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专题1-6 平行线的基本模型-猪脚（锯齿）模型与铅笔头模型
模块1：模型简介
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
基本解法与思路：见拐点作平行线； 和差拆分与等角转化。
模块2：核心模型点与典例
模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
【模型证明】
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，由，即可得，根据两直线平行，内错角相等，即可得，，又由，即可求得与互余．
【详解】解：过点作，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴的度数为，故选：B．
【点睛】本题考查平行公理的推论，平行线的性质与垂直的定义．注意两直线平行，内错角相等．掌握辅助线的作法是解题的关键．
例2．（2023·山东·统考中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．
【答案】
【分析】可求，由，即可求解．
【详解】解：，，，，
，，故答案：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键．
例3．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．与没有数量关系
【答案】A
【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案．
【详解】解：过C作∥，
∥，，，，
，，，
，，故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题．
例4．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，，，，则 度．
【答案】90
【详解】解：如图，过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，∴，，
又∵，，∴，，
∴，∴，
即：，∴．故答案为：90．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键．
例5．（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）如图，已知，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是 ．
【答案】/度
【分析】首先设，，过点作，过点作，根据平行线的性质，可得，，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案．
【详解】解：如图，设，，
，与的平分线交于点，
，，，，
过点作，过点作，，，
，，，，
，，的余角等于的补角，
，解得：，，故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点，，作的平行线，容易得出，和是角平分线，所以，进一步求即可．
【详解】解：如图所示，过点，，作，，，
．，．，
，，，，
，，，
和是角平分线，，
，，
，，，
，即．故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键．
例7．（2023下·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，已知，，写出x，y，z的关系式 ．
【答案】
【分析】过点作，过点D作，根据平行线的性质求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作，过点D作，，
，，
，，，
，，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：
过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D .
（2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°
∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°.
（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：
过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，
则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D
∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.
例9．（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）已知．
(1)如图，为，之间一点，连接，，得到，求证：；
(2)如图，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点．
①如图，当点在点A的左侧时，若，，求的度数．②如图，当点在点A的右侧时，设，，请你求出的度数．（用含有，的式子表示）
【答案】(1)见解析(2)①的度数为 ②的度数为
【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图，过点作，当点在点A的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；如图，过点作，当点在点A的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．
【详解】（1）解：如图，过点作，
则有，，，
，；
（2）如图，过点作，
有，，．，
．即，
平分，平分，，，
．的度数为；
如图，过点作，有．，
，．．
．即，
平分，平分，，，
，的度数为
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，添加合适的辅助线．
模型2：铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2023下·北京顺义·七年级统考期末）如图，，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，根据平行公理求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出，，再根据计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作，则，
，，，
．故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目，难点在于过拐点作平行线．
例 2．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】过顶点做直线支撑平台，直线将分成两个角，根据平行的性质即可求解．
【详解】解：过顶点做直线支撑平台，支撑平台工作篮底部，
、，，
，．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
例3．（2023下·辽宁鞍山·七年级统考期末）如图，已知，下列结论正确的是（ ）
A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF
C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可．
【详解】解：A.由无法得出，错误；
B.由无法得出，错误；
C.∵，∴，∴，错误；
D.∵，∴，，
∴，正确；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
例4．（2023下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】C
【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故选：C．
例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】根据平角定义可求出的度数，如图所示，过点作，可求出，由此可求，根据， ，可求出的度数，如图所示，过点作，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，，∴，
如图所示，过点作，∵，∴，
∴，，，
∴，
∵，∴，
∵， ，
∴，如图所示，过点作，
∵，∴，∴，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键．
例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：① ② ③ ④
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】D
【分析】过点E作，点F作，根据平行公理得，根据平行线的性质逐一计算解题即可．
【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，
∴，，∴，故①正确；
如图，过点F作，∵，∴，
∴，，
∴，即，故②不正确；
又∵，∴，
即，故③不正确；
∵，∴，
∵，∴，
，
故④正确；∴正确的为①④，故选D．
【点睛】本题考查平行线的性质，能作辅助线构造平行线转化角是解题的关键．
例7．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）．
【答案】 360 540 720 180n
【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍；
（1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍；（2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍；（3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度．
【详解】过作（如图②）．
∵原四边形是长方形，∴，
又∵，∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∴，
又∵，∴；
