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专题1-9 平行线 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江·杭州七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等 B．一条直线有无数条平行线
C．在同一平面内，两条不相交的线段是平行线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【分析】根据同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理逐个判断即可．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、一条直线有无数条平行线，原说法正确，故此选项符合题意；
C、在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理，掌握同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理是解题的关键．
2．（2023·广西贵港·七年级期末）在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，已知与的距离为，与的距离为，则与的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分①直线在直线、的之间和②直线在直线、的之间两种情况，根据平行线间的距离求解即可得．
【详解】解：①如图，当直线在直线、的中间时，
与的距离为，与的距离为，与的距离为；
②如图，当直线在直线、的中间时，
与的距离为，与的距离为，与的距离为；
综上，与的距离为或，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线间的距离，正确分两种情况讨论是解题关键．
3．（2023·江西·七年级期末）如图，直线，被所截得的同旁内角为，，要使，只要使（ ）
A． B． C． D．，
【答案】C
【分析】由同旁内角互补两直线平行即可判定出，变形后即可得到正确的选项．
【详解】解：当，即时，，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
4．（2023·河北·邯郸市七年级期中）如图，若，，α，β是两个角的度数，则下列说法正确的是（ ）
A．α，β之和为定值 B．α，β之积为定值 C．β随α增大而减小 D．β随α增大而增大
【答案】D
【分析】过C点作CFAB，利用平行线的性质得出∠α-∠β=90°即可求解．
【详解】解：过C点作CFAB，
∵ABDE，∴CFDE，∵∠ABC=180°-∠α，∴180°-∠α=∠BCF，∠β=∠DCF，
∵BC⊥CD，∴∠BCF+∠DCF=90°，∴180°-∠α+∠β=90°，
∴∠α=90°+∠β，∴β随α增大而增大．故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（2023·广东·深圳市七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，，
又，，．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
6．（2023·河南沁阳·初一期末）已知，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，若∠E=66°，则∠F为（ ）
A．23° B．33° C．44° D．46°
【答案】C
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得，同样的方法可得，再根据角的倍分可得，由此即可得出答案．
【解析】如图，过点E作，则，，
，同理可得：，
，，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
7．（2023·广西贵港·七年级期末）如图，平面内直线，点，，分别在直线，，上，平分，并且满足，则，，关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，代入即可得出答案．
【详解】解：如图，，①，，
，
平分，，
代入①得：，，故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
8．（2023·重庆·七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
【答案】A
【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α+∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行．
【详解】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，
当α＝15°时，∠OMN＝α+∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A正确；
当OC⊥AB时，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B错误；
当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，
则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况，故C错误；
整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，
根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行，故D错误；故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9．（2023·湖北武汉·七年级期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，
∴，故①正确；∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵，∴，
∵∠CKG＝∠CGK，∴，∴，
又∵，∴，∴，
要使，就要使且，∴就要GD=GC，
但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC，∴故③错误；
设∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④错误，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．
10．（2023·广西·南宁三中七年级期中）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答．
【详解】解：分别过、作，，
∵，∴，∴，，
∴，即，①正确；
∵，，∴，
∵，∴，，
∴，②正确，
与上同理，，
∴，
∴，③正确，由题意，④不一定正确，∴①②③正确，故选：C．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·河南郑州·七年级期末）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，请说明其中的道理______．
【答案】内错角相等，两直线平行（答案不唯一）
【分析】由题意可得，，利用内错角相等，两直线平行可得，从而得解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∵与是内错角，故（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是对平行线的判定条件的掌握与灵活运用．
