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专题1-8 平行线的基本模型-蛇形模型与蜗牛模型
模块1：模型简介
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法与思路：见拐点作平行线；和差拆分与等角转化。
模块2：核心模型点与典例
模型1：蛇形模型（“5”字模型）
【模型解读】如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】D
【分析】过点C作，根据平行线的性质即可求出的度数．
【详解】解：过点C作，∴，
∵∴；
∵，∴；
由题意，∴，∴．故选：D
【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若，，，则的度数是（）
A．115° B．130° C．140° D．150°
【答案】C
【分析】利用平行线的传递性作出辅助线，再通过平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：过作的平行线，如图所示；
，∴
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据传递性做出辅助线是解决问题的关键．
例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作，则，根据平行线的性质分别求出和，则．
【详解】解：如图，作，则，
，，，，
，
故选D．
【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质可知，．再由角平分线的定义即可求解．
【详解】∵，∴．∵平分，∴．
∵，∴，∴．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键．
例5．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图于点D，将绕点A逆时针旋转，使，则的最小值为 ．
【答案】/25度
【分析】过点C作，过点A作，利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点C作，则，
∴．过点A作，则．
∴，故的最小值为．故答案为：
【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题关键．
例6．（2023下·重庆江津·七年级校联考期中）已知直线，为平面内一点，连接、．
(1)如图，已知，，求的度数；(2)如图，判断、、之间的数量关系为 ．(3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数；
（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出；
（3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数．
【详解】（1）解：如图1，过点作，
，，，，，
，，；
（2）如图2，过点作，则，，，
，，
，故答案为：；
（3）如图3，设交于点，，，
，∴，，
，，平分，，
，
由（2）得：，，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质及垂线的意义，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
例7．（2023下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，．
第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：
(1)如图①，若，求；
(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示）
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据解题得出，进而根据，即可求解；（2）过点分别作的平行线，根据平行线的性质得出设，进而根据平行线的性质得出，，即可得出结论；（3）根据（2）的结论可得，，根据已知，，可得，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵， ∴，
∵，∴解得：，∵．∴；
（2）解：如图所示，过点分别作的平行线，
∴，∴，设，
又∵，∴，，
∴，，∴，；
（3）∵，，，
即，∴，
由（2）可得，∵，，
∴，即，
∴，∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
模型2：蜗牛模型
【模型解读】如图，AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠D=180°.
【模型证明】在图中，过C作AB的平行线CF，∴∠B＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D=180°，∵∠FCD=∠DCB+∠FCB，∴∠B+∠C+∠D=180°.
例1．（2023下·宁夏中卫·七年级校考期末）如图所示，，那么 °．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得到，再由三角形外角性质即可得到答案．
【详解】解：，，
是的一个外角，，，故答案为：．
【点睛】本题考查求角度问题，涉及平行线的性质、三角形外角性质等知识，数形结合，准确找到各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
例2．（2023·辽宁铁岭·七年级校考期中）如图，若，，，则 ．
【答案】
【分析】如图，先据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．
【详解】解：如图所示，设交于点，，，
，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
例3．（2023下·陕西西安·七年级校考期末）如图，点B在的边的延长线上，，若，，则的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．50°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得到，再利用三角形的外角进行求解即可．
【详解】解：∵，，∴，∴；故选C
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
例4．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用等量代换即可解答．
【详解】解：如图：
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
例5．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形外角性质求出，根据平行线的性质得出即可．
【详解】，，，，
，，故答案为：B．
【点睛】本题考查了三角形外角性质和平行线的性质，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·贵州黔南·七年级统考期中）如图，如果，那么角α，β，γ之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作，再根据平行线的性质得出，，求解即可．
【详解】过点E作，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
2．（2023下·河北廊坊·七年级校考期中）如图是某次行车路线，共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次转过的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点F．由平行线的性质可知，从而可求出，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点F．
由题意可知，∴，∴，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
3．（2023下·山西晋中·七年级统考期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】解：过点作，
∵，∴，，，
又，，，，．故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，添加合适的辅助线是解题的关键．
4．（2023·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，则，根据平行线的性质可得到，，即可求得．
【详解】如图，过点作，
∵，，∴．∴，．
∵，∴．∴．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．
5．（2023下·北京昌平·七年级校考期末）如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 ( )
A．30° B．150° C．100° D．120°
【答案】C
【分析】过C作CQAB，得出ABDECQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项．
【详解】解：过C作CQAB，
∵ABDE，∴ABDECQ，∵∠A=30°，∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，
∵∠ACE=110°，∴∠ECQ=110°-30°=80°，∴∠E=180°-80°=100°，故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