（）分别过、分别作的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得；
（）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得；
（）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度．
故答案为：；；；．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
例8．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有，，设镜子与的夹角．
(1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角，探索与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数可用含有的代数式表示．
【答案】(1)，见解析(2)，见解析(3)或
【分析】（1）在中，，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得；
（2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，，在中，，可得与的数量关系；（3）分两种情况画图讨论：当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形内角和定理推出，可得，由，且由（1）的结论可得，．
【详解】（1），理由如下：在中，，，，
，，，
，，，；
（2），理由如下：在中，，，
，，，，
同理可得，，在中，，
；
（3）或．理由如下：当时，如下图所示：
，，
，，
，，
则，则，由内角和得．
当时，如果在边反射后与平行，由（1）可知，与题意不符；
则只能在边反射后与平行，如下图所示，设与的延长线交于点G，
∵，，∴，
∴，∴，
由，且由（1）的结论可得，，则．
综上所述：的度数为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
例9．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）已知直线，点P在直线之间，连接．
(1)如图1，若，直接写出的大小；
(2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由；(3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
【答案】(1)(2)；(3)
【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；（3）过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论.
【详解】（1）解： 过点P作，则，
∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：过点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，同理：，
∵，∴，
∴,
∴；
（3）解：过点P作，则，
∵，∴，即，
∵，∴，∴
过点N作，∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵平分，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加辅助线，理清各个相关角的关系是关键.
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·浙江·七年级期中）如图，，平分，且，垂足为F，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点F作，则，由平行线的性质得到，由角平分线的定义求出，再由垂线的定义求出，则．
【详解】解：如图所示，过点F作，
∵，∴，∴，
∵平分，，∴，
∵，即，∴，
∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．
2．（2023下·吉林松原·七年级校联考期中）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据周角的定义求出的度数即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴，，
∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
3．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知如图：，与的角平分线交于点，则图中与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可求得，从而求得，由对顶角相等得，则有，即可求解．
【详解】如图，
与的角平分线交于点，，，
，，，，
，，
，．故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
4．（2023下·浙江温州·七年级统考期中）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：直线，∴，故选：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，直线，，垂足为，与相交于点，若，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，根据垂线的定义和平行线的性质，推出，，再根据角的和差关系求出即可求解．
【详解】解：过点作，
∵，∴，，
，，，．故选：B．
【点睛】本题主要考查对平行线的性质，平行公理的推论，垂线的定义等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键．
6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，得到，，根据平行线的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：，，
设，，，，
，，
，，，
，，故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和，平角的定义是解题的关键．
7．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点C作，利用平行线的性质得到，进而求出，则．
【详解】解：如图所示，过点C作，∵，∴，
∴，
∵，即，∴，
∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
8．（2023下·重庆七年级课时练习）如图，两直线、平行，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB
观察图形可知，图中有5组同旁内角，
则故选D
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键
9．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，已知，，和的平分线交于点F，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点C作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据，求出，根据角平分线定义得出，，求出，最后根据四边形内角和求出结果即可．
【详解】解：过点C作，如图所示：
∵，∴，∴，，
∴，即，
∵，∴，∴，
∵和的平分线交于点F，∴，，
∴，
∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定义，求出．
10．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果．
【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，
∴，∴，
过点C作，则有，
同理，∵和分别平分和，
∴，∴，，
即，解得：，故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山东菏泽·统考中考真题）如图，，，则的度数是 ．
【答案】
【分析】直接作出，再利用平行线的性质分析得出答案．
【详解】作，∵，∴，
∴，，，
∴，，∴，故答案为．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，正确得出，是解题关键．
12．（2022下·湖北省直辖县级单位·七年级统考期末）如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向，则 ．
【答案】/105度
【分析】过点作，从而可证明，然后由平行线的性质可知，，从而可求得的度数．
【详解】解：过点作．
，，．
，，同理：．
，故答案为：．
【点睛】本题考查的是方向角的定义和平行线的性质的应用，掌握此类问题辅助线的作法是解题的关键．
13．（2023下·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图，直线，，为直角，则 ．
【答案】
【分析】过点作，根据平行线的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：
则，∴，，
∴，故答案为：．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质并运用数学结合思想．
14．（2023下·浙江宁波·七年级校考期中）如图所示，五边形中，，，，分别是，，的补角，若，，则等于 ．
【答案】
【分析】过点E作，根据两直线平行，内错角、同位角相等，可得到，，即．
【详解】解：过点E作，此时为，为，如图所示：
∵，∴，∴，，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，与补角有关的计算，理清思路是解题的关键．
15．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，点O在内部，且平分，射线交于点E，若，，则的度数为 ．
【答案】/87度
【分析】过O作，利用平行线的性质和角平分线的定义求解即可．
【详解】解：过O作，
∵， ∴，
∴，，，
∵，∴，
∵平分，∴，则，
∵，∴，
∴，故答案为：.