12．（2023·广东·东莞市中堂中学七年级期中）如图，已知，，则__．
【答案】
【分析】根据平行线判定：同位角相等两直线平行，得到，再根据平行线性质：两直线平行同位角相等，得到，从而得到答案．
【详解】解：如图所示：
，，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，数形结合，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键．
13．（2023·湖南永州·七年级期中）下列三种说法：
①相等的角是对顶角．②若线段AB与线段CD没有交点，则ABCD．
③若a、b、c都是直线，且ab，bc，则a与c不相交．正确的是 _____．
【答案】③
【分析】根据两点间的距离、对顶角、线段和平行线的知识，对选项一一分析，即可求解．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故①说法错误；
②在同一平面内，若直线AB与CD没有交点，则ABCD，故②说法错误；
③若直线ab，bc，则ac，a与c不相交，符合平行公理，故③正确．故答案为：③．
【点睛】本题考查了两点间的距离、对顶角、线段和平行线的知识，掌握以上知识是解题的关键．
14．（2023·辽宁丹东·七年级期末）如图，，与互补，当，时，的度数为______．
【答案】16°#16度
【分析】已知∠ABD＝∠EFD，据平行线的判定可得AB∥EF；已知∠FEC与∠ECD互补，根据平行线的判定可得EF∥CD，进而可得AB∥CD，最后根据∠FEC＝150°，∠ABC＝46°可得∠BCE的度数．
【详解】解：∵∠ABD＝∠EFD，∴AB∥EF，∵∠FEC与∠ECD互补，∠FEC＝150°，∴EF∥CD，
∴∠ECD＝180° 150°＝30°，AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC，
∵∠ABC＝46°，∴∠BCD＝46°，∴∠BCE＝∠BCD ∠ECD＝46° 30°＝16°．故答案为：16°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并能熟练运用．
15．（2023·黑龙江·哈尔滨七年级期中）一条公路两次转弯后，和原来的方向平行．如果第一次的拐角是36°，那么第二次的拐角为______．
【答案】或
【分析】分两种情况，当两次转弯后，公路的方向是相反时，当两次转弯后，公路的方向相同时，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，所示，当两次转弯后，公路的方向是相反时，
∵，∴，∴第二次的拐角为；
如图所示，当两次转弯后，公路的方向相同时，
∵，∴，∴第二次的拐角为；
综上所述，第二次的拐角为或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确根据题意画出图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16．（2023·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为__________________ .
【答案】
【分析】过点C作，则，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而∠1与∠2的数量关系即可求解.
【详解】解：过点C作，如图：则，
∴，，
∵，∴，
∴，∴.故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，利用平行线的性质得出角之间的关系.
17．（2023·山东威海·八年级期中）如图，将沿边对折，使点C落在点D处，延长到E，使，连接交于F，连接，则下列结论中：①若的周长为12，，则四边形ABDE的周长为17；②；③；④，正确的有_____________．
【答案】①②③④
【分析】①由题知AE＝AC，BD＝BC，可得结论正确；
②由三角形外角知∠CAB+∠DAB＝∠ADE+∠AED，又知∠CAB＝∠DAB，∠ADE＝∠AED，即可得∠CAB＝∠DAB＝∠ADE＝∠AED，即可得证结论；
③由对称知CD⊥AB，由AB∥DE可得结论；
④由③知S△ADE＝DF DE，S△ADF＝DF AF，证AF是中位线可得AF＝DE，即可得证结论．
【详解】解：①由图形翻折可知，AD＝AC，BD＝BC，
∵AE＝AD，∴AE＝AC，∴C四边形ABDE＝C△ABC+DE，
∵C△ABC＝12，DE＝5，∴C四边形ABDE＝17，∴①正确；
②由图形翻折知，∠CAB＝∠DAB，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠CAB+∠DAB＝∠ADE+∠AED，∴∠CAB＝∠DAB＝∠ADE＝∠AED，∴ABDE，∴②正确；
③由②知，ABDE，由图形翻折知，CD⊥AB，∴∠CFA＝∠CDE＝90°，∴③正确；
④由③知，∠CFA＝∠CDE＝90°，∴S△ADE＝DF DE，S△ADF＝DF AF，
∵A是EC的中点，ABDE，∴AF是△CDE的中位线，∴AF＝DE，
∴S△ADE＝2S△ADF，∴④正确，故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查图形的翻折，三角形面积，平行线的判定和性质等知识点，证明ABDE是解题的关键．
18．（2023·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习）如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______．
【答案】①②③④
【分析】①由题意得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；②由题意得，利用邻补角即可求出的度数；③过点作，可得，从而得到，可求得，再利用平行线的性质即可求出；④利用角的计算可求出，从而可判断．
【详解】解：①，，故①正确；
②，，故②正确；
③过点作，如图，
，，，，
，；故③正确；
④，，，
，故④正确．故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·河北石家庄·七年级期中）在如图所示的网格图每个小网格都是边长为个单位长度的小正方形中，，分别是的边，上的两点．
(1)将线段向右平移，使点与点重合，画出线段平移后的线段，连接，并写出相等的线段；(2)在（1）的条件下，直接写出与相等的角；
(3)请在射线上找出一点，使点与点的距离最短，并写出依据．
【答案】(1)图见解析，相等的线段有：
(2)
(3)图见解析，点即为所求．依据是：垂线段最短
【分析】（1）根据要求画出图形，然后根据平移的性质找到相等的线段即可；
（2）利用平移和平行线的性质求解即可；（3）根据垂线段最短解决问题即可．
（1）解：如图所示，线段，线段即为所求；由平移的性质可知：
（2）解：由平移的性质可知，
∴，
∴，即，
∴与∠BOC相等的角有；
（3）解：如图所示，点D即为所求，依据是：垂线段最短．
【点睛】本题考查作图—平移作图，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
20．（2023·广西贵港·七年级期末）如图，直线，与，分别相交于点，，且，交直线于点．
(1)若，求的度数；(2)若，，，求直线与的距离．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据平角的定义即可得；（2）过点作于点，利用三角形的面积公式即可得．
（1）解：，，，
，，．
（2）解：如图，过点作于点，
，，，，
，即，
解得，即直线与的距离为．
