y，即y＝7，
由①得x－z＝1，⑤
将y＝7代入③得x＋z＝7，⑥
⑤＋⑥得2x＝8，
即x＝4，那么z＝3.
答：这个三位数是473.
19．在等式 中，当 时， ；当 时， ；当 时， .
（1）求a，b，c的值
（2）小苏发现：当x=-1或 时， 的值相等.请分析“小苏的发现”是否正确？
【答案】（1）解：根据题意，得
②-③得 ，
解得 .
把 代入②，得 ，
解得 ，
因此
（2）解：“小苏的发现"是正确的，
由（1）可知等式为 ，
当 时， ；
当 时， ，
所以当 或 时， 的值相等.
20．（1）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需15元，如果购甲1件、乙2件、丙3件共需25元，那么购甲、乙、丙各1件共需多少元？
（2）已知2a+b+3c=15，3a+b+5c=25，则a+b+c= ；
（3）已知2a+b+xc=15，3a+b+yc=25，要想求出a+b+c的值，x与y必须满足的关系是？
【答案】解：（1）设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x元、y元、z元．
根据题意，得，
两方程相加，得4x+4y+4z=40，
x+y+z=10．
则购甲，乙，丙三种商品各一件共需10元．
（2），
①×2﹣②得4a﹣3a+2b﹣b+6c﹣5c=a+b+c=5，
解得：a+b+c=5；
（3）解得：a=（x﹣y）c+10，b=（2y﹣3x）c﹣5，
a+b+c=（y﹣2x+1）c+5，
当y﹣2x+1=0时，a+b+c的值是5，
所以y与x的关系是：y=2x﹣1．
故答案为：5．
21．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题意，得
，解得 .
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷.
22．2023年某市发生地震，有1.8万人等待安置，各地人民纷纷捐款灾区．某市一企业在得知灾区急需帐篷后立即与厂家联系购买帐篷送往灾区．已知用9万元刚好可以从厂家购进帐篷500顶．该厂家生产三种不同规格的帐篷，出厂价分别为甲种帐篷每顶150元，乙种帐篷每顶210元，丙种帐篷每顶250元．
①若企业同时购进其中两种不同规格的帐篷，则企业的购买方案有哪几种？
②若企业想同时购进三种不同规格的帐篷，必须每种帐篷都有，为了便于分类打包，每种帐篷数都要求是10的倍数．请你研究一下是否可行？如果可行请给出符合条件的设计方案；若不可行，请说明理由．
【答案】解：设购买的帐篷数为甲种x顶，乙种y顶，丙种z顶，①由题意分三种情况讨论：（i），解得：；（ii），解得：（不合题意，舍去），（iii），解得：．即有两种方案：甲、乙两种帐篷各250顶；甲种帐篷350顶，丙种帐篷150种；②由题意得，，解得：，∵x，y，z均为大于0且小于500的整数，同时都是10的倍数，∴x，y，z的取值可以为：，，，．∴方案可行，符合条件的设计方案有：甲、乙、丙三种帐篷数的配置分别为甲270顶、乙200顶、丙30顶；甲290顶、乙150顶、丙60顶；甲310顶、乙100顶、丙90顶；甲330顶、乙50顶、丙120顶．
23．已知方程组，求的值.
小明凑出“”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦！他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设，对照方程两边各项的系数可列出方程组它的解就是你凑的数！
（1）根据丁老师的提示，已知方程组，求的值.
（2）已知，且，当k为 时，为定值，此定值是 .（直接写出结果）
【答案】（1）解：假设2x+5y+8z＝m （x+2y+3z）+n （4x+3y+2z），
对照方程两边各项的系数可列出方程组
解得，
∴，
∴.
（2）-2；8
【解析】（2）设8a+3b-2c＝m（2a-b+kc）+n（a+3b+2c），
，
∴，
∴8a+3b-2＝3×4+2×（-2）＝8.
故答案为：-2；8.
24．某货运公司接到 吨物资运载任务，现有甲、乙、丙三种车型的汽车供选择，每辆车的运载能力和运费如表：
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
（1）甲种车型的汽车 辆，乙种车型的汽车 辆，丙种车型的汽车 辆，它们一次性能运载 吨货物．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型的汽车来运送，需运费 元，求需要甲、乙两种车型的汽车各多少辆？
（3）为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车型的汽车共 辆同时参与运送，请你帮货运公司设计派车方案；并求出各种派车方案的运费．
【答案】（1）74
（2）设甲车型的汽车有x辆，乙车型的汽车有y辆，根据题意有
解得
所以甲车型的汽车有8辆，乙车型的汽车有10辆；
（3）设甲车型的汽车有a辆，乙车型的汽车有b辆，丙车型的汽车有c辆，根据题意有
消去c得
∵a,b,c都是正整数，且a,b,c均不为0，
∴ 或
∴派车方案有两种：甲车型的汽车有2辆，乙车型的汽车有10辆，丙车型的汽车有3辆；甲车型的汽车有4辆，乙车型的汽车有5辆，丙车型的汽车有6辆；
当 时，运费为： （元）；
当 时，运费为： （元）；
综上所述，派车方案有两种：甲车型的汽车有2辆，乙车型的汽车有10辆，丙车型的汽车有3辆，运费为7600元；甲车型的汽车有4辆，乙车型的汽车有5辆，丙车型的汽车有6辆，运费为7700元．
【解析】【解答】（1）甲种车型的汽车 辆，乙种车型的汽车 辆，丙种车型的汽车 辆，它们一次性能运载货物的数量为： （吨）；
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