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，添加平行线，利用平行线的性质求解是解答的关键．
16．（2023·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，，则 ．
【答案】
【分析】根据，，，找出规律，得出．
【详解】解：当与之间有2个角时，如图所示：
∵，∴；
当与之间有3个角时，过点E作，
∵，∴，∴，，
∴，即，
同理可得：当与之间有4个角时，，
∴当与之间有n个角时，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形规律探索，平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是根据已知图形找出规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
17．（2023下·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图已知：，，平分，，有下列结论：①；②③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①③④
【分析】根据平行公理判断①；延长、交于点G，根据，，得出，根据，，得出，即可得出，判断②；根据平行线的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出，根据，得出，判断③；
根据平行线的性质得出，根据角平分线的性质得出，即可得出，根据，得出，即可判断④．
【详解】解：，，，故①正确；
延长、交于点G，如图所示：
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∴，即，故②错误；
平分，，，，∴，
∵，∴，故③正确；
∵，∴，∵平分，∴，∴，
∵，∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①③④．故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
18．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）七（2）班同学以“三角尺和平行线”为背景开展数学探究活动．如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线上，点B在直线，之间，
（1）当时， °．（2）如图2，在线段上取一点D，过点D作直线，若射线平分，且满足，则 °．
【答案】 55 40
【分析】（1）易得，根据平行线的性质求得，则；
（2）设，则，由角平分线的定义可得，由平行线的性质得，于是求得，在三角形中，利用三角形内角和定求解即可．
【详解】解：（1）由题意可知，，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴；故答案为：55；
（2）设，则，
∵射线平分，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
解得：，∴．故答案为：40．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023下·福建厦门·七年级校考期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角．(1)若，求的4系补周角的度数．(2)如图，，点是平面内一点，连接，，，若是的3系补周角，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解即可；（2）过E作，得，又由是的3系补周角得到，则，求得即可
【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得，，解得，，
答：的4系补周角的度数为，
（2）解：过E作，如图，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，即，∴，
∵是的3系补周角，∴，∴，∴；
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
20．（2022下·北京·七年级北师大实验中学校考期末）阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图，，E为，之间一点，连接，，得到，求证：．
彤彤是这样做的：
过点E作，则有．
∵，∴．∴
∴．即．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：
已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点E．
(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若，，求的度数；
(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设，，直接写出的度数（用含有x，y的式子表示）．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）过点E作，当点B在点A的左侧时，根据，，参照彤彤思考问题的方法即可求的度数；（2）过点E作，当点B在点A的右侧时，，参照彤彤思考问题的方法即可求的度数．
【详解】（1）如图1，过点作，
，
平分，平分，，，
， ；
（2） 过点E作，如图2，
则，∴，
∵，∴，∴，
∴，即，
∵平分，平分，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
21．（2023下·浙江·七年级专题练习）（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．
【答案】（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，理由见解析；（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7，一般情况：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．
【分析】（1）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；
（2）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行线的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．
【详解】解：（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，
∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；
（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．
理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，
∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．
结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．
【点睛】此题考查平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图1，已知点分别是直线上的点，点在与之间，且．(1)若，则 ．
(2)如图2，在图1的基础上，作射线交于点，使，设，猜想的度数（用表示），并说明理由．
(3)如图3，在图1的基础上，分别作射线交于点，作射线交于点，若，请直接写出与间的数量关系．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)
【分析】（1）过点作，利用平行线的性质，把转化为，从而求得度数；
（2）过点作，过点作，利用平行线的性质，把转化为，把转化为，得出，从而用表示出的度数；
（3）利用（2）的结论，同时利用两直线平行，同旁内角互补得出，进而找到与间的数量关系．