【点睛】本题考查平行线的性质、平行线间的距离，三角形面积公式，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
21．（2023·河南·七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析 (2)CDOE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．
（1）证明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．
【点睛】本题考查角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
22．（2023·河南襄城·七年级月考）（1）学行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
【答案】（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
（2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论．
【详解】（1）解：①如图2所示：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．故答案为垂；
（2）证明：平分，平分（已知），，（角平分线的定义），
（已知），（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），（等式性质），
（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．
23．（2023·陕西·潼关县七年级期中）如图，已知点B、C在线段的异侧，连接，点E、F分别是线段上的点，连接，分别与交于点G，H，且，．
(1)求证：；(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）只需要证明即可证明；（2）先证明得到则，再由即可证明；（3）根据平行线的性质得到，，再结合已知条件求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，∴；
（2）证明：∵，
∴，∴，∴，
又∵，∴；
（3）解：由（2）得，∴，，
又∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
24．（2023·湖北十堰·七年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，∠CDE的平分线交直线AC于点F．
(1)如图①，当点D在边BC上时，判断DF与AM的位置关系，并说明理由；
(2)①如图②，当点D在边BC延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；
②如图③，当点D在边CB延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；
(3)请就（2）中①或②中的一种情况，给出证明．
【答案】(1)DF//AM，理由见解析(2)①DF⊥AM；②DF⊥AM．(3)选①证明见解析；选②证明见解析．
【分析】（1）先判断出∠BAC +∠CDE = 180°，可得∠C AM + ∠CDF= 90°，进而判断出
∠CDF=∠CMA即可得出结论；（2）①，先判断出∠BAC =∠CDE，可得∠CAM =∠CDF,进而判断出∠CDF + ∠AMC= 90°,即可得出结论解答;选②，先判断出∠BAC= ∠CDE，可得∠CAM=∠CDF，进而判断出∠CAM + ∠F = 90°,即可得解答；（3）（2）中任选一个进行证明即可．
（1）解：（1）DF//AM．理由如下：
∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠CDE=360°﹣90°×2=180°，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，
∴∠CAM=∠BAC，∠CDF=∠CDE，
∴∠CAM+∠CDF=（∠BAC+∠CDE）=90°，
又∵∠CAM+∠CMA=90°，∴∠CDF=∠CMA，∴BD//MF．
（2）①∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠CDF，
∵∠CAM+∠AMC=90°，∴∠CDF+∠AMC=90°，∴DF⊥AM．故答案为DF⊥AM．
②∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE， ∴∠CAM=∠CDF，
∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CAM+∠F=90°，∴DF⊥AM．故答案为DF⊥AM．
（3）解：选②证明． 证明如下：
∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE， ∴∠CAM=∠CDF，
∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CAM+∠F=90°，∴DF⊥AM．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、同角的余角线段、平行线的判定、垂直的判定等知识点，说明∠C AM =∠CDF是解答本题的关键．
25．（2023·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；
(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【答案】(1)ABCD，理由见解析(2)65或115
(3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．
【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论；（2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果；（3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值．
（1）解： ABCD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，
∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），
∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；
（2）解：∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°，
∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=25°，∴∠COM=25°+40°=65°，∠CON=25°+90°=115°，
∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为65°或115°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，
故答案为：65或115；
（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，
若ABCD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时ABCD；
②当20s＜t≤40s时，如下图，有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；