6．（2023下·安徽黄山·七年级统考期末）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】C
【分析】过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：过C作，
∵，∴，∴，，
∵，∴
∴．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．
7．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出的度数，由，再利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出的度数．
【详解】解：，，
又，，．故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质定理．
8．（2023下·重庆南岸·七年级统考期末）如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．
【详解】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,
∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,∵ABEF,∴ABEFCGDH,
∵CGAB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,∴∠CDH=∠GCD=β-α,∵HDEF,∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．
9．（2022下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，若，则、、之间关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案．
【详解】解：如图，作，
∵，∴，∴，，
又∵，∴，即．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
10．（2023·广东深圳·学校联考二模）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果．
【详解】解：延长交直线于点，
，，
根据题意得，，故选：A．
【点睛】题目主要考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·上海松江·七年级校考期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的是，第二次拐弯处的角是，第三次拐弯处的是，这时道路恰好是和第一次拐弯之前的道路平行，则 ．
【答案】/97度
【分析】过B作，由推出，再根据平行线的性质可求出和，进而求出．
【详解】解：如图，过B作，
∵，∴，∴，
∵，∴，则．故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和角的计算．
12．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．
【答案】/30度
【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论．
【详解】解：过点作．，．．
，．，．
．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键．
13．（2023下·广东梅州·七年级统考期末）某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为 °．
【答案】100
【分析】为了保持水管与方向一致，则，依据平行线的性质，即可得到的度数，再根据平行线的性质，即可得到的度数．
【详解】解：如图所示，
为了保持水管与方向一致，则，由题可得，，
∵，∴，∴，
∴，
又∵，∴，故答案为：100．
【点睛】此题主要考查了方向角以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
14．（2023下·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，，平分，，．则的度数是 ．
【答案】/35度
【分析】由平行线的性质可得出，，从而可求出，再由角平分线的定义可得出，即得出．
【详解】解：∵，∴．
∵，∴．
∵平分，∴．
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键．
15．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】过点作，，根据平行线的性质，可得，，，继而可得．
【详解】解：如图，过点作，过作
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．
16．（2023下·天津东丽·七年级统考期末）如图，，，则的度数是 ．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得，，即可得．
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
17．（2023下·北京石景山·七年级统考期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．
【答案】
【分析】过点C作，由平行线的性质求得，由，得到，进一步得到，即可得到的度数．
【详解】解：过点C作，如图，∴，
∵，∴，
∵，∴，∵于点B，∴，
∴，∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的性质、垂直定义等知识，作是解题的关键．
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，且，则 ．
【答案】12
【分析】延长交于点，令与相交于点，由平行线的性质和角平分线的定义，得出，，再利用三角形外角的性质，推出，进而得到，然后利用，即可求出的度数．
【详解】解：如图，延长交于点，令与相交于点，，，
平分，平分，
，，，
是的外角，是的外角，
，，
，，
，，，故答案为：12
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角的性质等知识，找出角度之间的数量关系是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·湖南永州·七年级期中）如图所示，已知，，，求的大小．
【答案】
【分析】过点作，由可得，由此得出的度数，由可得，再结合即可得出结论．
【详解】解：如图，过点E作，则（两直线平行，同旁内角互补）
∴，
又，∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质以及角的计算，解题的关键是得出和的度数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角，再根据角与角之间的关键即可得出结论．
20．（2023下·四川广安·七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．
【答案】见解析
【分析】方法一：延长交于点，则，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可得到答案；
方法二：过点作，则，由平行线的性质可得，，，进行计算即可得到答案．
【详解】解：方法一：如图1，延长交于点，
， ，
∴，∵，∴，
∴，∴；
方法二：如图2，过点作，
∵，∴，∴，，
∴，，
∴，即．（任选一种方法说明即可）
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等，是解题的关键．
21．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（2023·浙江·七年级专题练习）已知，，点C是直线，下方一点，连接，．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示）(3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示）
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)．
【分析】本题考查平行线的性质，四边形内角和，角平分线相关计算，熟练掌握四边形内角和等于解题关键是．（1）过点B作交CD于点F，根据证明，再利用，且，即可证明；
（2）利用角平分线以及四边形内角和等于可得：，整理可得：，再结合（1）结论可得，进一步可求出；
（3）设，，则，，由四边形内角和等于可得：，即，由（1）结论可得：，即可求出．
【详解】（1）证明：过点B作交CD于点F，
∵，∴，
∵，且，
∴，即．
（2）解：∵，分别平分和，，，
，，
，∴，
整理可得：，由（1）可得：，
∴，即，∵，∴．
（3）解：∵，，
设，，则且，，
由四边形内角和等于可得：，
即，，
由（1）可得：，
∴，即，
∴，整理得：．故答案为：
23．（2023下·四川德阳·七年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）已知直线，P为平面内一点，连接、．
(1)如图1，已知，，求的度数；(2)如图2，判断、、之间的数量关系，请写出证明过程．(3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数；
（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出；
（3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数．
【详解】（1）解：如图1，过点作，
，，，，，