【详解】（1）解：过点作，如图所示，
，，，
，故答案为：；
（2）解：，理由如下：
过点作，由（1）知，，
过点作，，，
，，
，，
，，；
（3）解：，理由如下：
由（2）的结论可知，，，，
，
，，
，，即．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，采用分类讨论的思想解题，作平行线将角转化是解题的关键．
23．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知直线，点为直线，间的动点，和的角平分线相交于点．
(1)如图1，当，，求的度数；
(2)如图1，当时，直接写出的度数；（用含的代数式表示）
(3)如图2，点在直线，间运动到某一处，此时恰好，，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）如图所示，过点F作，则，由平行线的性质得到，由平角的定义求出，，再根据角平分线的定义求出，由此求出的度数即可求出的度数；（2）如图所示，过点C作，则，由平行线的性质得到，进而得到，再仿照（1）求出，则；（3）根据平行线的性质推出，再由（2）的结论得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点F作，
∵，，∴．∴，
∵，，∴，，
∵和的角平分线相交于点，∴，
∴，∴；
（2）解：如图所示，过点C作，
∵，，∴，∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，
∴，∴；
（3）解：∵，，∴，
∴，由（2）可得，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知角平分线的性质，添加平行线探究角的关系是解题的关键．
24．（2023下·浙江·七年级期中）如图所示的格线彼此平行，在格线中作，记与格线形成的锐角为（位于格线上方），记与格线形成的锐角为（位于格线下方）．
(1)①如图1，若点在一条格线上，当时，________；②如图2，分别作与的邻补角的角平分线，两线交于点（在内部），求的度数；(2)在图3中，当时，作射线，使得．与格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
【答案】(1)①；②(2)
【分析】（1）①根据平行线的性质进行分析即可得到答案；②根据邻补角和角平分线的性质，得到，，过点P作平行于格线，再根据平行线的性质，得到，，即可求出的度数；（2）过点O作平行于格线，根据平行线的性质，得到，进而得到 ，再根据，即可得到答案．
【详解】（1）解：①如图，过点O为顶点在点O所在的格线上作线段，
由题意可知，，，
，，，，故答案为：；
②由题意可知，，，
过点P作平行于格线，，，
；
（2）解：过点O作平行于格线，，
，，，
，，
与格线形成的锐角为，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质，找准角度之间的数量关系是解题关键．
25．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．（1）试问：，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________．
（2）如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①若，则的度数为______；
②猜想与的数量关系，并说明理由；
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【答案】（1）；（2）①130°；②，见解析；③∠EPF+22023∠EQ2023F＝360°
【分析】（1）过点P作PHAB，利用平行线的性质即可求解；
（2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解．
【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PMAB，则PMCD，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，
∵∠EPF＝100°，∴∠PEA+∠PFC＝100°，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，
∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，故答案为：130°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°，
∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，
∴∠EPF +2∠EQF＝360°；
③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD，∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1，
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°，
∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°，
∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°；
同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，……∴∠EPF+22023∠EQ2023F＝360°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键．
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专题1-6 平行线的基本模型-猪脚（锯齿）模型与铅笔头模型
模块1：模型简介
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
基本解法与思路：见拐点作平行线； 和差拆分与等角转化。
模块2：核心模型点与典例
模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
【模型证明】
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·山东·统考中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．
例3．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．与没有数量关系
例4．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，，，，则 度．
例5．（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）如图，已知，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是 ．
例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
例7．（2023下·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，已知，，写出x，y，z的关系式 ．
例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
例9．（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）已知．
(1)如图，为，之间一点，连接，，得到，求证：；
(2)如图，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点．
①如图，当点在点A的左侧时，若，，求的度数．②如图，当点在点A的右侧时，设，，请你求出的度数．（用含有，的式子表示）
模型2：铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2023下·北京顺义·七年级统考期末）如图，，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