③当40s＜t≤80s时，如下图，有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；
④当80s＜t≤120s时，如下图，若ABCD，则∠BAC=∠DCF，即3t-240=t-40，解得t=100，
∴当t=100s时，ABCD；
综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．
26．（2023·广东·龙岭初级中学七年级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现，
(1)在图②所示的图形中，若，，则___________
(2)在图⑧中，若，，则_________；(3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到由此即可得到答案；
（2）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到，在求出的度数即可得到答案；
（3）如图所示，过点P作，由平行线的性质得到，再由即可得到结论．
（1）解：如图所示，过点P作，
∵，∴，∴，
∴，故答案为：；
（2）解：如图所示，过点P作，
∵，∴，
∴，
∵，∴
∴，故答案为：；
（3）解：，理由如下：如图所示，过点P作，
∵，∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
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专题1-9 平行线 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江·杭州七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等 B．一条直线有无数条平行线
C．在同一平面内，两条不相交的线段是平行线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．（2023·广西贵港·七年级期末）在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，已知与的距离为，与的距离为，则与的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2023·江西·七年级期末）如图，直线，被所截得的同旁内角为，，要使，只要使（ ）
A． B． C． D．，
4．（2023·河北·邯郸市七年级期中）如图，若，，α，β是两个角的度数，则下列说法正确的是（ ）
A．α，β之和为定值 B．α，β之积为定值 C．β随α增大而减小 D．β随α增大而增大
5．（2023·广东·深圳市七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河南沁阳·初一期末）已知，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，若∠E=66°，则∠F为（ ）
A．23° B．33° C．44° D．46°
7．（2023·广西贵港·七年级期末）如图，平面内直线，点，，分别在直线，，上，平分，并且满足，则，，关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·重庆·七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
9．（2023·湖北武汉·七年级期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2023·广西·南宁三中七年级期中）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·河南郑州·七年级期末）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，请说明其中的道理______．
12．（2023·广东·东莞市中堂中学七年级期中）如图，已知，，则__．
13．（2023·湖南永州·七年级期中）下列三种说法：
①相等的角是对顶角．②若线段AB与线段CD没有交点，则ABCD．
③若a、b、c都是直线，且ab，bc，则a与c不相交．正确的是 _____．
14．（2023·辽宁丹东·七年级期末）如图，，与互补，当，时，的度数为______．
15．（2023·黑龙江·哈尔滨七年级期中）一条公路两次转弯后，和原来的方向平行．如果第一次的拐角是36°，那么第二次的拐角为______．
16．（2023·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为__________________ .
17．（2023·山东威海·八年级期中）如图，将沿边对折，使点C落在点D处，延长到E，使，连接交于F，连接，则下列结论中：①若的周长为12，，则四边形ABDE的周长为17；②；③；④，正确的有_____________．
18．（2023·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习）如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·河北石家庄·七年级期中）在如图所示的网格图每个小网格都是边长为个单位长度的小正方形中，，分别是的边，上的两点．
(1)将线段向右平移，使点与点重合，画出线段平移后的线段，连接，并写出相等的线段；(2)在（1）的条件下，直接写出与相等的角；
(3)请在射线上找出一点，使点与点的距离最短，并写出依据．
20．（2023·广西贵港·七年级期末）如图，直线，与，分别相交于点，，且，交直线于点．(1)若，求的度数；(2)若，，，求直线与的距离．
21．（2023·河南·七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
22．（2023·河南襄城·七年级月考）（1）学行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
23．（2023·陕西·潼关县七年级期中）如图，已知点B、C在线段的异侧，连接，点E、F分别是线段上的点，连接，分别与交于点G，H，且，．(1)求证：；(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
24．（2023·湖北十堰·七年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，∠CDE的平分线交直线AC于点F．
(1)如图①，当点D在边BC上时，判断DF与AM的位置关系，并说明理由；
(2)①如图②，当点D在边BC延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；
②如图③，当点D在边CB延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；
(3)请就（2）中①或②中的一种情况，给出证明．
25．（2023·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；
(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
26．（2023·广东·龙岭初级中学七年级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现，
(1)在图②所示的图形中，若，，则___________
(2)在图⑧中，若，，则_________；(3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由．
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