，，；
（2）关系：
证明：如图2，过点作，则，
，，
，，
，故答案为：；
（3）如图3，交于点，
，，，，
，，，，
平分，，，
由（2）得：，，
．
【点睛】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
24．（2023下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知．
【初步感知】如图，若，求的度数；
【拓展延伸】如图，点E，F在两平行线之间，求证：；
【类比探究】如图，，若，求的度数．
【答案】初步感知：；拓展延伸：见解析；类比探究：
【分析】（1）【初步感知】由平行线的性质及已知即可求得结果；
（2）【拓展延伸】过点E作，过点F作．由平行线的性质即可证得；
（3）【类比探究】利用【拓展延伸】中得到的结论，结合已知即可求得．
【详解】解：【初步感知】∵，∴．
∵，∴，∴；
【拓展延伸】证明：如图，过点E作，过点F作．
∵，∴，∴，
，，∴；
【类比探究】由【拓展延伸】中的结论，得，
∴．
∵，，∴．
同理可得，即，
∴，∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的运算，掌握平行线的性质是解题的关键．
25．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，．
(1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知．①如图2．若，求的度数；
②如图3．若和的平分线交于点G，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析；(2)①；②；
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，即可求解；
（2）①分别过点作，利用平行线的性质求解即可；分别过点作，过点作，利用平行线的性质以及角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：过点作，如下图：
则∴，
又∵，∴；
（2）解：①分别过点作，如下图：
则，∴，，
又∵，
∴∴；
②分别过点作，过点作，如下图：
则，∴，，
∴，由①可得：；
∵和的平分线交于点G，∴，
∴
由题意可得：；
∴；
【点睛】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的有关性质．
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专题1-8 平行线的基本模型-蛇形模型与蜗牛模型
模块1：模型简介
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法与思路：见拐点作平行线；和差拆分与等角转化。
模块2：核心模型点与典例
模型1：蛇形模型（“5”字模型）
【模型解读】如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若，，，则的度数是（）
A．115° B．130° C．140° D．150°
例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图于点D，将绕点A逆时针旋转，使，则的最小值为 ．
例6．（2023下·重庆江津·七年级校联考期中）已知直线，为平面内一点，连接、．
(1)如图，已知，，求的度数；(2)如图，判断、、之间的数量关系为 ．(3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数．
例7．（2023下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，．
第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：
(1)如图①，若，求；
(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示）
模型2：蜗牛模型
【模型解读】如图，AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠D=180°.
【模型证明】在图中，过C作AB的平行线CF，∴∠B＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D=180°，∵∠FCD=∠DCB+∠FCB，∴∠B+∠C+∠D=180°.
例1．（2023下·宁夏中卫·七年级校考期末）如图所示，，那么 °．
例2．（2023·辽宁铁岭·七年级校考期中）如图，若，，，则 ．
例3．（2023下·陕西西安·七年级校考期末）如图，点B在的边的延长线上，，若，，则的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．50°
例4．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数是( )
A． B． C． D．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·贵州黔南·七年级统考期中）如图，如果，那么角α，β，γ之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·河北廊坊·七年级校考期中）如图是某次行车路线，共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次转过的角度是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·山西晋中·七年级统考期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·北京昌平·七年级校考期末）如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 ( )
A．30° B．150° C．100° D．120°
6．（2023下·安徽黄山·七年级统考期末）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C．7 D．
7．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·重庆南岸·七年级统考期末）如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，若，则、、之间关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·广东深圳·学校联考二模）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·上海松江·七年级校考期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的是，第二次拐弯处的角是，第三次拐弯处的是，这时道路恰好是和第一次拐弯之前的道路平行，则 ．
12．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．
13．（2023下·广东梅州·七年级统考期末）某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为 °．
14．（2023下·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，，平分，，．则的度数是 ．
15．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．
16．（2023下·天津东丽·七年级统考期末）如图，，，则的度数是 ．
17．（2023下·北京石景山·七年级统考期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，且，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·湖南永州·七年级期中）如图所示，已知，，，求的大小．
20．（2023下·四川广安·七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．
21．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
22．（2023·浙江·七年级专题练习）已知，，点C是直线，下方一点，连接，．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示）(3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示）
23．（2023下·四川德阳·七年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）已知直线，P为平面内一点，连接、．
(1)如图1，已知，，求的度数；(2)如图2，判断、、之间的数量关系，请写出证明过程．(3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数．
24．（2023下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知．
【初步感知】如图，若，求的度数；
【拓展延伸】如图，点E，F在两平行线之间，求证：；
【类比探究】如图，，若，求的度数．
25．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，．
(1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知．①如图2．若，求的度数；
②如图3．若和的平分线交于点G，请直接写出与的数量关系．
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