例 2．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为 ．
例3．（2023下·辽宁鞍山·七年级统考期末）如图，已知，下列结论正确的是（ ）
A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF
C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°
例4．（2023下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．
例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：① ② ③ ④
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
例7．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）．
例8．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有，，设镜子与的夹角．
(1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角，探索与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数可用含有的代数式表示．
例9．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）已知直线，点P在直线之间，连接．
(1)如图1，若，直接写出的大小；
(2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由；(3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·浙江·七年级期中）如图，，平分，且，垂足为F，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·吉林松原·七年级校联考期中）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知如图：，与的角平分线交于点，则图中与的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·浙江温州·七年级统考期中）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，直线，，垂足为，与相交于点，若，则（ ）.
A． B． C． D．
6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·重庆七年级课时练习）如图，两直线、平行，则（ ）．
A． B． C． D．
9．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，已知，，和的平分线交于点F，的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山东菏泽·统考中考真题）如图，，，则的度数是 ．
12．（2022下·湖北省直辖县级单位·七年级统考期末）如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向，则 ．
13．（2023下·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图，直线，，为直角，则 ．
14．（2023下·浙江宁波·七年级校考期中）如图所示，五边形中，，，，分别是，，的补角，若，，则等于 ．
15．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，点O在内部，且平分，射线交于点E，若，，则的度数为 ．
16．（2023·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，，则 ．
17．（2023下·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图已知：，，平分，，有下列结论：①；②③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号）
18．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）七（2）班同学以“三角尺和平行线”为背景开展数学探究活动．如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线上，点B在直线，之间，
（1）当时， °．（2）如图2，在线段上取一点D，过点D作直线，若射线平分，且满足，则 °．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023下·福建厦门·七年级校考期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角．(1)若，求的4系补周角的度数．(2)如图，，点是平面内一点，连接，，，若是的3系补周角，求的度数．
20．（2022下·北京·七年级北师大实验中学校考期末）阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图，，E为，之间一点，连接，，得到，求证：．
彤彤是这样做的：
过点E作，则有．
∵，∴．∴
∴．即．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：
已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点E．
(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若，，求的度数；
(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设，，直接写出的度数（用含有x，y的式子表示）．
21．（2023下·浙江·七年级专题练习）（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．
22．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图1，已知点分别是直线上的点，点在与之间，且．(1)若，则 ．
(2)如图2，在图1的基础上，作射线交于点，使，设，猜想的度数（用表示），并说明理由．
(3)如图3，在图1的基础上，分别作射线交于点，作射线交于点，若，请直接写出与间的数量关系．
23．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知直线，点为直线，间的动点，和的角平分线相交于点．
(1)如图1，当，，求的度数；
(2)如图1，当时，直接写出的度数；（用含的代数式表示）
(3)如图2，点在直线，间运动到某一处，此时恰好，，求的度数．
24．（2023下·浙江·七年级期中）如图所示的格线彼此平行，在格线中作，记与格线形成的锐角为（位于格线上方），记与格线形成的锐角为（位于格线下方）．
(1)①如图1，若点在一条格线上，当时，________；②如图2，分别作与的邻补角的角平分线，两线交于点（在内部），求的度数；(2)在图3中，当时，作射线，使得．与格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
25．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．（1）试问：，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________．
（2）如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①若，则的度数为______；
②猜想与的数量关系，并说明理由；
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
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